WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Теорема 3. Точка xM является абсолютным минимумом функu ции 0(xu) на множестве Gu тогда и только тогда, когда су ществует вектор a Ku и постоянные скалярные величины 1, 2..., R·P ·Q такие, что:

R·P ·Q u 1. a + r r(xM ) = 0;

x r=2. r 0, r = 1,..., R · P · Q;

3. r 0(xM ) - r(xM ) = 0;

u u R·P ·Q 4. |r| + |a| = 0.

r=1) Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.:

Наука, Здесь r(xu) = J(xr, xu), xu Gu, xr Gw; Ku конус, сопряженный к конусу, аппроксимирующему множество Gu в окрестности точки xM. Условие 3 данной теоремы называется условием u дополняющей нежесткости, а условие 4 условием нетривиальности.

Необходимые и достаточные условия позволяют в некоторых случаях сразу определить решение задачи (8), а также используются далее для синтеза оптимальной смешанной стратегии возмущений.

Далее приведен итерационный алгоритм решения задачи (8) в выпуклой геометрической игре.

В пятом параграфе первого раздела первой главы, который носит название “Синтез смешанной стратегии тестирования”, получен метод синтеза оптимальной смешанной стратегии возмущений, основанный на необходимом и достаточном условии минимакса (теореме 3). Этот метод позволяет вычислить респределение вероятностей оптимальной смешанной стратегии µ0 в зависимости от найденной точки минимакса xM, соответствующей u решению задачи (8).

Таким образом, первый этап методики максиминного тестирования можно реализовать следующим образом:

Шаг А применение теоремы 1 для выяснения наличия ситуации равновесия в чистых стратегиях в игре.

Если ситуация равновесия имеет место, то находятся цена игры (неулучшаемая оценка критерия качества) и чистая стратегия тестирования путем решения максиминной задачи (4), затем осуществляется переход ко второму этапу.

Если ситуации равновесия нет переходим к шагу Б.

Шаг Б редукция геометрической игры 1 к смешанному расширению.

Шаг В нахождение цены игры, что равносильно решению задачи (8) либо с помощью теоремы 3, либо с помощью итерационного метода.

Шаг Г нахождение смешанной стратегии тестирования (оптимальной смешанной стратегии игрока 1 возмущений) µ0, такой, чтобы выполнялись условия (9).

В результате работы данного алгоритма будет получена “мяг1) кая” стратегия тестирования оптимальная стратегия для 1) Лемак С.С. Максиминный контроль качества стабилизации космических объектов. Дисс. на соискание ученой степени доктора физиковозмущений (чистая в случае наличия ситуации равновесия, и смешанная в случае её отсутствия).

В шестом параграфе “Реализация второго этапа тестирования в случае смешанных стратегий тестирования” приведен метод реализации второго этапа в случае использования смешанной стратегии тестирования. Для вычисления критерия качества работы алгоритма управления на втором этапе тестирования необходимо провести серию испытаний при воздействии на управляемый объект возмущений стратегии тестирования, выбираемой в соответствии с распределением вероятностей µ0, найденным на первом этапе. Каждое испытание представляет собой процесс математического моделирования (либо имитационного моделирования на стенде) движения управляемого объекта, на которое воздействуют выбранное возмущение и управление (игроки 1 и 2). После проведения серии испытаний можно вычислить приближенное N значение математического ожидания K(µ0, xu) = K(µ0, xi ), u N i=где N количество испытаний, xi реализация управляющего u воздействия на i-м испытании, а K(µ0, xi ) значение функции u выигрыша игры на i-м испытании.

С учетом предположения о достаточно большом числе испытаний N, и учетом центральной предельной теоремы можно заключить, что с вероятностью p выполняется оценка K - < K(µ0, xu) = K0 < K +, (10) N N N где 2 = (K(µ0, xi ) - K) несмещенная оценка дис u N-i= 2 uперсии, а p и связаны соотношением p = exp du.

1) Согласно определению ситуации -равновесия, пара страте гий (µ0, xM ) является точкой -равновесия в игре, если выполu нено неравенство K(xw, xM ) - K(µ0, xM ) K(µ0, xu) +, xu Gu, xw Gw.

u u (11) математических наук. Москва. 2004 г.

1) Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. Кн. Дом “Университет”, 1998. 300 с.

Отсюда и из (10), (9) следует, что пара стратегий (µ0, xM ) u является точкой - равновесия в игре. Следовательно, при =, значение K(µ0, xu) удовлетворяет условию - равновеN сия (11), а K(µ0, xM ) - является нижней оценкой для приблиu женного значения показателя качества K(µ0, xu).

На третьем этапе величина K(µ0, xu) сравнивается с ценой игры K(µ0, xM ) - с учетом ситуации -равновесия. В силу достиu жимости наилучшего результата K0, оценка алгоритму управле ния,записанная в виде (K(µ0, xM )-)/K(µ0, xu), будет объективu ной, поскольку позволяет алгоритму управления достичь максимального результата.

Во втором разделе первой главы, который носит название “задача тестирования качества стабилизации линейной управляемой системы с учетом расхода топлива”, описан метод реализации методики тестирования для линейных систем вида = A(t)x + B(t)u + C(t)v, x(t0) X0, (12) u(·) U, v(·) V, где x n-мерный вектор отклонений от программной траектории; w = (x(t0), v(·)) вектор возмущений, состоящий из начальных и постоянно действующих v(·) V = {v(·) L2||vi(t)| vmax, i = 1...k, v(t) Rk} возмущений; u(·) U = {u(·) L2|ui(t) umax, i = 1...m, u(t) Rm} - m-мерный вектор управлений (каждая его компонента неотрицательна). Матрицы A, B, C и множества U, V, X0 считаются известными.

Задан функционал качества:

k t m |ui(t)|dt, (13) J(u, w) = xT (tk)Sx(tk) + t0 i=где t0, tk фиксированные моменты времени; S известная постоянная неотрицательно определенная матрица, неотрицательная константа. Рассмотренный функционал, помимо отклонения от программной траектории в фиксированный момент времени, отражает расход энергии в течение процесса управления.

Путем введения в систему (12) новой переменной m n+1 = ui(t) i=удается свести данную задачу к уже рассмотренной ранее во 1) многих работах задаче тестирования для линейных систем, первый этап которых реализуются путем редукции исходной дифференциальной игры к геометрической игре.

В третьем разделе первой главы, который носит название “Задача тестирования качества стабилизации нелинейной управляемой системы с конечным множеством возмущений” рассматривается реализация методики тестирования для нелинейных управляемых систем с конечным множеством возмущений:

= fi(x, t, u), u(·) U, x(t0) = x0 = 0, (14) j i {1,.., N}, j {1,.., M}.

Здесь x(t) n-мерный вектор отклонений от программного движения; fi(x, t, u) дважды непрерывно-дифференцируемые вектор-функции своих координат; u(·) {L2[t0, tk]| |ui(t)| umax} s-мерная функция управлений. W = {i, j} конечное множество возмущений. Показатель качества управления зададан в виде (2). Моменты времени t0 и tk - фиксированы.

При каждом фиксированном возмущении w W системе (14) соответствует фиксированное множество достижимости по управлениям. Метод численного решения первого этапа методики максиминного тестирования для данной задачи основан на построении точечных аппроксимаций множеств достижимости и численного решения задачи min J(w, u(·)) max.

u(·)U wW Для определения наличия ситуации равновесия в данном случае необходимо использовать теорему 1.

Вторая глава носит название “Методика тестирования качества ориентации микроспутника и её применение для 1) Александров В.В., Блаженнова-Микулич Л.Ю., Гутиерес-Ариас И.М., Лемак С.С. Максиминное тестирование точности стабилизации и седловые точки в геометрических играх// Вестник МГУ. сер. Мат. мех. 2005. №1.

Лемак С.С. Максиминный контроль качества стабилизации космических объектов. Дисс. на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук. Москва. 2004 г.

оценки качества работы алгоритмов ориентации аппарата “Университетский-Татьяна-2 ”. Она посвящена применению методики максиминного тестирования к задаче успокоения начальных угловых скоростей микроспутника с помощью электромагнитных катушек. Далее в этой главе представлено программное обеспечение тестирующего стенда и рассмотрено его применение для сравнения качества работы различных алгоритмов ориентации микроспутника “Университетский-Татьяна-2”.

В первом разделе второй главы, который носит название цели и состав системы ориентации дано краткое описание системы ориентации рассматриваемого аппарата, которая состоит из следующих элементов: датчика вертикали, датчиков угловой скорости (3шт.), солнечного датчика, магнитометра, двигателеймаховиков (3шт.), токовых катушек (3шт.) и контроллера системы ориентации. Целью системы ориентации является гашение начальных угловых скоростей, приобретенных аппаратом в результате отделения от носителя, и установка режима ориентации 2ЗС (ориентацию на Землю и Солнце).

Во втором разделе “Расчет множества возможных начальных угловых скоростей” произведено математическое моделирование процесса отделения спутника от носителя, расчитано множество возможных начальных угловых скоростей.

Рассматриваемая система отделения представляет собой пружинную систему, состоящую из трех пружин, срабатывающих одновременно при поступлении команды на отделение.Силовые характеристики пружин, расположение центра масс относительно точек приложения пружин и масса микроспутника известны с погрешностью, что приводит к неточности знания начальной угловой скорости после процесса отделения микроспутника от носителя. Производится расчет множества начальных угловых скоростей {(t0)j, j = 1,.., M}, которое далее используется при решении задачи тестирования в качестве множества начальных возмущений.

Третий раздел второй главы носит название “Максиминное тестирование качества гашения угловых скоростей микроспутника Земли на первом этапе ориентации”. Здесь рассмотрено применение методики максиминного тестирования для задачи успокоения вращений на первом этапе ориентации рассматриваемого космического аппарата.

В первом параграфе “Модель спутника” третьего раздела описана математическая модель движения спутника под воздействием момента, создаваемого взаимодействием электромагнитных катушек с магнитным полем Земли. Сам спутник представляется твердым телом с известным тензором инерции I. Система уравнений движения спутника в векторной форме может быть записана в виде:

= I-1(Ma - [ I]) h h (15) = Где угловая скорость аппарата в связанной системе координат, h кватернион, задающий ориентацию аппарата относи- - тельно инерциальной системы координат, h = 1 i +2 j +3 k.

Момент Ma записывается в виде:

Ma = (Mu + Bi) B.

body u u u u u Где Mu = (M1, M2, M3 ), |Mi | Mmax, i = 1, 2, 3 управляющий магнитный момент, создаваемый электромагнитными ка тушками, записанный в связанной системе координат, Bi воз мущающий магнитный момент, а B вектор напряженности body магнитного поля Земли в связанной системе координат.

Во втором параграфе “Модель магнитного поля Земли” третьего раздела описана модель магнитного поля Земли. Она представлена моделью косого диполя. На вход модель магнитного поля принимает орбитальное положение аппарата в инерциальной системе координат, на выходе вектор напряженности B, заданный в инерциальной системе.

В третьем параграфе “Орбитальное движение спутника” дано описание орбитального движения аппарата.

В четвертом параграфе“Постановка задачи тестирования” третьего раздела на основе теории, представленной в третьем разделе первой главы, поставлена и решена задача тестирования качества успокоения начальных угловых скоростей с помощью бортовой электромагнитной системы.

В качестве множества возмущений, задано конечное множе ство W = {Bi, (t0)j; i = 1,.., N; j = 1,.., M}, состоящее из набора различных значений возмущающего магнитного момента и набора начальных угловых скоростей из множества возможных начальных угловых скоростей, расчитанного ранее.

Множеством управлений является функциональное мноu u u u жество U = {Mu(t) = (M1 (t), M2 (t), M3 (t))|Mi (t) u u L2[t0, tk], |M1 (t)| Mmax}, Функционал качества задан в виде:

2 2 J(u(·), w) = 1(tk) + 2(tk) + 3(tk), (16) что соответствует виду (2).

В пятом параграфе “Решение максиминной задачи первого этапа методики тестирования” третьего раздела второй главы путем численного решения максиминной задачи, определена стратегия тестирования наихудшие начальные угловые скорости и возмущающий магнитный момент из заданного множества возмущений.

Для реализации второго этапа создан компьютерный стенд, позволяющий вычислять показатель качества работы алгоритма управления путем интегрирования уравнений движения системы при воздействии наихудших возмущений, найденных на первом этапе.

В четвертом разделе “Описание тестирующего стенда и реализация второго этапа” второй главы приведена структура математического и программного обеспечения тестирующего стенда для проверки качества работы алгоритмов ориентации микроспутника. В состав стенда входит программа, способная численно моделировать весь процесс ориентации микроспутника. Программа представлена модульной структурой, реализация каждого элемента в которой может быть легко заменена на другую. Каждый датчик, исполнительный механизм и алгоритм управления представлен отдельным модулем, что позволяет иметь в распоряжении несколько математических моделей каждого из элементов и легко заменять одну реализацию на другую. Так, например, двигатели-маховики представлены двумя моделями одна из них является упрощенной и не учитывает быстропериодических колебаний, связанных с вращением ротора в электромагнитном поле и запаздывания в управлении, а вторая модель учитывает.

Также дело обстоит и с алгоритмами управления имеется несколько модулей, представляющих реализацию алгоритмов, встраиваемых прямо в программу моделирования, что позволяет легко распоряжаться скоростью выполнения моделирования. Помимо этих модулей создан еще один, позволяющий осуществлять связь с реальным контроллером системы ориентации и получать сигналы управления непосредственно от него. Это позволяет создать на базе представленной программы полунатурный тестирующий стенд.

При использовании этого модуля, программа моделирования в целом должна обязательно работать в реальном времени, поскольку процесс управления происходит на бортовом компьютере, не зависимом от программы моделирования. В этом случае алгоритмы управления представлены неким ’черным ящиком’, о котором известны лишь его входы и выходы.

В целом программа моделирования оптимизирована по скорости выполнения, что позволяет за короткое время произвести множество численных испытаний процесса ориентации, в случае использования программных реализаций алгоритма управления, встраиваемых в программу моделирования.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»