WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

В третьей главе диссертации рассматривается спектральная задача Штурма-Лиувилля на вещественной оси для случая потенциала в виде симметричного многочлена четвертой степени. Изучается семейство дифференциальных операторов (8) действующее в пространстве, где малый параметр. Так как при, то спектр этого оператора дискретен при любом. Наша задача - описать характер поведения спектра при. Во второй главе мы показали, что при, то есть при, предельным множеством является луч. В диссертации доказано, что предельный спектр рассматриваемой задачи получается масштабированием с коэффициентом из предельного множества, соответствующего, поэтому все результаты получены для этого случая. При этом, в силу того, что спектр оператора лежит в замыкании его числового образа, спектральный параметр ограничен квадрантом Пусть - гипергеометрическая функция, определяемая рядом В нашем случае - вещественные константы, а - аналитическая функция, зависящая от спектрального параметра. Критические кривые, вдоль которых концентрируется спектр рассматриваемой задачи, найдены в виде уравнений на гипергеометрическую функцию. Пусть и Рассмотрим кривые Рис. 3: Критические линии для случая С помощью использования свойств гипергеометрической функции в диссертации показано, что данные кривые в области качественно ведут себя также как изображено на рис. 3:

Кривая выходит из вещественной точки. Если лежит на кривой, то при. Кривая выходит из нуля под углом. Если рассматривать кривую во всей нижней полуплоскости, то при вдоль кривой. Кривая симметрична, а кривой, относительно прямой Множество состоит из одной точки причем больше кривые между собой не пересекаются.

Сформулируем основной результат главы.

Теорема 3.1. Предельный спектральный граф рассматриваемого семейства операторов (8) является объединением части кривой, соединяющей с точкой, части кривой, соединяющей с, и кривой, выходящей из и стремящейся к асимптоте параллельной лучу (см. рис. 4) Рис. 4: Предельный спектральный граф для случая Автор благодарит своего научного руководителя профессора Андрея Андреевича Шкаликова за постановку задач, их полезные обсуждения и постоянный интерес к работе. Автор также благодарит профессора Анатолия Гордеевича Костюченко и всех участников семинара «Несамосопряженные операторы» за плодотворные дискуссии.

Работы автора по теме диссертации.

[1] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом //Мат.

заметки., 2009, т. 85, вып. 5, с. 792-[2] Покотило В. И., Шкаликов А. А. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с параболическим потенциалом //Мат. заметки., 2009, т. 86, вып. 3, с. 469-В работе [2] В. И. Покотило принадлежит доказательство лемм 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 и первая часть теоремы 2.1. о форме предельного спектрального графа и топологии графов Стокса. А. А. Шкаликову принадлежит постановка задачи и вторая часть теоремы 2.1, связанная с переходом от топологии графов Стокса к утверждению о предельном спектральном графе.

[3] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом //Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 106-летию И.Г.Петровского. Тезисы конференции.

Москва, 2007, c. 244-245.

[4] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с параболическим потенциалом //Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию В.А.Садовничего. Тезисы конференции. Москва, 2009, с. 42.

[5] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом //М., 2008. 18 с. - Библиогр.: 4 назв. Деп. в ВИНИТИ 05.08.09, N 519-В

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»