WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

W.D Smith. A lower bound for simplexity of the n-cube via hyperbolic volumes. European J. Combin.

21(1) (2000), 131-137.

R. W. Cottle. Minimal triangulation of the 4-cube. Discrete Math., 40(1):25–29, 1982.

J. F. Sallee. A triangulation of the n-cube. Discrete Math., 40(1):81–86, 1982.

R. B. Hughes. Lower bounds on cube simplexity. Discrete Math., 133(1-3):123–138, 1994.

R. B. Hughes and M. R. Anderson. Simplexity of the cube. Discrete Math., 158(1-3):99–150, 1996.

A. Bliss, F. E. Su. Lower bounds for simplicial covers and triangulations of. cubes, Discrete Comput.

Geom. 33 (2005), 669–686.

разбиениях или покрытиях n-мерного куба, в которых получены некоторые оценки на эти числа для конкретных значений размерности n.

Цель работы 1. Исследовать аналог Анти-Дюрер гипотезы для класса невыпуклых многогранников с выпуклыми гранями.

2. Исследовать свойства ненормальных полиэдральных разбиений, в частности гипотезу об “одинокой” вершине 3. Получить многомерный дискретный вариант теоремы о четырех вершинах.

4. Найти новую нижнюю асимптотическую оценку для числа симплексов в симплициальном разбиении n-мерного куба.

Основные методы исследования В первой главе используются методы теории графов и комбинаторной геометрии, теории многогранников.

Во второй главе используются методы комбинаторной и метрической геометрии, теории графов и линейной алгебры.

В третьей главе диссертации используются методы дискретной геометрии, общей топологии и линейной алгебры.

В четвертой главе используются методы линейной алгебры, вычислительной математики, комбинаторной и метрической геометрии.

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана Анти-Дюрер гипотеза для невыпуклых многогранников с выпуклыми гранями, то есть для любого натурального N построен многогранник PN, реберная развертка которого состоит из по крайней мере N многоугольников.

2. Доказана теорема об “одинокой” вершине. Доказано также несколько обобщений этой теоремы. С помощью одного из этих обобщений получена теорема о невозможности существования конечной компоненты графа полиэдрального разбиения. Эта теорема позволяет доказать критерий того, что самоподобное подстановочное полиэдральное разбиение обладает конечной локальной сложностью.

3. Доказано многомерное обобщение дискретного варианта теоремы о четырех вершинах.

4. Доказана теорема об объемных инвариантах симплициальных разбиений призмоидов.

5. Найдена новая нижняя асимптотическая оценка на число симплексов в симплициальных разбиениях n-мерных кубов.

Теоретическая и практическая ценность Диссертация имеет теоретический характер. Результаты, полученные в первой главе диссертации, могут быть использованы для дальнейшего исследования реберных разверток многогранников. Результаты второй главы диссертации могут быть использованы для исследования локальных свойств полиэдральных разбиений, в том числе для исследования подстановочных разбиений, обладающих конечной локальной сложностью. Результаты третьей главы могут быть использованы для обобщения понятия экстремума кривизны в на многомерный случай. Результаты четвертой главы диссертации могут быть использованы для дальнейшего исследования триангуляций и симплициальных разбиений.

Апробация результатов Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре “Дискретная геометрия и геометрия чисел” под руководством Н.П. Долбилина и Н.Г. Мощевитина (мех-мат МГУ, 2006-2009); на семинаре им. М.М. Постникова “Алгебраическая топология и ее приложения” под руководством В.М. Бухштабера, А.В. Чернавского, И.А. Дынникова, Л.А. Алании, Д.В. Миллионщикова и Т.Е. Панова (мех-мат МГУ, 2007, 2009); на семинаре по геометрии им. И.Ф. Шарыгина (МЦНМО, 2007);

на геометрическом семинаре ПОМИ РАН им. А.Д. Александрова под руководством Ю.Д. Бураго (ПОМИ РАН, 2009); на научно-исследовательском семинаре по теории чисел под руководством Ю.В. Нестеренко, Н.Г. Мощевитина (мех-мат МГУ, 2009); cеминаре “Современные геометрические методы” под руководством А.Т. Фоменко, А.С. Мищенко, А.В.

Болсинова, А.А Ошемкова, Е.А. Кудрявцевой (мех-мат МГУ, 2009), семинаре “Арифметика и геометрия” под руководством Н. Г. Мощевитина, А. М. Райгородского и О. Н. Германа (мех-мат МГУ, 2009), кафедральном семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений под руководством А. Т. Фоменко (мех-мат МГУ, 2009).

Также результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях и семинарах: 2-nd COE Workshop on Sphere Packings, Fukuoka, Japan (2005); ISM Symposium: Packing and random packing, Tokyo, Japan (2006); IX Международный семинар “Дискретная математика и ее приложения”, посвященный 75-летию со дня рождения академика О.Б. Лупанова, Москва (2007); 10-th International Conference on Discrete Mathematics, Dortmund, Germany (2007); Mathematics research seminar, UTB, Brownsville, USA (2008); Combinatorics Seminar, CUNY, New York, USA (2008); Workshop on Combinatorial Geometry and Topology, South Padre Island, USA (2008); The 17th Annual Meeting of the South Texas Mathematics Consortium, Edinburg, USA (2009); The Discrete Geometry Workshop, South Padre Island, USA (2009); Русско-Японская конференция “Discrete Geometry and Statistics of Configurations”, Москва (2009).

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата [1-6].

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Полный объем диссертации 80 страниц, библиография включает наименования.

Краткое содержание работы Во введении дается обзор результатов, связанных с темой диссертации. Также формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена разверткам многогранников. Основной результат главы составляет доказательство аналога Анти-Дюрер гипотезы для невыпуклых многогранников с выпуклыми гранями.

В разделе 1.1 приводятся основные определения, а также ставятся задачи, связанные с развертками многогранников. Основными гипотезами в этой области являются гипотеза Дюрера, впервые поставленная Шепардом, и Анти-Дюрер гипотеза, выдвинутая Н.П. Долбилиным. Помимо постановки задач в разделе также приводится доказательство того, что любой выпуклый многогранник с F гранями может быть развернут F на не более чем компонент и показано, почему требование выпуклости граней для Анти-Дюрер гипотезы является существенным, – приведен простой пример, доказывающий Анти-Дюрер гипотезу для класса многогранников с невыпуклыми гранями.

В разделе 1.2 мы конструируем граф, в некотором смысле обобщающий знаменитый граф Татта42, явившийся контрпримером к гипотезе Тейта43 о гамильтоновсти реберных графов выпуклых многогранников.

Построенный для заданного натурального N 3 планарный трехсвязный граф TN состоит из N так называемых фрагментов Татта.

Назовем связный подграф H планарного графа G разрезанием, если для каждой вершины графа G есть как минимум два инцидентных ребра, принадлежащих H.

В разделе доказывается следующее обобщение теоремы Татта:

Теорема 1.2.2. Для любого N 3 в планарном трехсвязном графе TN N число граней любого разрезания не менее + 3 В третьем разделе главы мы приводим конструкцию шипа, введенную А. Тарасовым в 1999 г. для построения примера неразворачиваемого в одну компоненту многогранника. Рассматривается простая вершина многогранника, от нее на ребрах многогранника откладываются равные и достаточно малые по длине отрезки. Тетраэдр с вершинами в четырех получившихся точках отрезается от многогранника, а к новой грани, появившейся после отрезания, пристраивается достаточно высокий тетраэдр, который и называется шипом. Для получившейся конструкции в этом разделе также доказывается пара локальных свойств разверток, которые будут использованы далее для доказательства основной теоремы главы.

В разделе 1.4 приводится собственно доказательство Анти-Дюрер гипотезы для невыпуклых многогранников с выпуклыми гранями. Пусть QN выпуклый многогранник, реберный остов которого изоморфен графу TN. Такой многогранник существует по теореме Штейница. Построим у многогранника QN на каждой простой (т.е. степени 3) вершине с суммой плоских углов больше по шипу. Пусть Q N – полученный многогранник.

Теорема 1.4.1. Реберная развертка многогранника Q N имеет больше N - 4 компонент.

Схема доказательства теоремы 1.4.1 следующая.

W.T. Tutte. On Hamiltonian Circuits, J. London Math. Soc. 21, 98-101, 1946.

P.G. Tait. Remarks on the Colouring of Maps. Proc. Royal Soc. Edinburgh 10, 729, 1880.

1. Для графа TN рассмотрим подграф H, соответствующий развертке многогранника Q N.

2. Оценим число компонент развертки снизу через T1 + T2 - 5, где T– число граней связного планарного графа H, а T2 – число его висячих вершин.

3. Построим из графа H разрезание H графа TN с числом граней, не превышающим T1 + T2. Воспользуемся обобщением теоремы Татта, доказанным в разделе 1.2. Число компонент развертки должны быть по N крайней мере + - 5, тем самым теорема доказана.

3 Вторая глава посвящена теореме об “одинокой” вершине, ее следствиям и обобщениям, а также подстановочным полиэдральным разбиениям, изучение которых и послужило мотивацией для постановки рассматриваемых задач.

В разделе 2.1 приводится постановка задачи, показывается существенность требования локальной конечности, а также доказывается сама теорема об “одинокой” вершине для случая кубических разбиений с помощью идей, далее использующихся и для доказательства общего случая.

В разделе 2.2 вводятся понятия сферических A- и B-многогранников.

Мы называем выпуклый n-мерный сферический многогранник B-многогранником, если он содержит два конца какого-нибудь диаметра сферы и A-многогранником в обратном случае.

Ключевой для доказательства теоремы об “одинокой” вершине является следующая теорема:

Теорема 2.2.1. Индикатор A-многогранника не может быть равен линейной комбинации с действительными коэффициентами индикаторов конечного числа B-многогранников.

Приведем здесь основные идеи доказательства этой теоремы. Доказательство будет проведено по индукции по размерности сферы. Для каждой сферической функции f : Sn R и гиперплоскости h, проходящей через центр сферы, мы определяем верхний и нижний пределы этой функции по отношению к данной гиперплоскости – функции + fh : Sn-1 R и fh : Sn-1 R. Теперь предположим, что искомое линейное представление все же существует. Рассмотрим гиперплоскость h, проходящую через одну из граней данного A-многогранника. Рассмотрим верхний и нижний пределы этого линейного представления относительно гиперплоскости h и разность получившихся выражений. Как нетрудно заметить, эта самая разность и будет давать противоречие с утверждением теоремы для размерности на 1 меньше, тем самым проходит шаг индукции.

Из этой теоремы следует сама теорема об “одинокой” вершине:

Теорема 2.2.5. Пусть T локально конечное разбиение Rn на выпуклые многогранники. Тогда не существует такой точки x Rn, что x является вершиной ровно одного из многогранников разбиения T.

Очевидно, что эта же теорема верна для сферических и гиперболических разбиений.

Также в этом разделе доказано следствие из теоремы для граней больших размерностей.

Следствие 2.2.6. Каждая k-мерная грань какого-то многогранника в локально конечном разбиении T пространства Rn на выпуклые многогранники покрыта конечным числом k-мерных граней других многогранников разбиения.

В разделе 2.3 доказано следующее обобщение теоремы об “одинокой” вершине:

Теорема 2.3.1. Пусть T локально конечное разбиение Rn на выпуклые многогранники. Тогда не существует такой точки x Rn и (n - 1)-мерной гиперплоскости H, проходящей через x, что x является вершиной ровно только многогранников T, лежащих по одну и ту же сторону от H и пересекающихся с H только по x.

С помощью предыдущей теоремы мы доказываем, что граф разбиения не может иметь конечных компонент связности.

Теорема 2.3.2. Для локально конечного разбиения T пространства Rn на выпуклые многогранники пусть G = (V, E) будет следующий граф: V – это множество всех вершин многогранников разбиения T. Вершины разных многогранников отождествлены, если они совпадают как элементы пространства Rn. E – это множество ребер в G, такое, что (x, y) E тогда и только тогда, когда отрезок xy целиком составляет ребро какого-то из многогранников разбиения T. Тогда все связные компоненты графа G бесконечны.

Раздел 2.4 посвящен подстановочным разбиениям. С помощью теоремы 2.3.2 доказывается следующий критерий того, что самоподобное подстановочное разбиение обладает конечной локальной сложностью (автором этого критерия является Д.Фреттлох, который для его доказательства и поставил вопрос об “одинокой” вершине).

Теорема 2.4.2. Пусть T – самоподобное подстановочное разбиение с полиэдральными прототайлами и целым коэффициентом подобия. Без ограничения общности можем считать, что 0 – вершина любого из прототайлов. Если линейная оболочка над Z всех вершин прототайлов образует дискретную решетку, то T обладает конечной локальной сложностью.

В разделе 2.5 мы исследуем конфигурации, соответствующие вершинам разбиения, которые являются вершинами ровно двух многогранников разбиения (так называемым “двойным” вершинам) и доказываем для них следующую теорему.

Теорема 2.5.1. Пусть полиэдральное локально конечное разбиение единичной сферы Sn содержит ровно два A-многогранника P, P. Пусть v вершина P. Тогда или v, или -v является вершиной P.

Третья глава посвящена многомерному дискретному варианту теоремы о четырех вершинах.

В разделе 3.1 приводятся различные варианты теоремы о четырех вершинах в гладком и дискретном случае. Также в этом разделе приведена гипотеза А. Шаттемана35, доказательство которой в статье самого Шаттемана, как мы покажем, неверно.

Рассмотрим симплициальный многогранник P в d-мерном евклидовом пространстве. Будем называть этот многогранник многогранником общего положения, если никакие его d + 2 вершины не лежат на одной сфере, и он не d-мерный симплекс. С этого момента мы будем рассматривать только многогранники общего положения. Каждая (d - 2)-мерная грань однозначно определяет соседствующую сферу, проходящую через вершины двух фасет, пересекающихся по этой (d - 2)-мерной грани. Соседствующая сфера называется пустой, если она не содержит других вершин P, и она называется полной, если все остальные вершины P находятся внутри нее. Мы будем называть пустые или полные соседствующие сферы экстремальными. Шаттеман сформулировал следующую теорему:

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»