WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

n во-вторых, множество E2 является максимальным, т.е. существует функция fLp(TN), f2(x) = 0 на A, такая, что Sn(x; f2) расходится при n почти всюду на CE2 = TN \ E2.

В работе [14] для N 2 и p > 1 было доказано следующее утверждение о структуре и геометрии ММНР и ММС.

Пусть, TN, произвольное (непустое) открытое множество. Для любого Jk, 0 k N - 2, обозначим V = V (Jk) = V (, Jk) = V [J2] = ([J2] T[M \ J2]), (7) J2M\Jk J2M\Jk где [J2] = pr(J ){} ортогональная проекция множества на плоскость R[J2].

Справедлива следующая теорема.

Теорема C. Пусть A произвольное измеримое множество, A TN, N 2, µA < µTN, B = TN \ A. Тогда 1. Если µV (intB, J0) = µTN, то 1) множество V (intB, J0) (7) является максимальным множеством неограниченной расходимости почти всюду для кратных рядов Фурье функций f Lp(TN), p > 1, f(x) = 0 на A, при суммировании по прямоугольникам;

2) множеств сходимости указанных рядов нет.

2. Если µV (intB, J0) < µTN и множество B удовлетворяет условиям (5), (6), то 1) множество V (intB, J0) максимальное множество неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций f L(TN), f(x) = 0 на A, при суммировании по прямоугольникам;

2) множество A1 = TN \ V (intB, J0) максимальное множество сходимости почти всюду указанных рядов, при этом а) A1 = (J T[M \ J2]), где J = T2 \ pr(J ){intB};

2 2 J2M б) существует множество W (A1, J0) = (J T[M \ J2]) J2M такое, что µ(W (A1, J0) \ A) = 0, т.е. множество A обладает максимальным свойством B2(A1).

4. В связи с приведенными выше результатами возникают следующие вопросы.

1) Какова должна быть структура и геометрия "самого простого" множества A TN, на котором в классах Lp(TN), p > 1, была бы справедлива СОЛ для кратных рядов Фурье в случае, когда (прямоугольные) частичные суммы этих рядов Sn(x; f) имеют "номер" n = (n1,..., nN) ZN, в котором некоторые компоненты n1,..., nN являются элементами лакунарных последовательностей 2) Какими должны быть структурно-геометрические характеристики произвольного измеримого множества A TN (на котором разлагаемая в ряд Фурье функция f(x) равна нулю), чтобы на этом множестве в классах Lp(TN), p > 1, была справедлива СОЛ для кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" 3) Какими (с точки зрения геометрии и структуры) для произвольного измеримого множества A TN должны быть ММНР и ММС п.в. указанных выше рядов функций из класса Lp(TN), p > 1, равных нулю на A Цель работы. Основной целью работы является изучение вопросов справедливости слабой обобщенной локализации почти всюду для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из классов Lp(TN), p > 1, в случае, когда прямоугольные частичные суммы Sn(x; f) рассматриваемых рядов имеют "номер" n = (n1,..., nN) ZN, в котором некоторые компоненты являются элементами (однократных) лакунарных последовательностей.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Найдены структурно-геометрические характеристики "самых простых" подмножеств TN (положительной меры), на которых в классах Lp(TN), p > 1, при N 3 справедлива слабая обобщенная локализация почти всюду для кратных тригонометрических рядов Фурье в случае, когда прямоугольные частичные суммы Sn(x; f) этих рядов имеют "номер" n = (n1,..., nN) ZN, в котором некоторые компоненты nj являются элементами лакунарных последовательностей.

2. Для широкого класса измеримых множеств (положительной меры) {A}, A TN, N 3, получен критерий справедливости (в терминах структуры и геометрии множества A) слабой обобщенной локализации почти всюду в классах Lp(TN), p > 1, для кратных тригонометрических рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм".

3. Для широкого класса измеримых множеств (положительной меры) {A}, A TN, N 3, описаны структурно-геометрические характеристики максимальных множеств сходимости почти всюду и максимальных множеств неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" функций из классов Lp(TN), p > 1, равных нулю на A.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории функций и функционального анализа.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученный в диссертации результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения поведения частичных сумм тригонометрических рядов Фурье, а также рядов Фурье по другим ортогональным системам.

Апробация диссертации. Полученные в диссертации результаты докладывались автором на научно-исследовательском семинаре под руководством член-корр. РАН Б. С. Кашина, проф. Б. И. Голубова, проф. М. И. Дьяченко, проф. С. В. Конягина (МГУ им. Ломоносова, 2008); на научно-исследовательском семинаре под руководством проф.

М. К. Потапова, проф. В. А. Скворцова, проф. Т. П. Лукашенко, проф. М. И. Дьяченко (МГУ им. Ломоносова, 2009); неоднократно на научно-исследовательском семинаре под руководством проф. И. Л. Блошанского (МГОУ, 2006–2009); на Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2008); на V международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2008); на международной научной конференции "Моделирование нелинейных процессов и систем" (Москва, МГТУ "Станкин", 2008); на Воронежской зимней школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2009); на III международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2009); на XXIII Воронежской весенней школе "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж, 2009); на девятой международной Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009).

Тематика работы поддержана грантом РФФИ № 08-01-00669.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 112 страниц, список литературы содержит 47 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор результатов, связанных с вопросами сходимости рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм", а также вопросами справедливости различных локализаций для кратных рядов Фурье (суммируемых по прямоугольникам), и приводятся формулировки результатов, полученных в диссертации.

Глава I диссертации посвящена изучению структурно-геометрических характеристик "самых простых" подмножеств TN, N 3, на которых справедлива СОЛ в классах Lp(TN), p > 1, для кратных рядов Фурье, чьи прямоугольные частичные суммы Sn(x; f) имеют "номер" n = (n1,..., nN) ZN, в котором некоторые компоненты являются элементами лакунарных последовательностей.

Введем следующие обозначения. Пусть = (Jk) = (j,..., j ) Zk, js Jk, s = 1 k 1,..., k, 1 k N - 2. Символом n() = n()[Jk] = (n1,..., nN) ZN обозначим N-мерный вектор, у которого компоненты nj с номерами j = js, s = 1,..., k, являются элементами некоторых (однократных бесконечно больших) последовательностей натуральных чисел j j (при j Jk : nj = n( ) и n( ) при j ). В частности, символом n() = n()[Jk] j j ZN (где = (Jk) = (j,..., j ) Zk, js Jk, s = 1,..., k) будем обозначать N-мерный 1 1 k вектор, у которого компоненты nj, j Jk, являются элементами некоторых (однократных) лакунарных последовательностей.

В § 1 главы I мы доказываем теорему, результат которой показывает, что для кратных рядов Фурье c "Jk-лакунарной последовательностью частичных сумм" Sn [Jk](x; f) СОЛ () в классах Lp(TN), p > 1, при N 3 будет справедлива на "неполном кресте из N-мерных брусков" множестве W = W (Jk) вида (3).

Теорема I.I. Для любого Jk M, 1 k N - 2, N 3, и для любой функции f Lp(TN), p > 1, f(x) = 0 на W = W (Jk), 0 lim Sn [Jk](x; f) = 0 для почти всех x W = W (Jk). (8) () j,jJk, nj,jM\Jk Отметим, что "N-мерные бруски" W [J2], образующие указанный "крест" W, имеют "основания" [J2] в тех плоскостях R[J2], J2 = {s, t} M, для которых соответствующие компоненты "номера" n()[Jk] ZN компоненты ns и nt являются "свободными" (т.е., в частности, не являются элементами никаких лакунарных последовательностей), и число таких "брусков" будет равно CN-k.

Естественно, встает вопрос о том, можно ли усилить результат теоремы I.I, установив при N 3 и 1 k N - 2 равенство (8) на всем множестве W (Jk) вида (3) Ответ на поставленный вопрос зависит от размерности пространства N и числа k компонент "номера" частичной суммы Sn(x; f), которые являются элементами лакунарных последовательностей. Если при N 3 величина k = N - 2, то такое усиление теоремы I.I оказывается возможным, а именно, справедливо следующее утверждение.

Следствие (теоремы I.I). При N 3 для любого JN-2 M, и для любой функции f Lp(TN), p > 1, f(x) = 0 на W = W (JN-2), lim Sn [JN-2](x; f) = 0 для почти всех x W.

() j,jJN-2, nj,jM\JN-Если же при N 4 величина k меньше N - 2, то усилить теорему I.I, установив равенство (8) на всем W (Jk), нельзя, что показывает следующая теорема.

Теорема I.II. Пусть N 4 и Jk M, 1 k N -3, тогда существуют множество W = W (Jk) вида (3) и функция f L(TN) такие, что f(x) = 0 на W и для любых j j k последовательностей натуральных чисел {n( )}, j Jk, n( ) при j, j j справедлива оценка lim |Sn [Jk](x; f)| = + почти всюду на TN \ W, () j,jJk, nj,jM\Jk 0 где множество W = W (Jk) определено формулой (4).

В § 2 главы I нами исследуется вопрос о необходимых условиях справедливости СОЛ для кратных рядов Фурье с "Jk-лакунарной последовательностью частичных сумм" на множествах W (Jk) вида (3). Доказанные теоремы (теоремы I.III I.V) показывают, что найденные структурно-геометрические характеристики "неполных N-мерных крестов" W (Jk) являются точными в смысле числа образующих множества "N-мерных брусков", а также их ("брусков") геометрии и структуры, точнее, для рассматриваемых нами рядов Фурье СОЛ не будет справедлива на "крестах" W (Jk) вида (3) в следующих случаях:

1) если указанный "крест" W (Jk) (при N 3) имеет меньшее, чем CN-k, число "брусков" W [J2];

2) если "крест" W (Jk) (при N 4) составлен из "брусков" W [J3] = [J3] T[M \ J3], где [J3] ортогональная проекция (непустого) открытого множества TN на пространство R[J3];

3) если хотя бы для одного из "брусков" W [J2] (при N 3 образующих "крест" W (Jk)) множество [J2] является, например, замкнутым множеством, с не равной нулю j В частности, все последовательности {n( )}, j Jk, могут быть лакунарными или, например (если j ) (j) (jk N 4 и k 2), почленно равными между собой (т.е. nj = · · · = nj = n0).

1 k мерой Лебега границы.

Наконец, в § 3 главы I нами доказана теорема (теорема I.VI), которая показывает, что СОЛ для рассматриваемых нами рядов в классе L1(TN) на множествах W (Jk) вида (3) справедлива не будет.

В главе II диссертации нами доказан критерий справедливости в классах Lp(TN), p > 1, СОЛ для кратных рядов Фурье с "Jk-лакунарной последовательностью частичных сумм" на произвольных подмножествах TN положительной меры (удовлетворяющих k некоторым ограничениям на границу множества) в терминах свойства B(J ).

Введем следующие понятия.

Определение 6. Пусть A TN, N 3, и пусть Jk M, 1 k N - 2, или Jk =, k = 0.

k 1. Будем говорить, что множество A обладает свойством B(J ), если найдется мноk жество W = W (Jk) вида (3), которое вписывается п.в. в A, причем свойство B(J ) есть k 0 свойство B(J )(W ), если W = W (W ).

k 0 k 2. Свойство B(J )(W ) множества A будем называть максимальным свойством B(J ) 2 0 0 множества A, если для любого множества W = W (Jk) вида (4) такого, что µ(W \ 0 k W ) > 0, множество A не обладает свойством B(J )(W ).

0 Заметим, что при k = 0 свойство B(J ) B() и максимальное свойство B(J )(W (J0)) 2 2 B()(W ()) совпадают, соответственно, со свойством B2 и максимальным свойством B2(W ) (см. определение 3).

Справедлива следующая теорема.

Теорема II.I. Пусть A произвольное измеримое множество, A TN, N 3, 0 < µA < (2)N, B = TN \ A, и пусть Jk произвольная "выборка" из M, 1 k N - 2.

Если множество A удовлетворяет условиям (5), (6 ), где µ2F rpr(J ){intB} = 0, J2 M \ Jk, (6 ) то на множестве A в классе Lp(TN), p > 1, для кратных рядов Фурье, чьи прямоугольные частичные суммы Sn(x; f) имеют "номер" n = n()[Jk], справедлива слабая обобщенная локализация почти всюду тогда и только тогда, когда множество A обладает k свойством B(J ).

Заметим, что в части достаточности теорема II.I справедлива без ограничений (5), (6 ).

Критерий справедливости СОЛ в диссертации доказан в расширенной формулировке с указанием подмножества A1 A, на котором существует предел "Jk -лакунарной последовательности частичных сумм" lim Sn [Jk](x; f) = () j,jJk, nj,jM\Jk при условии f(x) = 0 на A.

Теорема II.I. Пусть A произвольное измеримое множество, A TN, N 3, 0 < µA < (2)N, и пусть Jk M, 1 k N - 2.

0 1. Если существует множество W = W (Jk) вида (4) такое, что множество A k обладает свойством B(J )(W ), то для любой функции f Lp(TN), p > 1, такой, что f(x) = 0 на A, lim Sn [Jk](x; f) = 0 почти всюду на W.

() j,jJk, nj,jM\Jk Пусть дополнительно множество A удовлетворяет условиям (5), (6 ), тогда k 0 k 2. Если свойство B(J )(W ) множества A является максимальным свойством B(J ), 2 то существует функция f1 L(TN) такая, что f1(x) = 0 на A и для любых k последоj j вательностей натуральных чисел {n( )}, j Jk, n( ) при j, справедлива j j оценка lim |Sn [Jk](x; f1)| = + почти всюду на TN \ W.

() j,jJk, nj,jM\Jk k 3. В частности, если множество A вообще не обладает свойством B(J ), то существует функция f2 L(TN) такая, что f2(x) = 0 на A и для любых k последовательj j ностей натуральных чисел {n( )}, j Jk, n( ) при j, справедлива оценка j j lim |Sn [Jk](x; f2)| = + почти всюду на TN.

() j,jJk, nj,jM\Jk Таким образом, для любого k, 1 k N - 2, справедливость или несправедливость СОЛ для рассматриваемых нами кратных рядов Фурье в классах Lp(TN), p > 1, на произвольном измеримом множестве A TN, N 3, определяется структурой и геометрией k множества A, которые, в свою очередь, описываются свойством B(J ), где величина k это число "лакунарных компонент" вектора n = (n1,..., nN) ZN ("номера" частичной суммы Sn(x; f)).

j Еще раз отметим (см. сноску к теореме I.II), что все последовательности {n( )}, j Jk, могут быть, j в частности, лакунарными или, например (если N 4 и k 2), почленно равными между собой (т.е.

) (j) (jk nj = · · · = nj = n0).

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»