WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     |
|
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.984.68, 515.168.5 Толченников Антон Александрович Спектральные свойства оператора Лапласа на декорированных графах и на поверхностях с дельта-потенциалами 01.01.04 геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и ее приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Шафаревич Андрей Игоревич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Степин Станислав Анатольевич;

кандидат физико-математических наук Морозов Павел Валерьевич.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение Математического института им. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 19 февраля 2010 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, МГУ им М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 19 января 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А.О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена: 1) изучению взаимосвязи геометрических свойств декорированных графов со спектральными свойствами оператора Лапласа на декорированных графах; 2) изучению предельного поведения спектра оператора Лапласа на окружности, двумерной сфере и диске с потенциалами, сходящимися к дельта-функции; 3) изучению предельного поведения спектра оператора Лапласа на торе вращения, меридиан которого стягивается в точку.

Декорированным графом называется топологическое пространство, полученное отождествлением концов отрезков с точками на гладких римановых замкнутых многообразиях, размерность которых не превосходит 3. Причем ребра приклеиваются в разных точках.

Оператор Лапласа на декорированном графе - это оператор, удовлетворяющий следующим двум требованиям: 1) на функциях, носители которых не содержит точек приклейки, он должен совпадать с прямой суммой операторов Лапласа на отрезках и на поверхностях; 2) он должен быть самосопряжен.

Этому определению удовлетворяет целое семейство операторов, которое можно параметризовать лагранжевыми плоскостями в C4n C4n (где n количество отрезков в декорированном графе). Это эквивалентно заданию граничных условий в точках склейки, то есть системы из 4n линейных уравнений, связывающих значения функции и ее односторонних производных на концах ребер, а также коэффициенты при особенностях и значения регулярных частей функции в точках склейки (всего 8n переменных).

Актуальность этой темы связана, в частности, с тем, что подобными операторами можно моделировать гамильтониан заряженной частицы в массиве фуллеренов. Подобные объекты впервые появились в работе Б.С.

Павлова1.

В работе Й. Брюнинга и В. Гейлера2 изучались свойства матрицы рассеяния для компактной поверхности с прикрепленными полупрямыми. В диссертации И.С. Лобанова3 изучались спектральные свойства операторов Шредингера на периодических декорированных графах.

Аналогичная техника используется в вопросе о спектральных свойствах оператора Лапласа на поверхности с дельта-потенциалами. Этот оператор Павлов Б.С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. // Теоретическая и математическая физика. – 1987. – Т. 72, N 3.– С. 403-415.

J.Bruning, V.Geyler. Scattering on compact manifolds with infinitely thin horns.// J.Math.Phys. –2003. – Vol.44. – pp.371-405.

И.С. Лобанов. Спектральные свойства гамильтонианов явнорешаемых моделей мезоскопических структур: декорированные квантовые графы и квантовые точки. Дис.... канд. физ.-матем. наук, Мордовский гос. ун-т, Саранск, 2005.

определяется как самосопряженное расширение классического оператора Лапласа, ограниченного на функции, которые зануляются на конечном наборе точек.

Использование дельта-потенциалов в квантовой механике имеет более чем 70-летнюю историю. Изучая движение нерелятивистского электрона в жесткой кристаллической решетке, Р. де Л. Крониг и В.Г. Пенни4 в году одними из первых стали использовать точечные потенциалы. В году Ф.А. Березин и Л.Д. Фадеев5, используя теорию самосопряженных расширений, дали строгое математическое обоснование этого метода и предложили использовать резольвентную формулу М.Г. Крейна для получения резольвент возмущений. Дальнейшее исследование подобных моделей атомной физики проводилось в работах В.Н. Островского6, Б.С.

Павлова7, Для классического оператора Лапласа на замкнутом многообразии размерность ядра совпадает с количеством компонент связности многообразия. В данной работе дано описание ядра оператора Лапласа на декорированных графах и оператора Лапласа на поверхностях с дельта-потенциалом в терминах соответствия между операторами и лагранжевыми плоскостями.

Также в работе рассматривается конкретный оператора Лапласа на декорированных графах, заданный условиями типа непрерывности. Для этого оператора найдена связь размерности ядра с топологией графа.

Связь геометрических характеристик риманова многообразия со спектральными свойствами оператора Лапласа, построенного по римановой метрике, проявляется в классической задаче нахождения асимптотической формулы следа квадрата резольвенты T r ( + z2)-2 (z ) и экспоненты оператора T r e-t (t 0).

Для компактного риманова многообразия M хорошо известно (см., например, учебник С. Розенберга9), что n T r e-t (4t)- aktk, k=где ak = ak(x)dwx, ak(x) - полиномиальные выражения от компонент M Kronig R. de L., Penney W.G. Quantum mechanics of electrons in crystal latices. // Proc. Roy. Soc. A. – 1931. – V.130. – P.499 - 513.

Березин Ф.А., Фадеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. // Докл. Акад. Наук СССР. – 1961.– Т. 137. – С. 1011 - 1014.

Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975.

Курасов П.Б., Павлов Б.С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. II. // Теоретическая и математическая физика. – 1987. – Т.74, N. 1. – С. 82-93.

Павлов Б.С. Теория расширений и явнорешаемые модели. // Успехи матем. наук. – 1987. – Т.42, N 6.

– С. 99-131.

S. Rosenberg. The Laplacian on a Riemannian manifold. // London Mathematical Society Student Texts.

–1997. – Vol. 31. – Cambridge.

тензора кривизны и их ковариантных производных. В частности, a0(x) = 1, 6a1(x) - скалярная кривизна.

Отсюда, применяя преобразование Меллина, мы можем найти след квадрата резольвенты. Например, при dim M = 2:

akk! V ol(M) (M) T r( + z2)-2 = + +....

4z2k+2 4z2 6zk=Обобщением этих формул на случай декорированных графов посвящена диссертация С.В. Рогановой10. Для этих целей использовалась формула Крейна, выражающая разность резольвент двух дизъюнктных расширений через граничные операторы (i). В отличие от классического случая риманова многообразия, формула для следа квадрата резольвенты оператора Лапласа на декорированных графах содержит в качестве коэффициентов при степенях z рациональные функции от ln z. Получается т.н. псевдоасимптотическое разложение, разложение по z-n ln-m z, n, m N {0}. Такое разложение, если существует, единственно. С.В. Рогановой было вычислено псевдоасимптотическое разложение для расширений специального вида с условиями локальности. Это означает, что граничные условия имеют вид (2) = (1), где - матрица, состоящая из четырех диагональных блоков.

В данной работе мы вычисляем след экспоненты операторов с условиями локальности, а также находим разложение следа квадрата резольвенты для оператора с условиями непрерывности, который не попадает в класс операторов, рассматриваемых С.В. Рогановой.

Также в работе изучается следующий вопрос: что происходит со спектром оператора Лапласа при добавлении обычного потенциала, зависящего от малого параметра и сходящегося к дельта-функции Будет ли он сходиться к спектру оператора с дельта-потенциалом Вопрос о дельта-потенциалах и их аппроксимациях для евклидовых пространств предельно подробно разбирался в монографии С.Альбеверио, Ф.Гестези, Р.Хэг-Крона и Х. Хольдена11. Для случая оператора на прямой имеет место следующий результат. Рассмотрим семейство операторов H,y = +1V (·-y), где V L1(R). Тогда H,y сходится в равномерном резольвентном смысле к оператору,y, где = V (x)dx (это единственный параметр, R определяющий расширение). При < 0 отрицательная часть спектра H,y состоит из одного простого собственного значения, сходящегося к единственному собственному значению оператора,y. Если > 0, то при достаточно малых отрицательная часть спектра H,y отсутствует и у,y нет отрицательных собственных значений. При = 0 H,y имеет S. Roganova. Direct and inverse spectral problems for hybrid manifolds. Dissertation, Humboldt Universitat zu Berlin. – 2007.

Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые модели в квантовой механике. - М.:

Мир. – 1991.

не более одного отрицательного собственного значения, погружающегося в существенный спектр [0; ).

В данной работе рассматривается семейство операторов на окружности вида = + V (x).

Для двумерной плоскости имеет место следующее утверждение. Пусть семейство операторов имеет вид:

1 2 1 1 · - y H,y = + + + o V.

ln (ln )2 (ln )2 Тогда H,y сходится в равномерном резольвентном смысле к оператору,y. Где - параметр расширения, который находится следующим образом:

2 V (x)dx V (x) ln(x - x )V (x )dx dx = +, (2)2 2( V (x)dx)при V (x)dx = 0, 1 =.

V (x)dx В противном случае H,y сходится в равномерном резольвентном смысле к.

Техника, применяемая в моногорафии, не обобщается на случай операторов на компактных многообразиях, имеющих дискретный спектр.

Нами разбирается задача о сходимости спектра оператора Лапласа на сфере и диске с кусочно-постоянным потенциалом, сходящимся к дельта-функции (без нормировки логарифмом). Эта задача является модельным примером.

Еще одна затрагиваемая тема - сходимость спектра оператора Лапласа на поверхности, которая стягивается вдоль одного из направлений.

Подобным задачам посвящены статьи П. Кучмента12, У. Саито13. В работе П. Экснера и О. Поста14 рассматривается "графоподобная" двумерная поверхность M в R3, стягивающаяся при 0 к некоторому конечному графу. Ограниченные по собственные значения оператора Лапласа на графоподобных поверхностях сходятся к спектру оператора Лапласа на метрическом графе, причем граничные условия в вершинах графа зависят от способа перехода к пределу. В частности, ими построено такое семейство графоподобных поверхностей M, для которых все ограниченные собственные значения k(M) оператора Лапласа сходятся либо к нулю, либо к собственным значениям прямой суммы операторов Лапласа с условиями Дирихле на ребрах графа.

Kuchment P., Zheng H. Convergence of spectra of mesoscopic systems collapsing onto a graph. // J. Math.

Anal. Appl. – 2001. – V. 258, N.2. – P.671-700.

Saito Y. The limiting equation for Neumann Laplacians on shrinking domains. // Electron. J. Differ. Equ.

– 2000. – V.31 – P. 1-25.

Exner P., Post O. Convergence of spectra of graph-like thin manifolds.// Journal of Geometry and Physics.

– 2005. – V.54. – P. 77-115.

В данной работе рассматривается задача о сходимости спектра оператора Лапласа на двумерном торе вращения, радиус меридиана которого стремится к нулю.

Цель работы.

Нахождение связи между геометрическими характеристиками сингулярных пространств и спектральными свойствами оператора Лапласа на этих пространствах Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Описан изоморфизм ядра оператора Лапласа на декорированных графах и пересечения лагранжевой плоскости, задающей оператор, с некоторой фиксированной лагранжевой плоскостью. Доказана оценка размерности ядра оператора Лапласа с условиями типа непрерывности на декорированных графах.

2. Найдены первые члены псевдоасимптотического разложения следа экспоненты оператора Лапласа на декорированном графе с условиями типа локальности и первые члены псевдоасимптотического разложения следа квадрата резольвенты оператора Лапласа на декорированных графах с условиями типа непрерывности 3. Для оператора Лапласа с потенциалом, сходящимся к дельта-функции, на окружности, двумерной сфере и двумерном диске доказано, что в случае окружности непрерывные ограниченные собственные значения сходятся к собственным значениям оператора Лапласа с дельтапотенциалом, а в случаях сферы и диска сходятся к собственным значениям оператора Лапласа.

Основные методы исследования.

В работе используются топологические методы, методы анализа и абстрактной теории операторов (в частности, теории расширений).

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Изложенные в диссертации подходы и полученные результаты могут представлять интерес для специалистов в теории сингулярных пространств и теории операторов на сингулярных пространствах.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научноисследовательских семинарах и конференциях:

• Топологическая конференция памяти П.С. Александрова (МГУ, мехмат, 2006) • Семинар "Алгебры Ли и интегрируемые системы" под руководством к.ф.-м.н. А.А. Ошемкова, профессора А.И. Шафаревича (МГУ, мехмат, 2007) • Конференция "Воронежская зимняя математическая школа им. С.Г.

Крейна" (Воронежский Государственный Университет, 24 - 30 января 2008) • Семинар "Математическая физика" под руководством профессора Т.Крихебауэра (Германия, Бохумский университет, 10 июня 2008) • Международная конференция "Дни дифракции" (СПбГУ, 25-29 мая 2009) • Семинар "Теория рассеяния" под руководством профессора Р.А. Минлоса (МГУ, мехмат, 10 декабря 2009).

Публикации.

Основное содержание диссертации было опубликовано в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата [1] [4].

Структура и объем диссертации.

Pages:     |
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.