WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Публикации.

Основное содержание диссертации было опубликовано в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата [1] [4].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения и 5 глав и списка литературы. Полный объем диссертации 84 страницы, библиография включает 68 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются предварительные сведения и формулируются основные определения. Через |X| обозначается мощность множества X. Если q = pr является степенью простого числа p, то Fq обозначает поле из q элементов. Для множеств X, Y Fq и натурального k вводятся обозначения XY = {xy : x X, y Y }, Xk = {x1... xk : x1,..., xk X}, kX = {x1 + · · · + xk : x1,..., xk X}.

Множество A Fq названо особым, если оно покрывается каким-либо множеством вида {ds : s S}, где d Fq, S собственное подполе поля Fq, и неособым в противном случае. Мультипликативный порядок ordqx произвольного элемента x Fq \ {0} определяется как наименьшее натуральное l такое, что xl = 1.

Содержание главы 1.

В первой главе мы обсуждаем предварительные сведения и формулируем основные определения. В параграфе 1.1 определяется размерность произвольного подмножества конечного поля и доказывается нижняя оценка на размерность степени неособого подмножества. Также устанавливаются структура подмножеств X, Y Fq, удовлетворяющих условию |X+Y | = |X|, где символ |X| обозначает мощность подмножества X. В параграфе 1.2 доказываются основные оценки сумм-произведений, которые можно вывести, используя свойства множества отношений разностей. Здесь также доказано, что для данного неособого подмножества X Fq, q = pr, его степень Xr является базисом порядка, не превышающего q - 1. Легко понять, что любая степень особого подмножества не может быть базисом. В параграфе 1.формулируются классические оценки на сумму произвольных подмножеств:

неравенство Коши-Давенпорта, неравенство треугольника Ружи и неравенство Кнессера. Кроме того, доказывается две оценки на сумму подмножеств, использующиеся в доказательстве ряда результатов работы.

Содержание главы 2.

Назовем множество X симметричным, если оно вместе с каждым своим элементом x содержит элемент -x, и антисимметричным, если из включения x X следует, что -x X. Во параграфе 2.1 доказываются такие / утверждения.

Теорема 1. Если X Fq и Y Fq таковы, что Y антисимметрично и |X||Y | > q, то 8(XY ) = Fq.

Теорема 2. Рассмотрим подмножества X Fq и Y Fq такие, что Y симметрично. Если выполнено неравенство |X||Y | > q, то 8(XY ) = Fq.

Из теорем 1 и 2 выводятся такие следствия.

Следствие 1. Если H - мультипликативная подгруппа Fq \{0}, |H| > q, то 8H = Fq.

Следствие 2. Пусть A = gx : x N, 0 x 2[ q], где g Fq \ {0} некоторый элемент такой, что ordqg > q. Тогда 8A = Fq.

Кроме того, в этом параграфе устанавливается, что условие |X||Y | > q в теоремах 1 и 2 является неулучшаемым. В параграфе 2.2 из этих теорем выводятся такие результаты.

Теорема 3.Если X Fq \ {0} произвольное подмножество такое, что 1 |X| > + q, то 8(X2) = Fq.

4 Теорема 4. Рассмотрим произвольные подмножества X, Y Fq такие, что |X||Y | > q. Тогда выполнено равенство 16(XY ) = Fq.

Теорема 4 была улучшена М. Рудневым23. Он показал, что при тех же ограничениях на множества X и Y выполнено равенство 10(XY ) = Fq. Следует отметить, что Д. Коверт24, Д. Харт25, А. Иосевич26, Д. Кох, М. Руднев27, И. Шолумоши, М. Гараев, В. Гарсиа и С.В. Конягин28 в своих работах находят различные приложения теоремы 4 к ряду вопросов, в частности к задаче M. Rudnev, An improved estimate on sums of product sets, arXiv:0805. 2696v1, math.CO.

D. Covert, D. Hart, A. Iosevich, D. Koh, M. Rudnev, Generalized incidence theorems, homogeneous forms, and sum-product estimates in finite fields, arXiv: 0801.0728v2, math.CO.

D. Hart, A. Iosevich, J. Solymosi, Sum-product estimates in finite fields via Kloosterman sums, IMRN, vol.

2007, 2007, article ID: rmn007.

D. Hart, A. Iosevich, D. Koh, M. Rudnev, Averages over hyperplanes, sum-product theory in vector spaces over finite fields and the Erds-Falconer distance conjecture, arXiv: 0707.3473v2, math.CA.

D. Hart, A. Iosevich, Sums and products in finite fields: an integral geometric viewpoint, arXiv: 0705.4256v4, math.NT.

M. Rudnev, An improved estimate on sums of product sets, arXiv:0805. 2696v1, math.CO.

М. Гараев, В. Гарсиа, С.В. Конягин, Проблема Варинга с –функцией Рамануджана, Известия РАН.

Серия математическая, т. 72, 2008, №1, стр. 39–50.

Эрдеша о расстояниях, задаче Эрдеша-Фалконера и проблеме Варинга с – функцией Рамануджана.

В параграфе 2.3 получается приложение теорем 1-4 к задаче ЭрдешаГрэхэма29, который формулируется так: существует ли для любого > такое k() N, что для любого достаточно большого простого p и для любого целого c существует k k() попарно различных целых чисел xi таких, что 1 xi p, i = 1, 2,..., k, и k x-1 c(mod p), i i=где запись x-1 обозначает наименьшее положительное целое такое, что i x-1xi 1(mod p) Доказан такой результат.

i Теорема 5. Для любого > 0, для любого достаточно большого простого p и для любого класса вычетов a(mod p) существует положительные попар1 но различные натуральные числа x1,..., xN p, где N = 8 + + 1, такие, что 1 a + · · · + (mod p).

x1 xN Содержание главы 3.

В параграфе 3.1 доказываются оценки сумм-произведений, необходимые для доказательства основного результата главы 3. В параграфе 3.2 выводится основной результат, который формулируется следующим образом.

Теорема 6. Для любых подмножеств A1, A2,..., An Fp, n 2, таких, что |Ai| 2, 1 i n, и |A1| · |A2| ·... · |An| > p1+ для некоторого > 0, мы имеем N(A1 · A2 ·... · An) = Fp, где 10, если n = 2;

N = 10 · max 1, 24 log2 1 + 1, если n = 3;

16n-2 · max{1120, 320(-11 - [log2((n - 2))])}, если n > 3.

Теорема 6 обобщает теорему 4 для поля Fp.

P. Erds, R.L. Graham, Old and new problems and results in combinational number theory, Monograph.

Enseign. Math., vol. 28, 1980.

Содержание главы 4.

В параграфе 4.1 выводится такой результат о базисных свойствах произвольной степени достаточно большого неособого подмножества конечного поля.

Теорема 7. Для любого целого числа n 2, для любых чисел (0; 1), любого простого p и любого неособого множества A такого, что A Fp, n|A| > p, мы имеем N(An) = Fp, где 10, если n = 2;

N = (5 · 4n - 32) 3 + log2 1, если n 3.

В параграфе 4.2 доказывается нижняя оценка на мощность множества 3(X2) - 3(X2) для любого неособого подмножества X Fq. В параграфе 4.3 получается нижняя граница на мощность множества NkXk - NkXk, где 5 X Fq, q = pr и Nk = 4k -, k 3. Основные результаты параграфов 4.2 и 24 4.3 используются в доказательствах всех последующих теорем. В параграфе 4.4 устанавливается такая теорема.

Теорема 8. Рассмотрим произвольное неособое подмножество A Fp, nтакое, что |A| p для некоторого натурального n 2 и действительного (0, 1). Тогда имеет место соотношение:

N(An) = Fp, где 10, если n = 2;

N = 120(2 + log2 1 ), если n = 3;

(5 · 4n - 32) 3 + log2 1, если n 4.

Из теорем 7 и 8 выводятся следствия, аналогичные следствиям 1 и 2.

Содержание главы 5.

В параграфе 5.1 доказывается, что произвольное неособое подмножество конечного поля в некоторой степени, зависящей только от его мощности, является базисом ограниченного порядка. А именно, установлен такой результат.

Теорема 9. Дано произвольное неособое подмножество A Fq такое, что n|A| > q для некоторого (0, 1). Тогда выполнено равенство N(A2n-2) = Fq, где 10, если n = 2;

N = 6n-3 max 30 · 3 + log2 1, 160 · (1 + [log2 n]), если n 3.

Отметим, что показатель степени 2n - 2, вообще говоря, неулучшаем.

Из теоремы 9 выводятся такие следствия для множеств специального вида.

Следствие 3. Для любой подгруппы по умножению H Fq, не лежащей ни в каком нетривиальном подполе Fq и удовлетворяющей условию |H| > nq для некоторого натурального n 2 и действительного > 0, имеет место равенство NH = Fq, где N число, определенное в формулировке теоремы 9.

Следствие 4. Рассмотрим произвольное натуральное число n 2 и любое nдействительное > 0. Тогда для любого натурального k q + 1, произвольного элемента g, не лежащего ни в каком нетривиальном подполе Fq, такого, что ordqg k, и множества A = {gx : 0 x k(2n - 2)} выполнено равенство NA = Fq, где N число, определенное в формулировке теоремы 9.

Из следствия 3 вытекает, что если H Fq подгруппа, не лежащая ни в каком нетривиальном подполе Fq и удовлетворяющая условию |H| > q, то NH = Fq, N = N(r, ). Аналогичное утверждение при более сильных ограничениях на подгруппу H вытекает из результата Ж. Бургена и М. Ч.

Чанг.В параграфе 5.2 доказываются необходимые следствия из оценок параграфов 4.2 и 4.3, которые используются в параграфе 5.3 для доказательства теоремы 10.

Теорема 10. Для произвольного неособого подмножества A Fq, r 3, nтакого, что |A| > q для некоторого натурального n r и действительного (0, 1), имеет место соотношение:

N(An) = Fq, (1) где r- log2 3-10 · 2 +1 3 + log2 r 5 4r-1 -, если n = r;

24 N = r++ log2 3-10 · 2 3 + log2 1 5 4n-1 -, если n r + 1.

24 Из теорем 4 и 10 вытекает, что равенство (1), где N = N(n, ) справедливо nдля любого неособого подмножества A Fp такого, что |A| > p, в случаях n = 2 и n 4. Однако, аналогичное утверждение верно и в случае n = 3, что доказано в параграфе 5.3. Таким образом, равенство (1), где N = N(n, r, ), справедливо при r 4 и, вообще говоря, несправедливо при r > 4.

J. Bourgain, M.C. Chang, A Gauss sum estimate in arbitrary finite field, C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1, vol.

342, 2006, pp. 643 646.

В параграфе 5.4 доказывается, что степень n у множества An в теоремах 7, 8 и 10 неулучшаема, а именно, устанавливается справедливость такой теоремы.

Теорема 11. Для любых натуральных чисел n 2, r 1, действительного числа 0 < < 1 и любого натурального N существуют простое число p и nподмножество A Fq, q = pr, такое, что |A| > q и N(An-1) = Fq.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико–математических наук, профессору С.В. Конягину за постановки задач и постоянное внимание. Автор также благодарен профессору Ж. Бургену (Университет Высших Исследований, Принстон, США) и профессору М. Рудневу (Университет Бристоля, Бристоль, Великобритания) за плодотворные обсуждения поставленных задач и постоянную поддержку. Автор выражает благодарность коллективу кафедры общих проблем управления механико–математического факультета МГУ, и в особенности доктору физико–математических наук, профессору В. Ю. Протасову, а также члену– корреспонденту РАН Ю. В. Нестеренко и доктору физико–математических наук, профессору Н. Г. Мощевитину за поддержку и внимание.

Список публикаций по теме диссертации.

[1] А.А. Глибичук, Комбинаторные свойства множеств вычетов по простому модулю и задача Эрдеша-Грэхэма, Мат. заметки, т. 79, 2006, стр.

384 395.

[2] А.А. Глибичук, Свойства сумм и произведений подмножеств конечного поля простого порядка, Чебышевский сборник, том 8, вып. 2, 2007, стр. 30 43.

[3] А.А. Глибичук, Аддитивные свойства произведений подмножеств поля Fp, Вестник Московского Государственного Университета.Серия 1.Математика.Механика, №1, 2009, стр. 3 8.

[4] А.А. Глибичук, Cвойства степеней больших подмножеств в поле из p3 элементов, Депонировано в ВИНИТИ РАН, 30.09.2008г., №769-В2008, 32 с.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»