WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 515.142.22 Артамонов Дмитрий Вячеславович Гомологические подходы в задачах о неподвижных точках, точках совпадения, в теории обобщенных полиэдров.

01.01.04 – геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2009

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии МеханикоМатематического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Скляренко Евгений Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Ахметьев Петр Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент Фоменко Татьяна Николаевна

Ведущая организация: Московский государственный педагогический университет.

Защита диссертации состоится 15 мая 2009 г. в 1645 на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-Математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-Математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А.О. Иванов Актуальность темы.

Теорема о точках совпадения, дающая достаточное условие для наличия точки совпадения у двух отображений многообразий одной размерности, 1 впервые была доказана Лефшецом, в 1926-ом году. Теорема была доказана для случая двух кусочно-линейных отображений компактных связных триангулированных ориентируемых многообразий одной размерности без края. Формулировка теоремы состоит в том, что отличие от нуля некоторого числа (называемого числом Лефшеца совпадений), вычисляемого по тому, как данные отображения действуют на гомологиях и когомологиях, влечет наличие точки совпадения.

В 70-е годы, в связи с открытием топологических нетриангулируемых многообразий были доказаны теоремы, обобщающие теорему Лефшеца на случай двух неперывных отображений замкнутых топологических ориентируемых многообразий одинаковой размерности,3.

Обобщения данного результата на случай отображений многообразий с краем было получено в 1980-м году. При этом требуется, чтобы одно из отображений сохраняло край.

В случае, когда оба отображения сохраняют края, имеется два подхода к построению числа Лефшеца, и они приводят к разным числам. При этом оба числа Лефшеца могут быть выражены через число Лефшеца для отображений краев и число Лефшеца для отображения удвоенных многообразий (т.е. многообразий без края, получаемых в результате склейки по краям пар экземпляров многообразий с краем) Были найдены обобщения и на случай отображений многообразий компактных, но, вообще говоря, неориентируемых и имеющих края. При этом налагаются два дополнительных требования. Первое состоит в том, что одно из отображения ориентируемо (т.е. обратный образ ориентирующего пучка образа есть ориентирующий пучок прообраза), второе требование состоит в том, что одно из отображений сохраняет границу.

Lefshetz S. Intersections and transformations of complexes and manifolds. - Trans. Amer. Math. Soc., 28, (1926), p. 1-49.

Щелокова Т.Н. К теории совпадений пары непрерывных отображений. - Сборник рабок аспирантов ВГУ, 1972, вып. 2, с. 70-71.

Mukherjea K. A survey of coincidence theory. - Global Anal. and appl. Lact. Int. Semin. Trieste, 1972, vol. 3, Vienna, 1974, p. 55-64.

Nakaoka M. Coincidence Lefshetz numbers for fibre preserving maps. - J. Math. Soc. Japan 1980, 32, p.

751-779.

Mukherjea K. Coincidence theory for manifolds with boundary. - Top. and appl., 1992, 46, p. 23-39.

Goncalves D.L., Jezierski J. Lefshetz coincidence formula on non-orientable manifolds. - Fund. math., 1997, 53, №1, p. 1-23.

В каждой из этих двух ситуаций определено число Лефщеца совпадений двух отображений и доказано, что неравенство этого числа нулю влечет наличие совпадений.

В случае, когда оба отображения сохраняют края, также получается два способа определения числа Лефшеца. Было доказано, что их разность есть число совпадения для ограничений отображений на края.

Если обобщения на случай неориентируемых компактных многообразий с краем шли по пути обощения схемы доказательства в простейшем случае замкнутых ориентируемых многообразий, то случай некомпактных многообразий потребовал привлечения новых идей. В случае ориетируемых многообразий без края возникшие проблемы были преодолены в 1980-ом году. Предполагается, что одно из отображений компактное, а другое собственное.

Частично был разобран и случай, когда некомпактные (вообще говоря) многообразия ориентируемы и имеют края. При этом требовалось, что одно из отображений компактно и сохраняет край, а второе собственно.

Имеются также обобщения в другом направлении. Была доказана близкая теорема для случая отображений произвольного пространства, содержащего в качестве пожмножества замкнутое ориентируемое многообразие в ориентируемое компактное многообразие, той же размерности с краем, одно из которых отображает дополнение к выделенному подмножеству, являющемуся замкнутом многообразием, в край.

Известно, что для эйлеровой характеристики верно следующее. В случае, если имеется расслоение с постоянным пучком Лере, когомологии тотального пространства, базы и слоя конечномерны и равны нулю во всех размерностях, начиная с некоторой, эйлерова характеристика тотального пространства есть произведение эйлеровых характеристик базы и слоя10.

Аналогичное равенство имеет место для расслоений с локально постоянным пучком Лере, но при условии, что база - конечный CW комплекс. Без этого условия данная формула, вообще говоря, может Давидян В.Р. О точках совпадений двух отображений. - Мат. сборинк, 1980, 112(154), №2(6), С.

220-225.

Давидян В.Р. О точках совпадения двух отображений для многообразий с краями. - УМН., 1983, 38, №1(229), С. 149-150.

Saveliev P. A Lefshetz-type coincidence theorem. - Fund. math., 1990, 162, p. 65-89.

Leray J. L’homologie d’un espace fibre dont la fibre est connexe. - J. Math. Pures Appl., 1950, 29, p.

169-213.

Серр Ж.П. Сингулярные гомологии расслоенных пространств. - Ann. Math., 1957, 54, p. 425-505.

нарушаться.

Были получены обобщения данного равенства на случай, когда имеется послойное отображение в себя расслоения над тождественным отображение базы13. При условии, что пучок Лере этого расслоения постоянен, установлено, что все числа Лефшеца отображений в себя слоев одинаковы а число Лефшеца отображения в себя расслоения есть произведение числа Лефшеца отображений слоев и эйлеровой характеристики базы.

Похожая формула имеет место для чисел Лефшеца совпадений. Пусть имеются отображение расслоения, в которых базы, слои и тотальные пространства - многообразия, а соответсвующие размерности в образе и в прообразе совпадают. Пучки Лере предполагаются постоянными, но слои и тотальные пространства могут иметь края. Доказано, что может быть определено число, которое может быть интерпретировано как число Лефшеца совпадений отображений слоев. При этом число Лефшеца совпадения для отображения тотальных просранств есть произведения чисел Лефшеца для отображений баз и слоев.

Различными авторами ставились проблемы исследования классов hlcпространств и ANR16 пространств на размерную полноценность. Однако обе эти гипотезы были опровергнуты17. В то же время было доказано, что 18 обощенные многообразия и даже (Z - n)-пространства размерно полноценны.

Цель работы - получение обобщения теоремы Лефшеца на случай отображений в общем случае некомпактных неориентируемых многообразий с краем, получение обощений формул для эйлеровой характеристики на случай отображений в себя расслоений, в том числе и с непостоянным, вообще говоря, пучком Лере, выделение класса размерно полноценных пространтсв, называемых обобщенными полиэдрами.

Douady A, Application de la suite spectrale des espace fibres. - Sem. Cartan(1958/59)Exp.3.

Snyder D. F. Lefshetz number for sheaf-trivial proper surjections. - Top. and. its appl., 2003, 128, p.

239-246.

Nakaoka M. Coincidence Lefshetz numbers for fibre preserving maps. - J. Math. Soc. Japan, 1980, 32, p. 751-779.

Dyer E. On the dimention of products. - Fund. math., 1959, 47, №2, P.141-160.

Borsuk K. Opening of the Conference on Geometric Topology: in proceedings of the International Conference on Geometric Topology. Warszawa : PWN. 1980. P.12-14.

Дранишников А.Н. О размерности произведения ANR-компактов.- ДАН СССР, 1988, 300, №5, С.1045-1049.

Харлап А.Э. Локальные гомологии и когомологии, гомологическая размерность и обощенные многообразия. - Мат. сб., 1975 96(138), №3, С.347-373.

Скляренко Е.Г. О гомологических умножениях. - Изв. РАН, Сер. мат., 1997, 61, №1, С.157-176.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Теорема Лефшеца о числе совпадений доказана для случая отображений вообще говоря некомпактных, неориентируемых многообразий одной и той же размерности, имеющих края. Предполагается, что одно из отображений компактно, другое собственно и ориентируемо, причем одно из отображений сохраняет края.

2. Для послойных отображений в себя расслоений с постоянным пучком Лере или с локально постоянным пучком Лере, при условии, что отображение базы тождественно, доказано равенство числа Лефшеца неподвижных точек отображения тотального пространства и произведения числа Лефшеца отображения базы и числа, которое можно интерпретировать как число Лефшеца отображений слоев. В случае локально постоянного пучка Лере и нетождественного отображения в базе приведена формула для числа Лефшеца отображения тотального пространства, обобщающая упоминавшуюся выше мультипликативную формулу.

3. Выделен с помощью локальных гомологических условий класс размерно полноценных пространств. Показана нетривиальность этих условий. Сравнивается класс обобщенных многообразий и обобщенных полиэдров.

Методы исследования.

В работе используются методы алгебраической топологии. При доказательстве теоремы Лефшеца важную роль играют методы, развитые Давидяном для случая некомпактных многообразий. В связи с неориентируемостью многообразий широко используются гомологии и когомологии с коэффициентами в ориентирующих пучках многообразий. При исследование числа Лефшеца отображения расслоений основным методом является использование спектральной последовательности Лере. При исследовании пространств на размерную полноценность используются локальные группы гомологий и когомологий.

Теоретическая и практическая научная ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаы многут быть использованы в гомологической теории неподвижных точек и точек совпадения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

1. На семинаре "Теория гомологий"под руководством проф. Е.Г. Скляренко на механико-математическом факультете МГУ неоднократно в 2004-2006 годах.

2. На кафедральном семинаре "Алгебраическая топология и ее приложения" под руководством чл.-корр. РАН В.М.Бухштабера, проф. А.В.Чернавского, проф. И.А.Дынникова, доц. Л.А.Алания, доц. В.М.Миллионщикова, доц. Т.Е.Панова на механико-математичском факультете МГУ в году.

3. На семинаре "Некоммутативная геометрия" под руководством проф.

А.С.Мищенко, проф. И.К.Бабенко, проф. Е.В.Троицкого, проф.

В.М.Мануйлова, доц. А.А.Ирматова на механико-математическом факультете МГУ в 2008 году.

4. На конференции "Александровские чтения" в июне 2006 года.

5. На конференции "Ломоносовские чтения" в апреле 2008 года.

6. На семинаре "K-theory and related topics" университета г. Билефельда (Германия) в 2007 году.

Публикации.

Результаты опубликованы 2-x работах автора, список которых приводится в конце автореферета [1-2].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, десяти глав, списка литературы. Список включает 44 наименования. Объем диссертации - 79 страницы.

Краткое содержание работы.

Во введении делается обзор различных вариантов теоремы Лефшеца о числе совпадений двух отображений, а также соотношений, обобщающих формулу для эйлеровой характеристики расслоений.

В главе 1 формулируются основные результаты работы, касающиеся теоремы Лефшеца о числе совпадений. Предполагается, что имеются два n-мерных многообразия M, N, возможно неориентируемые, некомпактные, имеющие края. Предполагается, что имеются два отображения f, g из M в N, f - компактно (т.е. замыкание образа компактно), g - собственно (т.е.

прообраз компактного множества компактен), ориентируемо (т.е. обратный образ оринетирующего пучка N - ориентирующий пучок M). Предполагается, что либо f, либо g сохраняет края.

В обоих случаях определяется число Лефшеца совпадений. Фиксируется поле коэффициентов R.

Пусть сперва g(M) N. Определим отображение q пространства Hq(N; R) в себя как следующую композицию: Hq(N; R) f Hq(M; R) =D Hn-q(M, M; Hn(M)) g Hn-q(N, N; Hn(N)) =D Hq(N; R). Здесь D двойственность Пуанкаре. Доказывается, что, так как f компактно, образ q конечномерен. Поэтому определен след Spq этого отображения. Определим число Лефшеца равенством f,g = (-1)qSpq.

q Если же f(M) N, то действуем так. Определим отображение q группы Hq(N, N; R) в себя как следующую композицию: Hq(N, N; R) f Hq(M, M; R) =D Hn-q(M; Hn(M)) g Hn-q(N; Hn(N)) =D Hq(N, N; R).

Опять доказывается, что, так как f компактно, образ данного отображения конечномерен. Положим f,g = (-1)qSpq.

q Tеорема 1. Если g(M) N и f,g = 0, то отображения f, g имеют точку совпадения.

Tеорема 2. Если f(M) N и f,g = 0, то f, g имеют точку сопаде ния.

Пусть теперь одновременно f(M) N, g(M) N. Обозначим как f, g отображения M N, являющиеся ограничениями на M отображений f, g. Так как многообразия M, N не имеют края, то для них оба определения числа Лефшеца отображений f, g совпадают. Соответствующее число Лефшеца обозначим как f,g.

Tеорема 3. Если f(M) N, g(M) N, то f,g - f,g = f,g.

Во второй главе делается редукция теоремы 1 к теореме 2, доказывается теорема 3.

В третьей главе определяется индекс совпадения. Делается это следующим образом.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»