WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Amitsur S.A., Generalized polynomial identities and pivotal monomials, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 9, pp. 635–642 (1958).

Martindale W.S. 3rd: Prime rings satisfying a generalized polynomial identity, J. Algebra, vol. 12, pp. 576–584 (1969).

Beidar K.I., Martindale W.S. 3rd, Mikhalev A.V., Rings with generalized polynomial identities, Marcel Dekker, Inc., New York, 1996.

Brear M., Functional identities of degree two, J. Algebra, vol. 172, pp. 690–720 (1995).

Бейдар К.И., Михалев А.В., Чеботарь М.А., Тождества в кольцах, Тула: Издательство ТулГУ, 2003.

Бейдар К.И., Михалев А.В., Чеботарь М.А., Функциональные тождества в кольцах и их приложения, Успехи мат. наук, том 59, вып. 3, стр. 3–30 (2004).

колец. В частности, при помощи функциональных тождеств были описаны отображения лиевского типа, что позволило получить ответы на вопросы, сформулированные в известных проблемах Херстейна. В связи с тем, что для обобщенных полиномиальных, функциональных и обобщенных функциональных тождеств естественным образом вводятся их коразмерности, возникает вопрос о справедливости для таких коразмерностей аналогов гипотез Амицура и Регева.

Цель работы • Доказать гипотезу А. Регева для коразмерностей полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр с единицей, имеющих PIэкспоненту 2.

• Обобщить результат В.С. Дренски о периодичности последовательности кратностей неприводимых кохарактеров в разложении обычного кохарактера ассоциативных алгебр полиномиального роста. Исследовать периодичность кратностей собственных кохарактеров ассоциативных алгебр с единицей, имеющих PI-экспоненту 2.

• Доказать аналоги гипотез С.А. Амицура и А. Регева для коразмерностей обобщенных полиномиальных тождеств. Получить критерий конечности коразмерностей обобщенных полиномиальных тождеств в терминах структуры алгебры.

• Доказать аналоги гипотез С.А. Амицура и А. Регева для коразмерностей функциональных и обобщенных функциональных тождеств.

x a c 0 y b • Исследовать тождества и коразмерности алгебры. Полу0 0 x чить оценки на коразмерности и кохарактеры алгебр Клиффорда, выявить для алгебр Клиффорда ранга 1 полилинейное тождество наименьшей степени. Построить конечномерную супералгебру, базис тождеств грассмановой оболочки которой состоит из многочлена [x1, x2, x3, x4].

Научная новизна 1. Доказана гипотеза А. Регева для коразмерностей полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр с единицей, имеющих PIэкспоненту 2. Доказано, что при фиксированных нижних строчках последовательность кратностей неприводимых кохарактеров в разложении обычного кохарактера ассоциативных алгебр полиномиального роста, начиная с некоторого места, постоянна. Благодаря этому получено новое доказательство гипотезы А. Регева для коразмерностей полиномиальных тождеств алгебр полиномиального роста. Доказано, что если в диаграмме Юнга фиксированы все строчки, кроме первой, или все столбцы, кроме первого, то кратность вхождения соответствующего неприводимого кохарактера в собственный кохарактер ассоциативных алгебр с единицей, имеющих PI-экспоненту 2, начиная с некоторого места, имеет период 2.

2. Доказаны аналоги гипотез С.А. Амицура и А. Регева для коразмерностей обобщенных полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр.

Оказалось, что экспоненты роста коразмерностей обычных и обобщенных полиномиальных тождеств совпадают. Получены критерии конечности коразмерностей обобщенных полиномиальных тождеств в терминах структуры алгебры.

3. Доказаны аналоги гипотез С.А. Амицура и А. Регева для коразмерностей функциональных и обобщенных функциональных тождеств произвольных необязательно ассоциативных алгебр над полями любой характеристики.

x a c 0 y b 4. Вычислены базис тождеств и коразмерности алгебры. По0 0 x лучены оценки на коразмерности и кохарактеры алгебр Клиффорда, выявлены полилинейные тождества наименьшей степени для алгебр Клиффорда ранга 1. Построена конечномерная супералгебра, базис тождеств грассмановой оболочки которой состоит из многочлена [x1, x2, x3, x4]. Это позволило вычислить коразмерности данного тождества новым способом.

Основные методы исследования В работе используются методы теории полиномиальных тождеств, структурной теории колец, теории представлений, тензорной и линейной алгебры.

Теоретическая и практическая ценность работы Работа имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для алгебры, комбинаторики, теоретической и математической физики.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались:

• на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ, 2009 г.;

• на семинаре «Избранные вопросы алгебры» кафедры высшей алгебры МГУ, 2005 – 2009 гг.;

• на международной алгебраической конференции, посвященной 100летнему юбилею профессора А.Г. Куроша, Москва, МГУ, 2008 г. (тезисы [7]);

• на международном алгебраическом семинаре, посвященном 80летнему юбилею члена-корреспондента РАН, профессора А.И. Кострикина, Москва, МГУ, 2009 г.;

• на международной конференции «Современные проблемы математики и механики», посвященной 70-летнему юбилею академика РАН, профессора В.А. Садовничего, Москва, МГУ, 2009 г.;

• на семинаре профессора А. Бака, университет г. Билефельда, Германия, 2007 г.;

• на конференции «Ломоносовские чтения», Москва, МГУ, 2009 г.;

• на XVI международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Москва, МГУ, 2009 г.;

• на мини-конференции, посвященной 85-летнему юбилею профессора А.Д. Мышкиса, Москва, МИЭМ, 2005 г.

Публикации Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 7 работах, из них в журналах из перечня ВАК. Список данных работ приводится в конце автореферата [1–7].

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав и заключения. Список литературы включает 58 наименований. Общий объем диссертации составляет 106 страниц.

Краткое содержание работы В первой главе приводятся необходимые сведения из теории колец, теории полиномиальных тождеств и теории представлений.

Пусть X = {x1, x2,...} — счетное множество, F — поле характеристики нуль, F X — свободная ассоциативная алгебра над полем F, т.е. алгебра всех многочленов от счетного набора некоммутирующих переменных X с коэффициентами из F. Пусть A — некоторая ассоциативная алгебра над полем F. Многочлен f F X называется обычным полиномиальным тождеством для алгебры A, если f(a1, a2,..., an) = 0 для всех a1, a2,..., an A.

Совокупность Id(A) полиномиальных тождеств алгебры A является T идеалом в F X, т.е. (Id(A)) Id(A) для всех End(F X ). Если Id(A) = 0, то A называется PI-алгеброй. Обозначим через Pn простран ство полилинейных многочленов от некоммутирующих переменных x1, x2, Pn..., xn с коэффициентами из поля F, тогда число cn(A) = dim PnId(A) называется n-й коразмерностью обычных полиномиальных тождеств алгебры A.

Pn На определена естественная структура F Sn-модуля. ХаракPnId(A) Pn тер n(A) представления группы Sn на пространстве называется PnId(A) n-м кохарактером обычных полиномиальных тождеств алгебры A. Как известно, каждому неприводимому представлению Sn соответствует разбиение n числа n на положительные слагаемые.

Многочлен, являющийся линейной комбинацией произведений вида [xi,..., xi ][xi,..., xi ]... [xi,..., xi ], называется собственным. Обо1 k k+1 p r значим через пространство собственных полилинейных многочленов от переменных x1, x2,..., x. Характер (A) представления группы S на про странстве называется -м собственным кохарактером алгебры A.

Id(A) Вторая глава посвящена изучению обычных полиномиальных тождеств, их коразмерностей и кохарактеров.

В параграфе 2.1 доказываются следующие теоремы:

Теорема 1. Пусть A — (необязательно конечномерная) алгебра с 1 над полем F, char F = 0, причем P I exp A = 2. Тогда в алгебре A выполнена гипотеза Регева.

Теорема 2. Пусть A — алгебра с 1 над полем F, char F = 0, причем P I exp A = 2. Тогда существуют такие числа p, 1 N, что для всех выполнено k(1,..., s) = k(1 + 2, 2,..., s) при > 1 и 1 > p, k(1,..., s) = k(1,..., s, 1, 1) при > 1 и s > p, s s k(1,..., s) = 0 при i p и (i - 1) p, i=2 i= где (A) = k() — разложение собственного кохарактера в сумму неприводимых.

Теорема 3. Пусть A — алгебра (необязательно с единицей) над полем F, char F = 0, причем P I exp A = 1. Тогда существуют такие числа p, n1 N, что для всех n выполнено m(1,..., s) = m(1 + 1,..., s) при n > n1, s m(1,..., s) = 0 при i p, i= где n(A) = m() — разложение обычного кохарактера в сумму n неприводимых.

В доказательстве теорем 2 и 3 показывается, что исследуемые кратности ограничены. Для многочленов определенного вида, линейно независимых по модулю полиномиальных тождеств, строятся их линейно независимые аналоги б ольших степеней, отвечающие аналогичным диаграммам Юнга.

Справедливость теоремы 1 следует из теоремы 2.

Теорема 3 является обобщением результата В.С. Дренски11 о периодичности кохарактеров алгебр полиномиального роста и позволяет доказать гипотезу А. Регева для таких алгебр новым способом.

В параграфе 2.2 вычисляются базис, коразмерности, кодлины и кохарактеры полиномиальных тождеств алгебры, состоящей из верхнетреугольных x a c 0 y b матриц 3 3 вида над полем F нулевой характеристики. В пара0 0 x графе 2.3 обсуждаются графы коммутативности и их алгебры, которые затем используются в последующих параграфах. Параграф 2.4 посвящен изучению тождеств в алгебрах Клиффорда. В нем получены оценки на коразмерности и кохарактеры алгебр Клиффорда, выявлены полилинейные тождества наименьшей степени для алгебр Клиффорда ранга 1. В параграфе 2.5 строится конечномерная супералгебра, базис тождеств грассмановой оболочки которой состоит из коммутатора длины 4. Это позволяет вычислить коразмерности данного тождества новым способом.

В третьей главе доказываются аналоги гипотез С.А. Амицура и А. Регева для обобщенных полиномиальных тождеств, а также критерий конечности обобщенных коразмерностей.

Пусть A — ассоциативная алгебра над некоторым полем F.

Многочлен f(x1,..., xn) F X F A называется обобщенным полиномиальным тождеством алгебры A, если f(a1,..., an) = 0 для всех ai A, 1 i n. (Здесь знаком обозначено свободное произведение, или, в другой терминологии, некоммутативное копроизведение алгебр.) Понятно, что обобщенные тождества алгебры A образуют идеал в алгебре F X F A.

Обозначим этот идеал через GId(A).

Пример. Пусть A = M2(F ), тогда e11xe11ye11 - e11ye11xe11 GId(M2(F )).

(Для проверки достаточно подставить матричные единицы eij.) Пусть n N и Vn(A) = a0x(1)a1x(2)a2... an-1x(n)an | Sn, ai A {1} F.

Элементы пространства Vn(A) называются обобщенными полилинейными многочленами от переменных x1, x2,..., xn с коэффициентами в алгебVn(A) ре A. Последовательность gcn(A) = dim коразмерностей обобVn(A)GId(A) щенных полиномиальных тождеств назовем последовательностью обобщенных (полиномиальных) коразмерностей алгебры A.

В диссертации доказываются следующие теоремы:

Теорема 4. Пусть A — ассоциативная алгебра над полем F характеристики 0, причем A = I + J — сумма идеалов, dimF I < +, а J — нильпотентен. Тогда существуют n0 N, C Q+, r Z+, что gcn(A) < + при n n0 и gcn(A) Cnrdn при n. Здесь d = P I exp(A) Z+.

Теорема 5. Пусть A — ассоциативная алгебра над произвольным полем F. Если gcn(A) < + для некоторого n N, то A = I + J для некоторых идеалов I и J, причем dimF I < +, а J — нильпотентен.

Следствие. Если A — ассоциативная алгебра над некоторым полем F характеристики 0 и для некоторого n N выполнено условие gcn(A) < +, то для обобщенных полиномиальных тождеств такой алгебры справедливы аналоги гипотез С.А. Амицура и А. Регева.

В доказательстве теоремы 4 случай бесконечномерной алгебры сводится к конечномерному случаю. Переменные переупорядочиваются при помощи введения их «фантомов». Определяется действие произведений групп подстановок на пространствах обобщенных полилинейных многочленов и показывается, что в разложения этих пространств в сумму неприводимых подмодулей входят только те подмодули, которые отвечают наборам диаграмм Юнга с длинными первыми строчками. Также доказывается, что кратности таких подмодулей с ростом числа клеток в первых строчках почти всюду постоянны. При помощи этого получается требуемая асимптотика. В доказательстве теоремы 5 показывается, что факторалгебра по радикалу Джекобсона всякой алгебры, удовлетворяющей условиям теоремы 5, конечномерна, а сам радикал нильпотентен.

Четвертая глава посвящена изучению асимптотики коразмерностей функциональных и обобщенных функциональных тождеств.

Пусть A — необязательно ассоциативная алгебра над полем F произвольной характеристики. Выражение n (Gi(x1,..., xi-1, xi+1,..., xn)xi + xiHi(x1,..., xi-1, xi+1,..., xn)) i=назовем полилинейным функциональным многочленом степени n с коэффициентами в алгебре A. Здесь Gi, Hi : A(n-1) A — произвольные F линейные отображения, n 2. Линейными функциональными многочленами степени 1 будем называть выражения вида cx + xd, где c, d A.

Полилинейные функциональные многочлены степени n образуют векторное пространство, которое мы обозначим через F Pn(A).

Пусть f F Pn(A). Если f(p1,..., pn) = 0 для всех p1,..., pn A, то говорят, что f — функциональное тождество алгебры A. Понятно, что множество F Idn(A) полилинейных функциональных тождеств степени n N является линейным подпространством в пространстве F Pn(A). КоразмерF Pn(A) ности fcn(A) = dim функциональных тождеств назовем функциоF Idn(A) нальными коразмерностями алгебры A.

Пример. Пусть A — алгебра с единицей, H : A A — линейное отображение, переводящее единицу в единицу, а остальные элементы базиса — в 0.

Тогда H(x)y - yH(x) F Id2(A).

Аналогично, выражение n (Gik(x1,..., xi-1, xi+1,..., xn)xiaik+ i=1 k=+bikxiHik(x1,..., xi-1, xi+1,..., xn)) назовем обобщенным полилинейным функциональным многочленом степени n с коэффициентами в алгебре A. Здесь Gik, Hik : A(n-1) A — произвольные F -линейные отображения, aik, bik A {1}, n 2, N. Скобки на произведениях расставляются произвольно. Линейными обобщенными функциональными многочленами степени 1 будем называть выражения ви да akxbk + cx + xd, где ak, bk, c, d A, N. Полилинейные обобщенные k=функциональные многочлены степени n образуют векторное пространство, которое мы обозначим через GF Pn(A).

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»