WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Булинским и Шашкиным14 доказано, что при выполнении условий 1 - 3 для некоторых положительных и B, зависящих только от d, s, Ds и, верна оценка E |S(Un)|2+ B|Un|1+/2. (5) Теорема 1.2.2. Пусть выполнены предположения теоремы 1.1.и условия 1–3, где s (2, 3] в 2 и > ds/(s - 2) в 3. Кроме того, M предположим, что |Un| = O(ln ), ln := min ln,i, причем d M < i 2d(s - 1)/(s - 2). Тогда sup | P(Tn B) - P(Z B)| = O(ln ), BCl здесь Cl класс ограниченных выпуклых подмножеств Rl, Z стандартный нормальный вектор в Rl, a = 2 + 4/ (см. (5)), 2 M((s - 2) - ds) = min µ,, =, 5 3 2 + d(s + 1 + 2(s - 1)) для + 1 < a и d a, d/(a + ad) µ = /(2 + 1) для + 1 a и d > a, d/((a + d) + d) для + 1 a и d a.

A. V. Bulinski, A. P. Shashkin, Strong invariance principle for dependent random fields, IMS Lect.

Notes Monograph Series Dynamics and Stochastics, 2006, V. 48, P. 128–143.

Доказательство этого результата потребовало установления следующей алгебраической леммы, представляющей самостоятельный интерес.

Лемма 1.2.1. Пусть T = (ti,j)l произвольная симметричная i,j=матрица, C = (ci,j)l симметричная положительно определенная i,j матрица, 1 1 - Il -C :=, t :=.

maxi=1,...,l l (|ci,j| + 1) j=Пусть положительное число удовлетворяет неравенству < min{1, t, min}, где min минимальное собственное значение матрицы C. Тогда из неравенства T - C < следует, что матрица T положительна, обратима и l -1/ T - C-1/2 < t-3/2 T - C.

Здесь для квадратной матрицы W порядка l используются максимальная строчная матричная норма W и спектральная матричная норма W.

Вторая глава посвящена ядерным оценкам долгосрочной матрицы ковариаций для слабо зависимых и необязательно стационарных векторнозначных случайных полей.

Ядерные оценки долгосрочной матрицы ковариаций для последовательности (d = 1) центрированных случайных векторов имеют следующий вид:

n- n := k (j/n) (j), (6) j=-n+n-j (j) := XtXt+j, j 0, n t=n (j) := XtXt+j, j < 0, n t=1-j где k(x) некоторая ядерная функция (ядро), а n так называемая ширина окна.

В 80-х годах прошлого века активно исследовались оценки вида (6) с различными ядерными функциями. В статье15 проводится сравнение свойств таких оценок и изучается вопрос оптимизации выбора последовательности {n}nN. В частности, устанавливается, что квадратичное спектральное ядро является в некотором смысле оптимальным.

До появления работы Хансена16 для доказательства результатов о ядерных оценках матрицы ковариаций обычно использовали предположение о наличии конечного четвертого момента. В упомянутой статье состоятельность оценок установлена при условии конечности абсолютного момента, порядка чуть большего двух. Более того, не требуется стационарность исследуемого процесса. Для последовательностей с определенной структурой зависимости сильная состоятельность оценок установлена Йонгом17. В данной диссертации получены аналогичные результаты для (BL, )-зависимых случайных полей, обобщающие 16 работы и.

Во многих исследованиях результаты о ядерных оценках формулируются для - и -перемешивающих последовательностей случайных векторов. Этот подход описания структуры зависимости имеет некоторые недостатки, как отмечено авторами18. Во-первых, уже из самого определения последовательностей с перемешиванием понятно, что достаточно сложно проверить, обладают ли имеющиеся данные этим видом зависимости. Во-вторых, как показано в статье Эндрюса19, даже авторегрессии первого порядка с дискретным шумом не обладают свойством сильного перемешивания. Отметим, что верно и обратное:

не всякое поле, обладающее свойствами перемешивания, является ассоциированным. Однако анализ процессов и полей со свойством положительной ассоциированности (или его модификациями) имеет то преимущество, что предельные теоремы устанавливаются при весьма D. W. K. Andrews, Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix estimation, Econometrica, 1991, V. 59, № 3, P. 817–858.

B. E. Hansen, Consistent covariance matrix estimation for dependent heterogeneous processes, Econometrica, 1992, V. 60, №4, P. 967–972.

R. M. Jong, A strong consistency proof for heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix estimators, Econometric Theory, 2000, V. 16, № 2, P. 262–268.

P. Ango Nze, P. Doukhan, Weak dependence: models and applications to econometrics, Econometric Theory, 2004, V. 20, № 6, P. 995–1045.

D. W. K. Andrews, Non-strong mixing autoregressive processes, J. Appl. Prob., 1984, V. 21, P. 930– 934.

простых условиях на ковариационную функцию и абсолютные моменты рассматриваемых величин.

В первом параграфе второй главы вводится аналог ядерных оценок (6) долгосрочной матрицы ковариаций для полей (см. (4)).

Далее будем говорить, что функция k(·) ядерная (или принадлежит классу K), если выполняются следующие условия:

1) k : Rd [-1, 1];

2) k(0) = 1;

3) k(x) непрерывна для почти всех x Rd и непрерывна в нуле;

4) |k(x)|dx < ;

Rd 5) k(x) = k(y) при ||x|| = ||y||.

Рассмотрим также последовательность {n}nN такую, что 1. n при n ;

1+2q 2. n n-1 = O(1) для некоторого q > 1/2.

Пусть Vn := [-(n - 1), n - 1]d Zd, n N;

Wj = Wj(n) := {t Un : t + j Un}, j Vn.

Определим следующие статистики:

(j) := XtXt+j, j Vn, nd tWj n := k (j/n) (j). (7) jVn Во втором параграфе устанавливается новое моментное неравенство, которое используется в разделе 2.3 для доказательства состоятельности введенных ядерных оценок. При дополнительном условии на ядерную функцию доказана сильная состоятельность этих оценок.

Сформулируем основные результаты.

Для случайного вектора Y = (Y1,..., Yl) определим нормы 1/p l ||Y ||p := E |Ya|p, p > 1.

a=Как обычно, мы не различаем случайные величины, совпадающие почти наверное.

Теорема 2.3.1. Пусть X = {Xj, j Zd} есть (BL, )-зависимое векторнозначное центрированное случайное поле, где последовательность такова, что m = O(m-), причем r := d/ (0, 1). Допустим, что функция k = k(x) принадлежит классу K, а последовательность {n}nN удовлетворяет условиям 1, 2 и, кроме того, q > 1/2 + r. Предположим, что sup ||Xj||p =: D < jZd для некоторого 4q + q-1 + p >.

2q - 2r - Тогда (см. (7)) P n при n.

При больших значениях q в условиях теоремы 2.3.1 можно взять p достаточно близким к 2, так как 4q + q-1 + 2 < 2 при q.

2q - 2r - Иначе говоря, можно обойтись малым запасом абсолютных моментов поля X.

Теорема 2.3.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.3.1 и существует невозрастающая функция g(z) : R+ R+ такая, что 1). |k(x)| g(||x||) для x Rd;

2). g(||x||)dx <.

Rd Тогда n п.н. при n.

Если к условиям теоремы 2.3.1 добавить предположение, что k(x) имеет ограниченный носитель, то n п.н. при n. Это следует из теоремы 2.3.2, так как можно положить g(z) = 1{z u}, где u такое число, что k(x) = 0 при x, для которых ||x|| > u.

В последнем параграфе второй главы изучается взаимосвязь ядерных оценок и статистик с локальным усреднением, которые рассматриваются в первой главе.

Третья глава содержит 3 параграфа. В первом параграфе автором предложен новый вариант метода секционирования Бернштейна, основанный на результатах Булинского20 и Лифшица21.

Отметим, что существенным оказывается использование двух типов разбиения множеств. Один из них позволяет провести секционирование множеств, состоящих из большого числа элементов целочисленной решетки. Второй хорошо работает только для достаточно малых множеств.

Приведем здесь формулировки некоторых результатов первого параграфа третьей главы диссертации.

Будем говорить, что множества W1 и W2 из Rd отделены слоем толщины, если найдутся единичный вектор Rd и число b R такие, что W1 {t Rd : (, t) b} и W2 {t Rd : (, t) b + }.

Здесь (x, y) обозначает скалярное произведение векторов x = d (x1,..., xd), y = (y1,..., yd) Rd, т.е. (x, y) = xiyi.

i=А. В. Булинский, Предельные теоремы в условиях слабой зависимости, Изд-во МГУ, М., 1989.

М. А. Лифшиц, Секционирование многомерных множеств, Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей, Изд-во ЛГУ, Л., 1986, С. 175–178.

Для семейства неотрицательных чисел A = {aj, j Zd} и любого множества U Zd определим меру µA(U) = aj.

jU Теорема 3.1.2. Предположим, что натуральное число d = 2 и 0 < a := µA(Zd) = aj <.

jZd Тогда для любого 1/2 существует разбиение Zd на непересекающиеся множества U1, U2, U3 и U4 такие, что 1) U1 и U4 отделены слоем толщины 2;

2) U1 и U3 U4, а также U4 и U1 U2 отделены слоями толщины ;

3) µA(Ui) Mda1/d a1-1/d для i = 2, 3, где amax := maxjZd aj, max Md > 0 зависит только от d;

4) |µA(U1 U2) - µA(U3 U4)| Mda1/d a1-1/d.

max Теорема 3.1.4. Пусть U Zd (d 1) конечное множество, для которого |U| > 1. Пусть A = {aj, j Zd} такой массив действительных чисел, что 0 < amin aj amax для некоторых amin, amax и всех j U. Тогда множество U можно разрезать гиперплоскостью, перпендикулярной одной из осей координат, на два подмножества Uи U2 так, чтобы µA(U1) 1 - v amax 0 < t 1, t :=, v :=.

µA(U2) v + (2d - 1) amax + amin Во втором параграфе эти вспомогательные результаты применяются для доказательства теоремы 3.2.1, которая обобщает неравенство, установленное Булинским и Шашкиным14, на случай, когда суммирование слабо зависимых случайных величин ведется по произвольным конечным множествам, а не только по “целочисленным параллелепипедам”.

Теорема 3.2.1. Пусть для действительного случайного поля X = {Xj, j Zd} выполнены условия 2 и 3. Тогда для произвольного конечного множества U Zd, некоторых > 0 и C > 1, зависящих только от d, s, Ds, и c0, справедливо неравенство E |S(U)|2+ C|U|1+/2.

В параграфе 3.3 теорема Морица22 и результат параграфа 3.2 используются для доказательства нового максимального неравенства.

Целочисленным блоком (или параллелепипедом) будем называть множество W = (a, b] Zd, где (a, b] := (a1, b1] · · · (ad, bd], ai, bi Z, ai < bi, i = 1,..., d. Пусть U совокупность всех таких целочисленных блоков. Для произвольного конечного множества U Zd определим множество VU U как минимальный блок, содержащий множество U. Пусть M(U) := max |S(W U)|, W VU здесь максимум берется по блокам W, лежащим в VU.

F. Mricz, A general moment inequality for the maximum of the rectangular partial sums of multiple series, Acta Math. Hung., 1983, V. 41, №3–4, P. 337–346.

Теорема 3.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.1. Тогда для произвольного конечного множества U Zd, некоторых > 0 и C > 1, зависящих только от d, s, Ds, и c0, справедливо неравенство E M(U)2+ A C|U|1+/2, где A множитель, зависящий от d и.

Автор благодарна своему научному руководителю профессору А. В. Булинскому за постановку задач, постоянное внимание к работе и ценные советы, а также доценту А. П. Шашкину за полезные замечания.

Работы автора по теме диссертации [1] Н. Ю. Крыжановская, Моментное неравенство для сумм мультииндексированных зависимых случайных величин, Матем. заметки, 2008, Т. 83, № 6, C. 843-856.

[2] Н. Ю. Крыжановская, Ядерные оценки долгосрочной матрицы ковариаций случайного поля, Успехи матем. наук, 2009, Т. 64, № 1, C. 153-154.

[3] Н. Ю. Крыжановская, Моментное и максимальное неравенства для сумм мультииндексированных случайных величин, Колмогоровские чтения VI, Ярославль, 2008, С. 107-114.

[4] Н. Ю. Крыжановская, Статистический вариант ЦПТ для векторных слабо зависимых полей, Конференция молодых ученых. Труды XXVIII Конференции молодых ученых механикоматематического факультета МГУ, Часть I, Изд-во ЦПИ мехмата МГУ, М., 2006, С. 102-106.

[5] A. Bulinski, N. Kryzhanovskaya, Convergence rate in CLT for vectorvalued random fields with self-normalization, Probab. Math. Statist., 2006, V. 26, № 2, P. 261-281.

В этой работе А. В. Булинскому принадлежат постановка задачи и подход к получению моментного неравенства. Все остальные результаты получены Н. Ю. Крыжановской самостоятельно.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»