WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 519.21 КРЫЖАНОВСКАЯ Наталья Юрьевна СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ 01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Александр Вадимович Булинский

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Михаил Анатольевич Лифшиц кандидат физико-математических наук, Михаил Александрович Вронский

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 15 мая 2009 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16–24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 15 апреля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор И.Н. Сергеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Доказательство центральной предельной теоремы (ЦПТ) при различных условиях является традиционной задачей теории вероятностей (см., например, книги Гнеденко и Колмогорова1, Ибрагимова и Линника2, Петрова3, Сенатова4). Достаточно указать на труды Муавра, Лапласа, Чебышева, Маркова, Ляпунова, Линдеберга, Бернштейна, Колмогорова, Прохорова, Леви, Гнеденко, Ибрагимова, Петрова, Золотарева, Ширяева и других ученых. Это важное направление исследований имеет множество применений в статистике. В частности, ЦПТ используется для проверки статистических гипотез и построения приближенных доверительных интервалов для параметров моделей. При анализе векторнозначных зависимых полей приходится вместо дисперсии для нормировки в центральной предельной теореме вводить асимптотическую матрицу ковариаций частных сумм случайного поля (так называемую долгосрочную матрицу ковариаций). Диссертационная работа посвящена изучению свойств оценок этой матрицы как для стационарных, так и для нестационарных полей. В случае, когда известно, что поле стационарное, используются статистики с локальным усреднением. Если же нет предположения о стационарности, применяются ядерные оценки.

Понятие независимости систем случайных величин является в теории вероятностей одним из основных. Для таких семейств случайных величин получено множество глубоких результатов. Однако в настоящее время имеется немало интересных стохастических моделей, описываемых зависимыми случайными величинами. Это объясняется как красотой математических конструкций, так и широким применением таких структур в физике, химии, биологии и экономике.

Важными примерами зависимых процессов и полей являются мартингалы и близкие им объекты, марковские процессы и поля, процессы и поля с перемешиванием. Еще одним широко распространенным подБ. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, ГТТИ, М.-Л., 1949.

И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник, Независимые и стационарно связанные величины, Наука, М., 1965.

В. В. Петров, Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, Наука, М., 1987.

В. В. Сенатов, Центральная предельная теорема. Точность аппроксимации и асимптотические разложения, Либроком, 2009.

ходом к описанию стохастической зависимости является задание ограничений на ковариации некоторых (пробных) функций от конечных наборов случайных величин или векторов.

В диссертации изучаются (BL, )-зависимые случайные поля, заданные на решетке Zd (d 1). Этот класс случайных систем, введенный Булинским и Сюкэ5 в 2001 г., позволяет единообразно рассматривать как положительно, так и отрицательно ассоциированные случайные системы, которые играют большую роль в статистической физике, теории перколяции и теории надежности. Также отметим, что при выполнении условия конечной восприимчивости (которое для стационарного в широком смысле поля сводится к суммируемости ковариационной функции), предложенного Ньюменом6, квазиассоциированные случайные поля будут (BL, )-зависимыми. Кроме того, имеются примеры (BL, )-зависимых полей7, которые не являются ассоциированными.

Существует достаточно много работ, посвященных исследованию ядерных оценок долгосрочной матрицы ковариаций для последовательностей зависимых центрированных случайных векторов {Xt}.

t=Эти оценки часто возникают при изучении асимптотической нормальности параметров в эконометрических моделях8, обладающих свойствами гетероскедастичности и автокорреляции ошибок. В анализе финансовых временных рядов и макроэкономических данных все большую популярность завоевывает обобщенный метод моментов9, в котором важную роль играют состоятельные оценки долгосрочной матрицы ковариаций. Широкое применение именно ядерных оценок для долгосрочной матрицы ковариаций можно объяснить их тесной связью с хорошо изученным классом ядерных оценок матрицы спектральной плотности10.

A. Bulinski, C. Suquet, Normal approximation for quasi-associated random fields, Statist. Probab.

Lett., 2001, V. 54, №2, P. 215–226.

C. M. Newman, Normal fluctuations and the FKG inequalities, Commun. Math. Phys., 1980, V. 74, №2, P. 119–128.

А. В. Булинский, А. П. Шашкин, Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственные системы, ФИЗМАТЛИТ, М., 2008.

D. W. K. Andrews, Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix estimation, Econometrica, 1991, V. 59, № 3, P. 817–858.

L. P. Hansen, Large sample properties of generalized methods of moments estimators, Econometrica, 1982, V. 50, №4, P. 1029–1054.

M. B. Priestley, Spectral analysis and time series, Probab. and Math. Statist., Academic Press, San Diego, 2001.

Цель работы Настоящая диссертация посвящена исследованию слабо зависимых случайных полей. Ее основные задачи установить состоятельность и сильную состоятельность оценок долгосрочной матрицы ковариаций для таких полей, а также получить новые асимптотические результаты, относящиеся к выявлению скорости сходимости в центральной предельной теореме для самонормированных частных сумм. Кроме того, разработан вариант метода секционирования дискретных множеств в многомерном пространстве, который позволяет доказать новые моментные и максимальные неравенства для сумм зависимых мультииндексированных случайных величин.

Научная новизна Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Установлены теоремы о состоятельности и сильной состоятельности оценок долгосрочной матрицы ковариаций для слабо зависимых случайных полей.

2. Получена оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме с самонормировкой.

3. Доказаны новые моментные и максимальные неравенства для слабо зависимых случайных полей. Предложен новый вариант метода секционирования дискретных множеств целочисленной решетки.

Результаты диссертации обоснованы в виде строгих математических доказательств и получены автором самостоятельно. Точные формулировки ряда утверждений приведены ниже.

Методы исследования В работе используются традиционные методы теории вероятностей и случайных процессов (моментные и максимальные неравенства, урезание исходных случайных величин и др.), а также новый вариант секционирования множеств.

Теоретическая и практическая ценность Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории случайных полей и непараметрической статистике.

Апробация работы Результаты диссертации неоднократно докладывались автором на семинаре “Асимптотический анализ случайных процессов и полей” (мехмат МГУ, 2005–2008 гг., руководители профессор А. В. Булинский и доцент А. П. Шашкин), а также на Большом кафедральном семинаре кафедры теории вероятностей (мехмат МГУ, 2009 г., руководитель член-корреспондент РАН А. Н. Ширяев), Городском семинаре по теории вероятностей (Санкт-Петербург, 2009 г., руководитель академик РАН И. А. Ибрагимов), конференции “Колмогоровские чтения-VI” (Ярославль, 2008 г.), XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2006 г.).

Тематика работы поддержана грантом РФФИ №07-01-00373-а.

Публикации Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, насчитывающего 104 наименования. Общий объем работы 99 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении излагается история вопроса, формулируются основные определения и описывается структура работы.

Введем основные определения. Пусть |I| мощность множества I;

BL(n) класс действительнозначных ограниченных липшицевых (bounded Lipschitz) функций на Rn, n N.

Случайное поле X = {Xj, j Zd}, принимающее значения в Rl, называется (BL, )-зависимым, если существует монотонно стремящаяся к нулю при r последовательность = {r}rN положительных чисел такая, что для любых конечных непересекающихся множеств I, J Zd и любых функций f BL(|I|l), g BL(|J|l) верно неравенство |cov(f(Xi, i I), g(Xj, j J))| Lip(f) Lip(g)(|I| |J|)dist(I,J), (1) где dist(I, J) = min{ x - y, x I, y J}, ||x|| = max |xs|, x Zd, 1sd |I|l |f(u) - f(v)| Lip (f) = sup, ||v||1 = |vm|.

||u - v||u =v m=Определение (1) имеет следующий наглядный смысл. При увеличении расстояния между множествами I и J зависимость между случайными векторами, индексированными элементами этих множеств, уменьшается. А если расстояние между множествами не изменяется, а сами множества увеличиваются, то зависимость между соответствующими группами случайных векторов может расти.

Всюду далее термин “слабая зависимость” будет пониматься в смысле приведенного определения.

Для случайного поля X = {Xj, j Zd}, d 1, долгосрочной матрицей ковариаций будем называть матрицу := lim Cov(Xi, Xj), (2) n nd i,jUn Un := [1, n]d Zd, n N.

Предполагается, что все элементы существуют и конечны.

Если поле стационарное, то вместо матрицы пишем C. Легко проверить, что элементы матрицы C = (cr,q)l имеют вид r,q=cr,q = cov(X0,r, Xj,q), r, q = 1,..., l. (3) jZd Ряд работ посвящен изучению самонормировок в центральной предельной теореме для стационарных полей, и, в частности, исследованию оценок для cr,q. В первой главе диссертации исследуются статистики с локальным усреднением для элементов матрицы C.

Если случайное поле центрированное, то (2) превращается в := lim E XiXj, (4) n nd i,jUn где “ ” обозначает транспонирование. Для матриц (4) во второй главе диссертации строятся многомерные аналоги ядерных оценок.

В первой главе диссертации установлен статистический вариант центральной предельной теоремы со случайной матричной нормировкой для векторнозначных слабо зависимых случайных полей. Основной результат (теорема 1.2.2) дает оценку скорости сходимости в центральной предельной теореме с самонормировкой.

В качестве нормировок в центральной предельной теореме рассматриваются следующие статистики. Для j = (j1,..., jd) U Zd (1 |U| < ), b = b(U) = (b1,..., bd) Nd и r, q = 1,..., l положим Kj(b) = {t Zd : |jm - tm| bm, m = 1,..., d}, Qj = Qj(U, b) = U Kj(b), 1 Sr(Qj) Sr(U) Sq(Qj) Sq(U) cr,q(U) = |Qj| - -.

|U| |Qj| |U| |Qj| |U| jU Оценки такого рода были введены в 1994 г. Пелиград и Шао11 для процессов с перемешиванием (l = 1, d = 1). Для ассоциированных случайных полей (l = 1, d 1) Булинский и Вронский12 предложили обобщение упомянутых выше статистик. Для векторнозначных случайных полей (l 1, d 1) соответствующие случайные матричные нормировки изучались Булинским13 в условиях квазиассоциированной зависимости. В указанных выше статьях рассматривается случай, в котором M. Peligrad, Q.-M. Shao, Self-normalized central limit theorem for sums of weakly dependent random variables, J. Theor. Probab., 1994, V. 7, № 2, P. 309–338.

А. В. Булинский, М. А. Вронский, Статистический вариант центральной предельной теоремы для ассоциированных случайных полей, Фундам. и прикл. матем., 1996, Т. 2, № 4, С. 999–1018.

А. В. Булинский, Статистический вариант центральной предельной теоремы для векторных случайных полей, Мат. заметки, 2004, Т. 76, № 4, C. 490–501.

множества Kj(b) являются кубами (т.е. b1 = b2 =... = bd). В нашей работе изучается более общая ситуация. Положим b = b1 · b2 ·... · bd.

Последовательность непустых конечных множеств Un Zd (n N) называется регулярно растущей (к бесконечности), если |Un| и |Un|/|Un| 0 при n.

Здесь Un граница множества Un, т.е.

Un = {s Un : inf s - t = 1}.

tZd\Un В диссертации устанавливается следующий статистический вариант центральной предельной теоремы.

Теорема 1.1.2. Пусть X = {Xj, j Zd} строго стационарное (BL, )-зависимое случайное поле со значениями в Rl. Предположим, что при всех r, q = 1,..., l | cov(X0,r, Xj,q)| <.

jZd Тогда для любой последовательности множеств Un Zd, n N, стремящейся к бесконечности регулярным образом, и для произвольной последовательности векторов bn = (bn,1,..., bn,d) Nd, n N, такой что bn |Un| bn := min bn,i, 0 при n, i |Un| справедливо соотношение P cr,q(Un) cr,q при n для всех r, q = 1,..., l (см. (3)). Кроме того, если матрица C = (cr,q)l невырождена, то имеет место r,q=D Tn := (|Un|Cn)-1/2(S(Un) - |Un| E X0) N(0, Il), n, где Il единичная матрица порядка l.

Чтобы установить скорость сходимости в центральной предельной теореме со случайной нормировкой, вводятся некоторые дополнительные ограничения. Далее будем считать, что верны следующие предположения:

1. Un = {(an,1, an,1 +ln,1]· · ·(an,d, an,d +ln,d]}Zd, здесь an,m Z, ln,m N для n N, m = 1,..., d.

s 2. Ds := sup E Xj < для некоторого s > 2.

jZd 3. X является (BL, )-зависимым случайным полем, причем r c0r- при r N (см. (1)) для некоторого > d(s), где s фигурирует в условии 2, а функция (s) имеет вид (s - 1)/(s - 2), 2 < s 4, (3 - s)( s + 1)/2, 4 < s t2, (s) = (s-1)(s-2) -3-s2+6s-, s > t2.

3s-Здесь t0 2.1413 наибольший корень уравнения t3 +2t2 -7t-4 = 0.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»