WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО–МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.5 Лифанцева Ольга Валерьевна СТРУКТУРНЫЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ КРАТНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ФУРЬЕ 01.01.01 математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре математического анализа физико-математического факультета Московского государственного областного университета.

Научный консультант: доктор физико–математических наук, профессор Блошанский Игорь Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, профессор Дьяченко Михаил Иванович доктор физико–математических наук, профессор Холщевникова Наталья Николаевна

Ведущая организация: Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ"

Защита диссертации состоится 11 декабря 2009 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 10 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико – математических наук, профессор Сергеев И.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа относится к важной и активно развивающейся области гармонического анализа – к теории кратных разложений Фурье. Бурное развитие теории кратных разложений Фурье, имеющей широкое применение в различных отраслях современной науки и техники, началось с середины 60-х годов прошлого столетия. Если до этого (20-е годы XX века) был обнаружен ряд закономерностей, резко отличающих однократные разложения Фурье от кратных (N 2), и исследования были в основном направлены на получение ответа на вопрос: переносятся или нет "одномерные результаты" на кратный случай, – то во второй половине XX века появились результаты, показывающие некоторую особенность двумерного случая, и принципиально новые результаты, показывающие "специфику кратного случая" при N > 2 (т.е. результаты, практически "не проявляющиеся" в одномерном и достаточно тривиальные в двумерном случае).

Так, несправедливость даже в классе H (где () некоторый модуль непрерывности) принципа локализации в его классическом понимании для прямоугольных частичных сумм кратных рядов Фурье (Л. В. Жижиашвили) заставила ввести другое понятие локализации понятие "обобщенной локализации почти всюду" для кратных рядов Фурье, т.е. фактически перейти от понятия "локализация в точке" к понятию "локализация на множестве". Обобщенная локализация почти всюду в классах Lp, p > 1, оказалась справедлива только на произвольных открытых (с точностью до множества меры нуль) множествах и только для двойных тригонометрических рядов Фурье (рядов Фурье-Уолша), суммируемых по прямоугольникам, и не справедлива даже на столь простых множествах, как открытые кубы, в случае б ольшей размерности пространства (N > 2) даже в классах H (И. Л. Блошанский).

В таком случае, оставаясь в рамках классов Lp, p 1, возникла необходимость перейти к более тонкому аппарату исследования ряда Фурье функции f на множествах, где f равна нулю, а именно к понятию "слабая обобщенная локализация почти всюду" (введенному в работах И. Л. Блошанского). Исследованию в этой области и посвящена настоящая диссертация.

1. Рассмотрим N-мерное евклидово пространство RN, элементы которого будем обозначать x = (x1,..., xN), и положим (nx) = n1x1 + · · · + nNxN, |x| = (x2 + · · · + x2 )1/2.

1 N Введем множество ZN, ZN RN, множество всех векторов с целочисленными координатами, определим множество ZN = {(n1,..., nN) ZN : nj 1, j = 1,..., N}.

Пусть 2-периодическая (по каждому аргументу) функция f L1(TN), где TN = {x RN : - xj, j = 1,..., N}, разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье:

f(x) ckei(kx).

kZN Рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда Sn(x; f) = · · · ckei(kx), (1) |k1|n1 |kN |nN где n = (n1,..., nN) ZN.

Пусть A произвольное измеримое множество, A TN, µA > 0 (µ = µN N-мерная мера Лебега), и пусть f(x) = 0 на A.

В диссертации изучается поведение на A частичной суммы (1) при n (т.е.

min nj ) в зависимости от гладкости функции f(x), от структурных и геометри1jN ческих характеристик множества A, а также от ограничений, накладываемых на компоненты n1,..., nN вектора n "номера" частичной суммы Sn(x; f). Точнее, нас будет интересовать поведение частичной суммы (1) в случае, когда некоторые из компонент вектора n ZN являются элементами (однократных) лакунарных последовательностей.

2. Как известно, в одномерном случае А. Н. Колмогоровым еще в 1922 г. в работе [1] было установлено: для любой функции f L2(T1) последовательность частичных сумм Sn (x; f), где {n(k)}, n(k) Z1, k = 1, 2,..., лакунарная последовательность, сходится (k) почти всюду (п.в.) на T1. Указанный результат А. Н. Колмогорова был распространен в 1931 г. Дж. Литтлвудом и Р. Пэли [2] на классы Lp(T1), p > 1. Позже Р. Госселином [5] и В. Тотиком [6] было установлено, что в L1(T1) этот результат неверен.

В свою очередь, первый результат для кратных рядов (т.е. для N 2), касающийся "лакунарных последовательностей частичных сумм" был получен П. Шёлиным в 1971 г.

1 в работе [7], где было доказано, что если f Lp(T2), p > 1, {n( )}, n( ) Z1, 1 = 1, 2,..., 1 1 лакунарная последовательность, то lim Sn, n2(x; f) = f(x) п.в. на T2.

(1) 1, n2 В 1977 г. М. Кожима в работе [8] обобщил результат П. Шёлина, доказав, что если j j функция f Lp(TN), p > 1, N 2, и {n( )}, n( ) Z1, j = 1, 2,..., j = 1,..., N - 1, j j лакунарные последовательности, то lim Sn,...,nN-1, nN (x; f) = f(x) п.в. на TN.

(N-1) (1) 1,..., N-1, nN 1 n(s+1) Последовательность {n(s)}, n(s) Z1, называется лакунарной, если q > 1, s = 1, 2,....

n(s) Здесь, естественно, надо отметить результаты 1966 г. Л. Карлесона [3] и 1967 г. Р. Ханта [4] о том, что одномерный ряд Фурье любой функции из класса Lp(T1), p > 1, сходится п.в. на T1.

В той же работе М. Кожима доказал (используя результат Ч. Феффермана [9]), что сформулированный выше результат не может быть усилен в следующем смысле: для любой последовательности n = (n3, n4,..., nN) ZN-2 3 существует непрерывная функция, f C(TN), такая, что lim |Sn, n2, n(x; f)| = + п.в. на TN.

n1, n2, n 3. Далее, перейдем к вопросам слабой обобщенной локализации п.в. для (суммируемых по прямоугольникам) рядов Фурье функций из Lp, p 1. В работе [10] И. Л. Блошанским было дано следующее определение.

Определение 1. Пусть A, A TN, произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из класса Lp(TN), p 1, справедлива на множестве A слабая обобщенная локализация почти всюду (СОЛ), если для любой функции f Lp(TN), f(x) = 0 на A, существует такое подмножество A1 A, µA1 > 0, что lim Sn(x; f) = 0 почти всюду на A1.

n Для формулировки результатов по СОЛ (в классах Lp(TN), p > 1, N 2), а также для формулировки полученнных в настоящей работе результатов, введем следующие обозначения.

Пусть M множество чисел {1,..., N} и k M. Обозначим: Jk = {j1,..., jk}, js < jl при s < l, и (в случае k < N) M \ Jk = {m1,..., mN-k}, ms < ml при s < l, непустые подмножества множества M. Будем считать также, что J0 = и M \ JN =. Разложим пространство RN на сумму двух подпространств R[Jk] и R[M \ Jk], где R[Js] = {x = (x1,..., xN) RN : xj = 0 при j M \ Jk}, а R[M \ Jk] = {x RN : xj = 0 при j Jk}.

Обозначим также T[Jk] = {x R[Jk] : - xj при j Jk} и T[M \ Jk] = {x R[M \ Jk] : - xj при j M \ Jk}. Очевидно, что R[JN] = RN, а T[M] = TN.

Пусть, TN, N 2, произвольное (непустое) открытое множество, и пусть [J2] = pr(J ){} ортогональная проекция множества на плоскость R[J2], J2 M.

Положим W [J2] = [J2] T[M \ J2], J2 M. (2) В частности, каждая компонента nj вектора n может быть элементом лакунарной последовательности.

При этом любой вектор z = (z1,..., z2N ) A B, где A R[Jk], а B R[M \ Jk], мы отождествляем с вектором x = (x1,..., xN ) RN по формуле: xs = zs при s Jk, xs = zN+s при s M \ Jk.

Множества W [J2] будем называть "N-мерными брусками". Далее для любого Jk, 0 k N - 2, рассмотрим следующие множества: множество W = W (Jk) = W (, Jk) = W [J2] (3) J2M\Jk (которое будем называть "полным N-мерным крестом", если Jk =, и "неполным Nмерным крестом", если Jk = ) и множество 0 0 W = W (Jk) = W (, Jk) = W [J2] (4) J2M\Jk (которое будем называть "центром" соответствующего "N-мерного креста").

В работе [10] (см. также [11,12]) И. Л. Блошанским была доказана следующая теорема.

Теорема А. Для любой функции f Lp(TN), p > 1, N 2, f(x) = 0 на W = W (J0), 0 lim Sn(x; f) = 0 почти всюду на W = W (J0).

n Как следует из теоремы A, СОЛ для кратных рядов Фурье, суммируемых по прямоугольникам, в классах Lp(TN), p > 1, справедлива на "полном кресте" W = W (J0) вида (3) с числом брусков W [J2] (2), равным CN. В той же работе была доказана неусиляемость этого результата в следующих смыслах: во-первых, были приведены примеры множества W = W (J0) вида (3) и функции f L(TN), равной нулю на W, таких, что lim |Sn(x; f)| = + п.в. на TN \ W ;

n во-вторых, было показано, что на кресте с меньшим, чем CN, числом брусков или на кресте с другой геометрией брусков СОЛ, вообще говоря, не справедлива даже в классе непрерывных функций.

Таким образом, "полные N-мерные кресты" W = W (J0) представляют собой "самые простые" множества, на которых справедлива СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье функций из класса Lp(TN), p > 1.

Приведенные выше результаты поставили вопрос о поиске критерия справедливости СОЛ на произвольных измеримых подмножествах TN положительной меры (для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье функций из класса Lp(TN), p > 1). В [12] И. Л. Блошанским такой критерий был сформулирован и доказан для широкого класса измеримых множеств {A}, A TN, N 2, µA > 0 (с некоторыми ограничениями на 5 k Очевидно, что для каждого k, 0 k N - 2, мы можем построить CN различных "N-мерных крестов".

границу множества A), в терминах структурно-геометрических характеристик множества A, описываемых свойством B2. Чтобы сформулировать этот критерий, дадим следующие определения.

Определение 2. Будем говорить, что множество A вписывается почти всюду (вписывается с точностью до множества меры нуль) в множество B, если µ(A\B) = 0.

Определение 3. 1. Будем говорить, что множество A, A TN, N 2, обладает свойством B2, если существует множество W = W (J0) вида (3), которое вписывается 0 0 п.в. в A, причем, свойство B2 есть свойство B2(W ), если W = W (W ).

2. Свойство B2(W ) множества A будем называть максимальным свойством B2 мно0 0 0 жества A, если для любого множества W = W (J0) вида (4) такого, что µ(W \W ) > 0, множество A не обладает свойством B2(W ).

Обозначим через intP множество внутренних точек P, через P замыкание множества P и через F rP границу множества P.

Пусть A произвольное измеримое множество, A TN, N 2, 0 < µA < (2)N, B = TN \ A. Рассмотрим следующие условия на границу множества A:

µ(B \ intB) = 0, (5) µ2F r pr(J ){intB} = 0, J2 M, (6) где µ2 мера на плоскости.

И. Л. Блошанский доказал (см., в частности, [12]), что на произвольном измеримом множестве A, A TN, N 2, 0 < µA < (2)N, удовлетворяющем условиям (5), (6), в классах Lp(TN), p > 1, СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье справедлива тогда и только тогда, когда множество A обладает свойством B2. Заметим, что в части достаточности данное утверждение справедливо без ограничений (5), (6).

Подчеркнем, что критерий справедливости СОЛ был доказан в расширенной формулировке с указанием подмножества A1 множества A, на котором существует предел последовательности частичных сумм Sn(x; f), а именно Теорема B. Пусть A произвольное измеримое множество, A TN, N 2, 0 < µA < (2)N.

Множество A T2, обладающее свойством B2, это множество, для которого существует (непустое) открытое множество, T2, такое, что µ( \ A) = 0 (см. [10, 12]).

В частности, этому условию удовлетворяют множества B такие, что µ(intB) = µB; в свою очередь последнее условие справедливо, например, для множеств B таких, что B = TN \ A, где A произвольное замкнутое множество.

0 1. Если для некоторого W = W (J0) вида (4) множество A обладает свойством B2(W ), то для любой функции f Lp(TN), p > 1, такой, что f(x) = 0 на A, lim Sn(x; f) = 0 почти всюду на W.

n Пусть дополнительно множество A удовлетворяет условиям (5), (6), тогда 2. Если свойство B2(W ) множества A является максимальным свойством B2, то существует функция f1 L(TN) такая, что f1(x) = 0 на A, но lim |Sn(x; f1)| = + почти всюду на TN \ W.

n 3. В частности, если множество A вообще не обладает свойством B2, то существует функция f2 L(TN) такая, что f2(x) = 0 на A, но lim |Sn(x; f2)| = + почти всюду на TN.

n Полученные результаты о справедливости СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье поставили новый вопрос: пусть A произвольное измеримое множество, A TN; каким (с точки зрения геометрии и структуры) должно быть "максимальное" множество, на котором сходится п.в. тригонометрический ряд Фурье функции f Lp(TN), p 1, равной нулю на A В [13] (см. также [14]) И. Л. Блошанским были введены понятия максимального множества неограниченной расходимости п.в. и максимального множества сходимости п.в. для указанных рядов.

Определение 4. Максимальным множеством неограниченной расходимости (ММНР) почти всюду кратных рядов Фурье функций из класса Lp(TN), p 1, f(x) = на A, будем называть множество E1, E1 TN, µE1 > 0, которое во-первых, является множеством неограниченной расходимости (МНР) почти всюду указанных рядов, т.е. существует функция f1 Lp(TN), f1(x) = 0 на A, такая, что lim |Sn(x; f1)| = + почти всюду на E1;

n во-вторых, множество E1 является максимальным, т.е. для любой функции f Lp(TN), f(x) = 0 на A, lim |Sn(x; f)| < + почти всюду на CE1 = TN \ E1.

n Определение 5. Максимальным множеством сходимости (ММC) почти всюду кратных рядов Фурье функций из класса Lp(TN), p 1, f(x) = 0 на A, будем называть множество E2, E2 TN, µE2 > 0, которое во-первых, является множеством сходимости (МC) почти всюду указанных рядов, т.е. для любой функции f Lp(TN), f(x) = 0 на A, существует предел lim Sn(x; f) = f(x) почти всюду на E2;

Pages:     || 2 | 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»