WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Матрица C Mn(F) называется циклической, если dimF( E, C, C2,..., Cn-1 ) = n.

Теорема (2.4.17). Пусть F произвольное поле и пусть A коммутативная подалгебра в Mn(F). Тогда l(A) = n - 1 тогда и только тогда, когда подалгебра A порождена циклической матрицей.

Как следствие, установлено, что максимальные по длине коммутативные подалгебры в Mn(F) являются также максимальными по включению.

В разделе 2.3 приведены примеры вычисления длин таких классических коммутативных матричных подалгебр, как алгебра Шура, алгебра Куртера и др. Также эти примеры показывают, что длины максимальных по включению коммутативных подалгебр в Mn(F) могут принимать любое натуральное значение в отрезке от 1 до n - 1, т.е. максимальные по включению коммутативные подалгебры не обязательно имеют максимальную длину.

В разделе 2.5 получена точная верхняя оценка длины коммутативной алгебры как функция таких инвариантов алгебры, как размерность алгебры и максимальная степень минимального многочлена элементов алгебры.

Теорема (2.5.14). Пусть F произвольное поле. Пусть A ассоциативная конечномерная коммутативная F-алгебра с единицей. Пусть m (m - 1)[logm d] + [m{log d}] - 1 при m 2;

g(d, m) = 0 при m = 1, где [x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x, и {x} = x - [x]. Тогда l(A) g(dim A, m(A)).

В коммутативном случае эта оценка является улучшением общей оценки Паппачены из теоремы 2. Этот результат использован для вычисления длины алгебры диагональных матриц над произвольным полем.

Теорема (2.6.1). Пусть F произвольное поле.

1. Если поле F бесконечно, то l(Dn(F)) = n - 1.

2. Если F = Fq конечное поле из q элементов, то n - 1, при q n;

l(Dn(Fq)) = q (q - 1)[logq n] + [q{log n}] - 1, при q < n.

Глава 3 посвящена изучению вопроса о связи длины подалгебры с длиной содержащей ее алгебры. В алгебре матриц любого порядка, превышающего 3, построены примеры, показывающие, что функция длины может расти при переходе к подалгебрам. Для матричных подалгебр порядков 2 и 3 установлено, что длина подалгебры не превосходит длины содержащей ее алгебры.

Полностью решен вопрос о возможных значениях разности длины подалгебры и длины содержащей ее алгебры: показано, что длина подалгебры может превышать длину содержащей ее алгебры на любое натуральное число.

Теорема (3.1.11). Пусть k N произвольное натуральное число, пусть n = 4k. Тогда существуют такие алгебры A A Mn(F), что l(A ) l(A) = k.

В разделе 3.2 рассмотрены специальные конструкции двух- и трехблочных верхнетреугольных матричных подалгебр. Заметим, что до настоящего времени существовало не много примеров алгебр с явно вычисленной длиной.

Поэтому вычисление длин подалгебр данного вида представляет непосредственный интерес. Помимо этого, представленные конструкции дают пример того, что отношение длины подалгебры к длине алгебры может быть любым рациональным числом из отрезка [1, 2].

Теорема (3.2.11). Пусть F произвольное поле, n m натуральные числа, n 1 i < j n, An,m = E, Eii, Ei,j, или Tm+n(F).

i=n + 1 i < j n + m Тогда n - 1, при n - m 2, n - 1 при n = m + 1, n > 3, l(An,m) = n + 1 при n = m = 2, n, при n = m = 2, n при n = m + 1, m = 1, 2.

Следствие (3.2.12). Пусть F произвольное поле, n m фиксированные натуральные числа. Пусть n-1 m-Cn,m = Ei,i+1 + (Ej+n,j+n + Ej+n,j+n+1) + En+m,n+m An,m i=1 j=циклическая матрица, j A n,m = Cn,m, | 0 j n + m - 1 An,m.

Тогда 1. l(A n,m) = n + m - 1;

2. при n = m = 1, 2 и n = 2, m = 1 выполнено An,m = A n,m и l(An,m) = l(A n,m);

3. при n 3 выполнено m, при n - m 2, или n = m + 1, n > 3, l(A n,m) - l(An,m) = m - 1, при n = m 3, или n = 3, m = 2, и m 1 +, при n - m 2, или n = m + 1, n > 3, l(A n,m) n - = 1 + m - 1, при n = m 3, или n = 3, m = 2.

l(An,m) n Теорема (3.2.22). Пусть F произвольное поле. Пусть n1, n2, n3 N, n1 n2 + n3 + 2. Пусть An,n2,n3 Tn (F) Tn (F) Tn (F), 1 1 2 1 i < j n1, n1 n1+nили n1 + 1 i < j n1 + n2, An,n2,n3 = E, Ei,i, Ei,i, Ei,j, или i=1 i=n1+1 n1 + n2 + 1 i < j n1 + n2 + nТогда l(An,n2,n3) = n1 - 1.

Следствие (3.2.23). Пусть F произвольное поле, |F| 3|, и пусть n1, n2, n3 N, n1 n2 + n3 + 2, n2 n3 3. Пусть a F, a = 0, и n1-1 n1+n2-Cn,n2,n3 = Ei,i+1 + (Ej,j + Ej,j+1) + En +n2,n1+n2+ 1 i=1 j=n1+n1+n2+n3-(aEk,k + Ek,k+1) + aEn +n2+n3,n1+n2+n3 An,n2,n1 k=n1+n2+циклическая матрица, положим j A n,n2,n3 = Cn,n2,n3, | 0 j n1 + n2 + n3 - 1 An,n2,n3.

1 Тогда 1. l(A n,n2,n3) = n1 + n2 + n3 - 1;

2. l(A n,n2,n3) - l(An,n2,n3) = n2 + n3;

l(A n,n2,n3) n2 + n3 n1 - 3. = 1 + 1 + < 2.

l(An,n2,n3) n1 - 1 n1 - Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук, доценту Александру Эмилевичу Гутерману и доктору физико-математических наук, профессору Александру Васильевичу Михалеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку, а также всему коллективу кафедры высшей алгебры за доброжелательную и творческую атмосферу.

Публикации автора по теме диссертации 1. Маркова О.В., О длине алгебры верхнетреугольных матриц, Успехи математических наук, 60:3 (2005), 177–178.

2. Маркова О.В., Вычисление длин матричных подалгебр специального вида, Фундаментальная и прикладная математика, 13:4 (2007), 165–197.

3. Markova O.V., Matrix algebras and their length, в сб. Matrix methods:

theory, algorithms, applications., World Scientific Publishing, 2008, 116–139.

4. Guterman A.E., Markova O.V., Commutative matrix subalgebras and length function, Linear Algebra and its Applications, 430(2009), 1790–1805.

5. Маркова О.В., Характеризация коммутативных матричных подалгебр максимальной длины над произвольным полем, Вестник Московского университета. Сер.1. Математика. Механика. 5(2009), 53–55.

6. Markova O.V., On the length of matrix subalgebras, Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, Тезисы докладов, Москва, 2004, стр. 233.

7. Markova O.V., On the commutative matrix subalgebras of maximal length, Международный семинар по компьютерной алгебре и информатике, посвященный 30-летию лаборатории вычислительных методов, Тезисы докладов, Москва, 2005, стр. 18–8. Markova O.V., Matrix algebras and their length, 2-я международная конференция “Матричные методы и операторные уравнения”, Тезисы докладов, Москва, 2007, 55–56.

9. Markova O.V., On the algebraic properties of the length function, Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша, Тезисы докладов,Москва, 2008, 327–328.

В работе [4], совместной с А.Э. Гутерманом научным руководителем диссертанта, А.Э. Гутерману принадлежат формулировки основных результатов разделов 5,6,8 и предварительная формулировка теоремы 7.9.

Доказательства всех основных результатов работы и формулировки основных результатов разделов 1–4 принадлежат диссертанту.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»