WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Прежде всего строится класс Hn(N intN, (N intN) ((N intN) \ ); RHn(N)). Через обозначена диагональ в N N.

Пусть int - образующий в группе Hn(intN intN, (intN intN) \ ; RHn(N)) = Hn(intN intN, (intN intN) \ ; Hn(N)R), отвечающий единице в R = Hn(intN; Hn(N)).

Рассмотрим вложения пар: (intN intN, (intN intN) \ ) (N intN, (N intN)((N intN)\)) (N N, (N N)\). Композиция этих вложений индуцирует изоморфизм Hn(intN intN, (intN intN) \ ; RHn(M)) = Hn(N N, (N N) \ ; RHn(M)).

Пусть - элемент группы Hn(N intN, (N intN) ((N intN) \ ); RHn(M)), соответсвующий int при индуцированных включениями гомоморфизмах когомологий.

Проверяется, что без ограничения общности при доказательстве теоремы 2, мы можем предполагать, что g(M) intM.

Пусть C = {x M : f(x) = g(x)} - множество точек совпадения. Оно компактно. Для компактного K M рассмотрим d : (M, (M \K)M) (M M, (M M) ((M M) \ d(K))). Соответсвующее отображение c гомологий будет обозначаться как d: H(M, (M \ K) M; Hn(M)) c H(M M, (M M) ((M M) \ d(K)); RHn(M)). Если C K, c то определено отображение (f g) : H(M M, (M M) ((M c M) \ d(K)); RHn(M)) Hn(N intN, (N intN) ((N intN) \ ); RHn(N)). Пусть µ Hn(M, M; Hn(M)) - фундаментальный класс, c а µC Hn(M, (M \ C) M; Hn(M)) - образ µ при ограничении в эту c группу. Тогда имеется класс (f g)dµC Hn(N intN, (N intN) ((N intN) \ ); RHn(N)) Далее определяются умножения для сингулярных гомологий и когомологий с локально постоянными коэффициентами.

Для пар (X, A), (Y, B) с локально постоянными коэффициентами A, B на них, для которых пара {X B, AY } подпространств в X Y вырезаема для сингулярных гомологий с коэффициентами AB, определяются деc картовы произведения классов гомологий и когомлогий : Hp(X, A; A) c c Hq(Y, B; B) Hp+q(X Y, (X B) (A Y ); AB) и : Hp(X, A; A) Hq(Y, B; B) Hp+q(X Y, (X B) (A Y ); AB).

Наконец в случае, если пара {A1, A2} вырезаема для сингулярных гомологий с коэффициентами в B, то мы так же, как и в случае постоянных c коэфффициентов, получаем отображение : Hq(X, A1; A) Hn(X, Ac A2; B) Hn-q(X, A2; A B).

c c Определется индекс Кронекера: Hp(X, A1; A) Hp(X, A1; A) H0(X) = R (т.к. пара {A1, } вырезаема).

Индекс совпадения определяется так: If,g =<, (f g)d(µC) >.

Теорема 2 вытекает из следующего утверждения:

Tеорема 4. Если f(M) N, g(N) intM, то f,g = If,g.

c Действительно, если C =, то группа Hn(M, (M\C)M; Hn(M)) нулевая, поэтому и элемент µC в этом случае нулевой. Следовательно, If,g = 0.

Кроме того замечается, что вместо C может быть использовано любое компактное подмножество K M, содержащее C.

В четвертой главе доказывается теорема 4. Схема доказательства заключается в следующем.

Подготовительный этап включает следующее. Если пара {X B, A Y } вырезаема с коэффициентами AB, то определяется произведение / :

c Hn((X, A)(Y, B); AB)Hn-q(Y, B; B) Hq(X, A; A). Оно применяется в случае, когда (X, A) = (L, BL), A = R, (Y, B) = (N, N \ L1), B = Hn(N).

Здесь L и BL - следующие множества.

Пусть V есть замкнутая окрестность N, гомеоморфная N [0, 1].

Пусть L - компактное подмножество N, такое что [f(M)] intL и V L имеет вид BL[0, 1] для некоторого компактного подмножества BL N.

Пусть L1 - также компактное подмножество N, такое что V L имеет вид BL1 [0, 1] для некоторого замкнутого подмножества BL1 N, и при этом L intL1.

Определяется класс L Hn((L, BL)(N, N\L1); RHn(N)) Hn((L, BL) (intN, intN \ L1); RHn(N)) как образ определенного выше класса при гомоморфизме, определяемом вложением (L, BL) (intN, intN \ L1) = (L intN, (BL intN) (L (intN \ L1)) (N intN, (N intN) (N intN \ )). Доказывается равенство L = aq bn-q, где aq q Hq(L, BL; R), bn-q Hn-q(N, N \L1; Hn(N)) (т.к. для произведения некомпактных пар формула Кюннета, вообще говоря, места не имеет, то этот факт нуждается в отдельном доказательстве).

Непосредственно доказательство происходит так. Доказывается, что число Лефшеца, определенное как (-1)qSpq, где q есть отображение в q себя пространства Hq(N, N; R), совпадает с числом (-1)qSp q,где q :

q Hq(L, BL; R) f Hq(M, M; R) =D Hn-q(M; Hn(M)) g Hn-q(N; Hn(N)) =D Hq(N, N; R) Hq(L, BL; R). После этого доказывается, что отображение (-1)nqq совпадает с композицией:

c Hq(L, BL; R) f Hq(M, M; R) µK Hn-q(M, M \ K; Hn(M)) g c Hn-q(N, N \ L1; Hn(N)) / Hq(L, BL; R).

L Здесь K - следующее множество. Пусть U есть окрестность M, гомеоморфная M [0, 1]. Пусть K - компактное подмножество M, такое что U K имеет вид BK [0, 1] для некоторого компактного подмножества BK M, и при этом g-1(L1) intK.

После этого специальным образом выбираются базисы в группах c c Hq(L, BL; R), Hq(M, M; R), Hn-q(M, M\K; Hn(M)), Hn-q(N, N\L1; Hn(N)).

Все отображения задаются матрицам в этих базисах. При этом для описания матрицы отображения L/ используется полученное выше представление класса L. После этого (-1)nqSpq выражается через элементы этих матриц, соответвенно мы получаем выражение для числа Лефшеца через элементы этих матриц.

После этого находится аналогичное выражение для индекса совпадений.

Отображение пар (f g)d : (M, (M \ K) M) (N intN, (N intN) (N intN \ )) представляется как композиция: (M, (M \ K) M) d ((M, M) (M, M \ K)) fg ((L, BL) (intN, intN \ L1)) l (NintN, (NintN)(NintN\)), где d1 индуцировано диагональным вложением M M M. Тогда после элементарных выкладок получаем равенство If,g =<, (f g)dµK >=< d(f g)(L), µK >. Выясняется, что такое представление If,g может быть выражено через элементы введенных ранее матриц и выражения для класса L. Таким образом, мы получим выражение для If,g через элементы тех же матриц, которые участвовали в выражении для f,g. Сравнив эти два выражения, мы видим, что они равны. Этим доказывается теорема.

В пятой главе рассматриваются другие способы определения числа Лефшеца.

Если g(M) N, рассмотрим отображения ( при этом p = n - q):

1. p - отображение Hp(M, M, Hn(N)) в себя, равное DMfDNg 3 c c p c 2. q - композиция Hq(M; R) f Hq(N; R) =D Hc (N, N; Hn(N)) g N c p c 3 c Hc (M, M; Hn(M)) =D Hq(M; R). То есть q - отображение Hq(M; R) M c в себя, равное DMgcDNf 4 p c 3. p - отображение Hc (N, N; Hn(N)) в себя, равное DNfDMgc Доказывается, что следых этих отображений существуют и равны следу Spq. Из этого следует, что с помощью этих отображений также может быть определено число Лефшеца, совпадающее с изначальным с точностью до знака.

Если f(M) N, то новые гомоморфизмы определяются так:

1. p - отображение Hp(M, Hn(M)) в себя, равное DMfDNg 3 c c p c 2. q - композиция Hq(M, M; R) f Hq(N, N; R) =D Hc (N; Hn(N)) g N c p c Hc (M; Hn(M)) =D Hq(M, M; R). То есть q - отображение M c c Hq(M, M; R) в себя, равное DMgcDNf 4 p c 3. p - отображение Hc (N; Hn(N)) в себя, равное DNfDMgc В шестой главе рассматривается следующая задача.

Пусть f : E X - отображение компактных конечномерных связных clc-пространств, для которого пучок Лере локально постоянен. Пусть имеются также отображения g : E E и g1 : X X, для которых коммутативна диаграмма g E E f f X X gВозьмем произвольную точку x X. Как известно, в рассматриваемых условиях слой H(f)x изоморфен H(f-1(x)). Под действием g слой f-1(x) отображается в слой f-1(g1(x)), значит, имеется отображение когомологий:

g1 : H(f-1(g1(x))) H(f-1(x)). В силу постоянства пучка H(f) имеется канонический изоморфизм когомологий H(f-1(x)) H(f-1(g1(x))), поэтому определено отображение H(f-1(x)) H(f-1(x)). Число Лефшеца этого отображения обозначим как x. Данное число естественно интерпретировать как число Лефшеца для отображений слоев. Доказывается, что данное число не зависит от x и для чисел Лефшеца отображений g и gимеет место равенство (g) = · (g1), где - число x, не зависящее от x.

В случае, когда пучок Лере локально постоянен, а база X - конечный клеточный комплекс, также доказывается, что число Лефшеца отображений слоев (на этот раз оно существует в непосредственном смысле) не зависит от слоя и верна формула (g) = · (X). Здесь - число Лефшеца отображений слоев.

В седьмой главе рассматривается случай, когда пучок Лере локально постоянен. Приводится пример, когда в случае непостоянного пучка Лере числа Лефшеца отображений в себя слоев над неподвижными точками могут быть неравными.

Предположим, что g1 : X X - клеточное отображение конечного CW комплекса X. Пусть, кроме того, клетки X настолько малы, что ограничения пучков H(f) |g (), H(f) | постоянны для всех клеток клеточного комплекса X.

При этих условиях для (g) выводится некоторое соотношение, имеющее своим следствием (в случае постоянного H(f)) формулу из теоремы 1.

Занумеруем индексом i все клетки X, вне зависимости от их размерности. Клетки будем обозначать как p, где верхний индекс означает разi мерность. Множество индексов, отвечающих p-мерным клеткам, обозначим как Ip.

p Сначала определим число i. Имеется индуцированное g отображение клеточных коцепей g : Cp(X) Cp(X). Имеется коцепь (p, 1), принимаi ющая значение 1 на клетке p и ноль на остальных клетках. Всевозможные i коцепи вида (p, 1), где i Ip, образуют базис Cp(X). Пусть g1(p, 1) = i i p i,i (p, 1). Положим i = i,i. Заметим, что если p g1(p), то i i i i p i = 0.

p Иначе говоря, i есть алгебраическая кратность, с которой p себя наi крывает при отображении g1.

Определим теперь числа i. Пусть i таково, что p g1(p). Пусть i i x p. Так как p g1(p) и так как ограничение пучка H(f) на i i i g1(p) постоянно, то мы можем канонически отождествить когомологии i слоев f-1(x) и f-1(g1(x)). Поэтому определено число Лефшеца i,x отображения слоя f-1(x) в слой f-1(g1(x)). Устанавливается, что оно не зависит от x. Обозначим это число как i. Считаем, что i = 0, если p не содерi жится в g1(p).

i Доказывается, что в рассматриваемых условиях верна формула: (g) = p p (-1)p iIp ii. При этом i есть алгебраическая кратность, с котоp рой клетка p накрывает себя посредством g1, а i есть число Лефшеца i отображения в себя слоя над клеткой p.

i В случае постоянного пучка Лере все числа i равны между собой, и из полученной формулы следует соотношение из теоремы 5.

В случае же, когда g1 = id и i = для всех i (см. предложение 18), полученная формула дает соотношение из теоремы 6.

В восьмой главе показывается, что пространства с конечнопорожденными гомологиями над R = Z тогда и только тогда размерно полноценны, когда их локальные гомологии в старшей размерности не имеют кручения (теорема 7). Естественно называть такие пространства гомологическими или обощенными полиэдрами. В девятой главе устанавливается наличие компактов с конечнопорожденными локальными гомологиями (тем самым одновременно гомологически и периферическими гомологически локально связных над Z), для размерности произведений которых логарифмический закон не имеет места. Строящийся пример является модификацией конструкции, использовавшейся Дранишниковым для построения контпримера к гипотезам Дайера и Борсука. В десятой главе обсуждается сложность по сравнению с обобщенными многогобразиями локального устройства обощнных полиэдров. Именно, в предложении 4 приводится пример гомологического полиэдра, такого что на всюду плотном множестве локальные гомологии в наибольшей размерности обращаются в ноль.

Благодарности.

В заключении хочу выразить благодарность своему научному руководителю, профессору Е.Г. Скляренко, за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии за доброжелательную и творческую атмосферу.

Список работ по теме диссертации.

1. Д.В. Артамонов. Локальные гомологии и размерная полноценность. Мат. заметки. - 2007, т. 81 вып. 5, С. 643-659.

2. Д.В. Артамонов. Числа Лефшеца для отображений расслоенных пространств. - Мат. заметки. - 2008, т. 84 вып 5, С. 643-657.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»