WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

1 k Подчеркнем, что "N-мерные бруски" W [J2], J2 M \ Jk, образующие "неполный крест" W (Jk) (3) Сравнивая теорему B и теорему II.I, мы видим, что для справедливости на измеримом множестве A TN, N 3, СОЛ (для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье функций f Lp, p > 1, f(x) = 0 на A) в случае, когда все компоненты вектора n ZN номера частичной суммы Sn(x; f) "свободны", на множество A должны быть наложены "более жесткие" условия, описываемые свойством B2, чем условия на это же множество в случае, когда часть компонент вектора n лакунарны.

Далее заметим, что чем "более мягкими" при возрастании k (1 k N - 2) становятся условия на структурно-геометрические характеристики множества A (описываемые в k теореме II.I свойством B(J ) множества A), тем "более жесткими" становятся условия на последовательности частичных сумм Sn [Jk](x; f), оставляя "свободными" (не лакунар() ными) все меньше и меньше компонент в векторе n = n()[Jk] номере частичной суммы кратного ряда Фурье рассматриваемой функции, и, наконец, "в пределе" (т.е. когда только две переменные в векторе n остаются свободными) от структурно-геометрических свойств множества A требуется "только лишь" выполнение условия: должен существовать такой "N-мерный брусок" W [J2], который вписывается п.в. в множество A.

Глава II диссертации состоит из двух параграфов. В §1 главы II нами получены вспомогательные оценки, которые позволяют в §2 доказать теорему II.I. В параграфе §2 главы II на основе доказательства теоремы II.I мы доказываем также некоторое обобщение теоремы II.I (теорема II.II), ослабляющее ограничения на множество A.

Глава III диссертации посвящена исследованию вопросов о структуре и геометрии максимальных множеств неограниченной расходимости п.в. и максимальных множеств сходимости п.в. для рассматриваемых в настоящей работе кратных рядов Фурье.

Мы даем определения ММНР и ММС п.в. для кратных рядов Фурье с "Jk-лакунарной последовательностью частичных сумм", аналогичные определениям 4 и 5 (определениям ММНР и ММС п.в. для кратных рядов Фурье), заменяя в формулировках этих определений частичные суммы Sn(x; ·) на частичные суммы Sn [Jk](x; ·).

() Используя вспомогательные оценки, полученные в §1 главы II, мы устанавливаем справедливость теоремы (теорема III.I) о том, что для любого замкнутого множества A, A TN, N 3, и для любого Jk M, 1 k N - 2, множество V (B, Jk) (7), где B = TN \ A, является МНР п.в. кратных рядов Фурье с "Jk-лакунарной последовательно(который удовлетворяет условию µ(W (Jk) \ A) = 0), имеют "основания" [J2] в тех плоскостях R[J2], для которых соответствующие компоненты "номера" n ZN компоненты nj, j M \ Jk, являются "свободными" (т.е., в частности, не являются компонентами никаких лакунарных последовательностей).

стью частичных сумм" Sn [Jk](x; f) функций f Lp(TN), p > 1, f(x) = 0 на A.

() В свою очередь, результаты теорем III.I и II.I позволяют нам описать структурногеометрические характеристик ММНР п.в. и ММС п.в. в рассматриваемом нами случае для широкого класса измеримых множеств A TN, N 3 (с некоторыми ограничениями на границу множества A), и для любого Jk M, 1 k N - 2.

Теорема III.II. Пусть A произвольное измеримое множество, A TN, N 3, 0 µA < µTN, B = TN \ A, и пусть Jk M, 1 k N - 2. Тогда 1. Если µV (intB, Jk) = µTN, то 1) множество V (intB, Jk) является максимальным множеством неограниченной расходимости почти всюду для кратных рядов Фурье с "Jk-лакунарной последовательностью частичных сумм" функций f Lp(TN), p > 1, f(x) = 0 на A;

2) множеств сходимости указанных рядов нет.

2. Если µV (intB, Jk) < µTN и множество B удовлетворяет условиям (5), (6 ), то 1) множество V (intB, Jk) максимальное множество неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье с "Jk-лакунарной последовательностью частичных сумм" функций f L(TN), f(x) = 0 на A, при суммировании по прямоугольникам;

2) множество A1 = TN \ V (intB, Jk) максимальное множество сходимости почти всюду указанных рядов, при этом а) A1 = (J T[M \ J2]), где J = T2 \ pr(J ){intB};

2 2 J2M\Jk б) существует множество W (A1, Jk) = (J T[M \ J2]) J2M\Jk такое, что µ(W (A1, Jk) \ A) = 0, т.е. множество A обладает максимальным свойством k B(J )(A1).

В заключение хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Блошанскому Игорю Леонидовичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА [1] Колмогоров А. Н. Une contribution l’tude de la convergence des sries de Fourier // Fund. Math. 1924. V. 5. P. 96-97.

[2] Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series // J. Lond. Math.

Soc. 1931. V. 6. P. 230-233.

[3] Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta Math.

1966. V. 116. P. 135-157.

[4] Hunt R. On the convergence of Fourier series // Proc. Conf. Edwardsville Ill. 1967, Southern Illinouis Univ. Press. Carbondale Ill. 1968. P. 235-255.

[5] Gosselin R. P. On the divergence of Fourier series // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9.

P. 278-282.

[6] Totik V. On the divergence of Fourier series. // Publ. math., Debrecen. 1982. V. 29. № 3-4.

P. 251-264.

[7] Sjlin P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv Matem. 1971. V. 9. № 1. P. 65-90.

[8] Kojima M. On the almost everywhere convergence of rectangular partial sums of multiple Fourier series // Sci. Repts. Kanazava Univ. 1977. V. 22. № 2. P. 163-177.

[9] Fefferman C. On the divergence of multiple Fourier series // Bull. Amer. Math. Soc. 1971.

V. 77. № 2. P. 191-195.

[10] Блошанский И. Л. О критериях слабой обобщенной локализации в N-мерном пространстве // ДАН СССР. 1983. Т. 271. № 6. С. 1294-1298.

[11] Блошанский И. Л. О геометрии измеримых множеств в N-мерном пространстве, на которых справедлива обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp, p > 1 // Матем. сборник. 1983. Т. 121. № 1. С. 87-110.

[12] Блошанский И. Л. Два критерия слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp, p 1 // Изв. АН СССР. Серия матем.

1985. Т. 49. № 2. С. 243-282.

[13] Блошанский И. Л. О максимальных множествах сходимости и неограниченной расходимости кратных рядов Фурье функций из L1, равных нулю на данном множестве // Докл. АН СССР. 1985. Т. 283. № 5. С. 1040-1044.

[14] Блошанский И. Л. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Дисс.

... докт. физ.-мат. наук. М.: МИАН, 1991.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ [1] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // Матем. заметки. 2008. Т. 84. № 3. С. 334-347.

[2] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Критерий слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // ДАН России. 2008. Т. 423. № 4. C. 439442.

[3] Лифанцева О.В. Необходимые условия справедливости слабой обобщенной локализации для рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" // Матем. заметки. 2009. T. 86. № 3. С. 408-420.

[4] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" // Современные проблемы теории функций и их приложения: тезисы докладов 14-ой Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2008. C. 29-30.

[5] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. О локализации для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // XVI междунар. конференция "Математика. Экономика. Образование". V междунар. симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тезисы докладов.

Ростов-на-Дону: Изд-во "ЦВВР". 2008. C. 12.

[6] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Критерий слабой обобщенной локализации для кратных разложений Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней матем. школы. Воронеж: Изд.-полиграф. центр ВГУ. 2009. C. 26-27.

[7] Лифанцева О.В. Обобщенная локализация для кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней матем. школы.

Воронеж: Изд.-полиграф. центр ВГУ. 2009. C. 105-107.

[8] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. О максимальных множествах сходимости и расходимости кратных рядов Фурье с "Jk-лакунарной последовательностью частичных сумм" // Современные проблемы прикладной математики и матем. моделирования: материалы III междунар. научной конференции. Часть I. Воронеж:

"Научная книга". 2009. C. 20-21.

[9] Лифанцева О.В. О сходимости почти всюду кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения XX". Воронеж: ВГУ. 2009. С. 111-112.

[10] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Локальные условия гладкости, обеспечивающие сходимость кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" // Теория функции, ее приложения и смежные вопросы: материалы Девятой междунар. Казанской летней научной школы-конференции. Казань: Изд-во Казанского матем. общ-ва, Изд-во КГУ. 2009. Т. 38. С. 48-50.

В совместных работах Блошанскому И.Л. принадлежат постановка задачи и методика исследования. Детальное доказательство проведено Лифанцевой О.В. самостоятельно.

Pages:     | 1 | 2 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»