WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Механико-Математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.43, 517.927, 517.928 Покотило Вадим Игоревич СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ ЗАДАЧ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ И ОРРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ Специальность: 01.01.01 — Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Шкаликов Андрей Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Асташова Ирина Викторовна доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Буслаев Виктор Иванович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится 25 декабря 2009 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 25 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор И.Н. Сергеев.

Общая характеристика работы

.

Актуальность темы.

В гидромеханике хорошо известно уравнение Орра–Зоммерфельда, которое возникает при линеаризации уравнения Навье-Стокса для плоскопараллельных течений между двумя фиксированными стенками (см. подробности, 1 например, в монографии ). Оно имеет вид (1) (2) Здесь, — волновое число ( ), — число Рейнольдса, характеризующее вязкость жидкости, а — профиль скорости течения жидкости в канале.

Задача Орра–Зоммерфельда изучалась многими авторами с начала XX века. Основные результаты и литературные ссылки можно найти в моногра фиях Драйзина и Райда, Дикого, а также в работах Гейзенберга, Вазова, Лина и других авторов (см. библиографию в ). В частности, вопрос о том, как ведет себя спектр задачи Орра-Зоммерфельда был поставлен еще Гейзенбергом. В этой связи укажем важную работу Моравец, где показано, что при собственные значения задачи Орра–Зоммерфельда могут локализоваться только вблизи отрезков, и луча, хотя подчеркивается, что информацию о собственных значениях в малых окрестностях первых двух отрезков получить не удается.

Информация о собственных значениях на мнимой оси получена в указанной работе только для достаточно далеких собственных значений, что вытекает из общих методов, развитых еще Биркгофом, а для уравнения Орра– Зоммерфельда — Гейзенбергом.

В начале 90-х годов Редди, Хеннингсон и Шмидт4, а также ТрефезенDrazin R. G., Reid W. H. "Hydrodynamic Stability"//Cambridge, Дикий Л. А. "Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы"//Л., Гидрометеоиздат., Morawetz C. S. "The Eigenvalues of Some Stability Problems Involving Viscosity", J. Rat. Mech. Anal., 1952, 1, 579-Reddy S. G., Schmidt P. J., Henningson D. S. "Pseudospectra of the Orr–Sommerfeld operator"//SIAM J. Appl. Math., 1993, 53, 1, 15-Trefethen L. N. "Pseudospectra of linear operators"//ISIAM 95: Proceeding of the Third Int. Congress on Industrial and Appl. Math. Academic Varlag. Berlin., 1996, 401-начали изучать более простую задачу вида (3) (4) представляющую несамосопряженный вариант классической спектральной задачи Штурма–Лиувилля. Их численные расчеты подтверждали схожесть спектральной задачи Орра-Зоммерфельда и модельной задачи. В ходе этих исследований стала ясной важность спектрального анализа задачи (3) при. Отметим, что если в уравнении (3) вместо участвует параметр, то получается самосопряженная задача с малым параметром. Спектр такой задачи вещественный, сгущается при, причем можно найти явные формулы для локализации собственных значений (формулы квантования Бора-Зоммерфельда). Замена параметра на меняет задачу кардинально.

Стоит отметить, что спектральная задача Штурма-Лиувилля (3) изучалась как на конечном отрезке, так и на всей вещественной оси. Важные исследования о спектре несамосопряженной задачи (3) с малым параметром для случая всей оси были проведены в работе Днестровского и Костомарова6. Однако, полного описания спектра задачи (3) как для бесконечного, так и для конечного интервала ни для какой конкретной функции не было получено вплоть до недавнего времени. Эта задача получила свое развитие в исследованиях Шкаликова и его аспирантов Дьяченко, Туманова и НейманаЗаде. В литературе наиболее часто встречаются два стационарных профиля скорости: профиль Куэтта - и профиль Пуазейля -.

Аналитическое объяснение портрета собственных значений задачи с профилем Куэтта при было проведено в. А именно, было доказано, что при собственные значения модельной задачи (3), (4) локализуются вдоль луча и двух отрезков,, а также найдена асимптотика собственных значений в окрестности указанных отрезков. Предельное множество, вдоль которого концентрируются собственные значения, названо спектральным галстуком. Более частный результат другим методом независимо получен в. Эта задача получила свое обобщение в работе Шкаликова, где был рассмотрен случай монотонного на отрезке проДнестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. "Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач"// Журнал выч. мат. и мат. физики, 4, є2 (1964), с. 267-277.

Шкаликов А. А. "О предельном поведении спектра при больших значениях параметра одной модельной задачи"//Мат. заметки., 1997, 62, 6, 950-Степин С. А. "Модель перехода от дискретного спектра к непрерывному в сингулярной теории возмущений"//Фундаментальная и прикладная математика., 1997, 3, 4, 1199-Шкаликов А. А. "Спектральные портреты оператора Орра–Зоммерфельда при больших числах Рейфиля течения и доказано, что предельное множество состоит из трех кривых также по форме напоминающих галстук. В последней работе также приведены результаты для случая профиля Пуазейля, который подробно изучен в для симметричного квадратичного потенциала и в для несимметричного квадратичного потенциала. В указанных работах линии, вдоль которых концентрируются собственные значения, получили название предельного спектрального графа.

Цель работы.

Найти функции частного и общего видов, для которых можно полностью описать спектральные портреты при модельной задачи (3).

А именно, доказать, что спектральный портрет в случае несимметричного квадратичного потенциала, найденный в, не случаен: похожая картина наблюдается для широкого класса аналитических функций, обладающих одним экстремумом на заданном отрезке. Найти предельные спектральные кривые модельной задачи (3), рассматриваемой на вещественной оси, в случае и в случае.

Методы исследования.

Метод фазовых интегралов, основанный на изучении ВКБ-асимптотик решений дифференциальных уравнений и областей их применимости на базе анализа поведения графов Стокса, является ключевым при получении результатов диссертации.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и основные из них состоят в следующем:

1. Найден класс функций с одним экстремумом на заданном отрезке, для которого описан спектральный портрет при несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями.

нольдса"//Современная математика., Фундаментальные направления, 2003, 3, 89-Туманов С. Н., Шкаликов А. А. "О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра–Зоммерфельда с профилем Пуазейля"//Известия РАН., 2002, 66, Туманов С. Н., Шкаликов А. А. "О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра–Зоммерфельда с квадратичным профилем"// Electronic archive http://arXiv.org/ps/mathph/0212074, 2. Найден предельный спектр и асимптотические формулы для собственных значений несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля, рассматриваемой на вещественной оси, с потенциалом в виде произвольного одночлена четной степени.

3. Найден предельный спектральный граф несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля, рассматриваемой на вещественной оси, с потенциалом в виде произвольного симметричного многочлена четвертой степени. В рамках исследования расположения предельного спектрального графа также установлена связь между поведением критических кривых рассматриваемой задачи и свойствами гипергеометрической функции.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы специалистами, занимающимися спектральной теорией операторов и гидромеханикой.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на конференциях:

«Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной И. Г. Петровскому, Москва, 2007 г.

«Спектральные и эволюционные задачи», Крымская осенняя математическая школа, Севастополь, 2008 г.

«Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию В. А. Садовничего, Москва, 2009 г.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах:

«Несамосопряженные операторы», руководители — профессор А. Г. Костюченко и профессор А. А. Шкаликов (2005, 2006, 2007, 2008, 2009 гг.), «Операторные модели в математической физике», руководители — профессор А. А. Шкаликов, доцент А. М. Савчук, доцент И. А. Шейпак (2008, 2009 гг.) «Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов», руководители — профессор А. Г. Костюченко, профессор В. В. Власов, профессор К. А. Мирзоев (2008 г.) Публикации.

Основные результаты работы изложены в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация изложена на 71 странице и состоит из введения, трех глав и списка используемой литературы. Список литературы содержит 58 наименований.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе исследуется поведение спектра модельного семейства дифференциальных операторов (5) действующих на отрезке с краевыми условиями:

(6) при с профилем, имеющим один экстремум на отрезке.

Для простоты можно считать, что продолжается во всю комплексную плоскость как целая функция, но можно ограничится только требованием ее аналитичности в окрестности отрезка вдобавок к основным условиям, которые сформулированы ниже. Не ограничивая общности, мы можем рассматривать случай, полагая, что функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке. Тогда область значений функции при есть отрезок. В этом случае область значений квадратичной формы изучаемого семейства операторов лежит в полуполосе Так как спектр оператора заключен в его числовом образе, то при любом собственные значения задачи лежат в этой полуполосе.

Итак, сформулируем основные условия на функцию.

(i) Функция вещественна при, убывает на отрезке и возрастает на отрезке, приче м.

Существуют не пересекающиеся области, имеющие в качестве части своей границы отрезки и соответственно, такие, что аналитична в и биективно отображает на по лупо лосу, а на по лупо лосу (здесь черта означает замыкание областей), где (ii) При любо м прообраз луча в есть функция относите льно мнимой оси, т. е. любая прямая пересекает прообраз луча то лько один раз, либо не пересекает вовсе. Аналогично, при любо м прообраз луча в есть функция относите льно мнимой оси.

Из этих условий, по принципу соответствия границ следует, что область полностью лежит в верхней полуплоскости, а область полностью лежит в нижней. Примерами функций, удовлетворяющих сформулированным двум условиям, могут служить на отрезке, на отрезке и другие.

Пусть - единственный корень уравнения, лежащий в, определенный при. Аналогично, - единственный корень уравнения, лежащий в, определенный при. Введем ветвь, которую всюду далее будем называть основной: при.

Рассмотрим набор кривых в полуполосах и :

Как показано в диссертации данные кривые качественно ведут себя также как изображено на рис. 1:

Рис. 1: Критические линии для случая ( ) Кривые, и проходят через точки вещественной оси, и, соответственно, и являются функциями относите ль но ве щественной оси. Кривая является функцией относите льно мнимой оси, имеющей асимптотику при. Кривые пересекаются лишь в н е которой точке. Кривые пересекаются лишь в некот орой точке. Кривые не пере секаются.

Никакая из упо мянутых кривых не имеет самопересечений.

Обозначим через часть кривой между и, через - часть кривой, заключенную между точками и, через - часть кривой, заключенную между точками и, через - часть кривой, заключенную между точками и, наконец, через - часть кривой, заключенную между и. Положим (см. рис. 2) Теорема 1.1. При любо м найдется, такое, что все собственные значения задачи (5), (6) при лежат внутри -окрестности графа.

Рис. 2: Предельные спектральные кривые для случая ( ) Во второй главе диссертации рассматривается спектральная задача Штурма-Лиувилля на вещественной оси для случая потенциала в виде одночлена четной степени. Изучается семейство дифференциальных операторов (7) действующих в пространстве при. Рассматривается семейство потенциалов вида Заметим, что достаточно рассмотреть случай, поскольку при замене оператор и краевые условия не меняются, а прибавление константы просто сдвигает спектр. Так как при, то спектр этого оператора дискретен при любом. Положим Сформулируем основные результаты этой главы:

Теорема 2.1. Для всякой -окрестности луча найдется такое, что при все точки спектра задачи (7), рассматриваемой на вещественной оси, содержаться в этой окрестности.

Для получения более детальной информации о поведении собственных значений в окрестности луча положим, где Теорема 2.2. Для любого отрезка не содержащего нуль, для любой окрестности этого отрезка, не содержащей некоторой окрестности нуля, найдутся и константа такие, что при всех окрестность будет содержать точки спектра. Более того, если рассмотреть точки, то в каждой окрестности этих точек радиуса, лежащей в найдется и при том единственная точка спектра.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»