WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 511.235.1 Глибичук Алексей Анатольевич СВОЙСТВА СУММ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПОДМНОЖЕСТВ ПРОИЗВОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ПОЛЯ 01.01.06 - математическая логика, высшая алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления Механико-Математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико–математических наук, профессор Сергей Владимирович Конягин

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, профессор Сергей Александрович Степанов кандидат физико–математических наук, старший научный сотрудник Максим Александрович Королёв

Ведущая организация: Хабаровское отделение института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится 17 апреля 2009 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 30 марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А. О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Задачи, рассматриваемые в диссертации, относятся к быстро развивающемуся в настоящее время разделу математики аддитивной комбинаторике. Большое количество результатов, полученных в этой области, обусловлено разнообразием методов, используемых при их изучении. Вопросы, исследуемые в работе, так или иначе связаны с обобщением проблемы Варинга для конечных полей и с задачами изучения роста суммы и произведения подмножеств в этих полях.

Гипотеза, называемая сейчас проблемой Варинга, была высказана им в 1770 г. Она формулируется так: доказать, что для любого натурального n существует число s(n) с тем свойством, что всякое натуральное число представимо в виде суммы n-х степеней натуральных чисел, причем количество слагаемых не превосходит s(n). Многие математики занимались этой проблемой и задачами, с нею связанными. Среди обширной литературы, посвященной проблеме Варинга и ее обобщениям, следует упомянуть работы Д.Гильберта1, Ю.В. Линника2, Л. Диксона3, С. Пиллаи4,Г. Харди и Д. Литтлвуда5, И.М. Виноградова6, А.А. Карацубы7, Р. Вона8 и Т. Вули9. Методы, предложенные в этих работах, зачастую использовались в других задачах и легли в основание новых математических теорий.

Определение 1. Рассмотрим произвольное полукольцо R. Множество A R является базисом R порядка k N, если каждый элемент x R представим в виде x1 + x2 +... + xk = x, где x1, x2,..., xk A, но существует такой элемент x0 R, что x1 + x2 +... + xk-1 = x0 для любых x1, x2,..., xk-1 A.

Таким образом, проблема Варинга может быть переформулирована следующим образом: для любого натурального n найдется такое число s(n), что множество n-х степеней целых неотрицательных чисел образует базис порядка, не превосходящего s(n), в полукольце целых неотрицательных чисел.

Д. Гильберт, Избранные труды в двух томах, 1998, Москва, Факториал, с. 312 328.

Ю.В. Линник, Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана, Матем. сб., т.

12(54), 1943, вып. 2, стр. 225 L.E. Dickson, Researches on Waring’s problem, Carnegie Inst. of Washington Publications, vol. 464, 1936.

S. Pillai, On Waring’s problem, Journal of Indian Math. Soc., ser. 2, vol. 2, 1937, pp. 213 214.

G.H. Hardy, J.E. Littlewood, A new solution of Waring’s problem, Q.J. Math., vol. 48, 1919, pp. 293.

И.М. Виноградов, К вопросу о верхней границе для G(n), Изв. РАН СССР, сер. матем., т. 23, 1959, вып. 5, стр. 637 642.

А.А. Карацуба, О функции G(n) в проблеме Варинга, Изв. АН СССР. Сер. матем., т. 49, 1985, вып.

5, стр. 935 -947.

Р. Вон, Метод Харди-Литтлвуда, Москва, Мир, 1985.

T. D. Wooley, Large improvements in Waring’s problem, Ann. of Math., vol. 135, 1992, no. 1, pp. 131 164.

Если Fq поле порядка q, то множество n-х степеней ненулевых элеq-ментов Fq образует подгруппу порядка мультипликативной группы F q (q-1,n) поля. Поэтому для оценки числа слагаемых в проблеме Варинга достаточно оценить порядок базисности подгруппы H F. Такие оценки хорошо изq вестны, если |H| существенно больше q. Используя метод С. А. Степановаможно получить нетривиальные оценки тригонометрических сумм11 по подгруппам F для простого p и вывести из них нетривиальные оценки порядка p базисности этой подгруппы, если ее мощность существенно больше p. Известна также задача исследования базисных свойств подмножеств конечных полей, более общих, чем подгруппы, а именно, множеств последовательных степеней фиксированного элемента поля.Известно, что в поле Fp для фиксированных k N и > 0 случайно + k сгенерированное множество мощности > p является базисом порядка k с большой вероятностью (стремящейся к 1 при p ). А.А. Карацубастроит конструктивные примеры базисов мощности, близкой к оптимальной, в кольце вычетов по модулю степени простого числа.

Недавний прогресс в исследовании базисных свойств относительно небольших специфических подмножеств конечных полей связан с появлением оценок сумм и произведений подмножеств таких полей. Вначале аналогичные оценки рассматривались для конечных подмножеств множества натуральных и действительных чисел.

Если A и B подмножества конечного поля, то можно рассмотреть две операции: сложение A + B := {a + b : a A, b B} и умножение A · B = A · B := {ab : a A, b B}. Определим для некоторого k N и множества A его кратную сумму kA = A + A... + A и k-ю степень этоk го подмножества Ak = A · A ·... · A. Гипотеза П. Эрдеша и Э. Семередиk утверждает, что для любого конечного непустого подмножества A N и С. А. Степанов, О числе точек гиперэллиптической кривой над простым конечным полем, Известия РАН СССР.Серия математическая, т. 33, 1969, стр. 1171 1181.

С. В. Конягин, Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и суммы Гаусса, IV международная конференция Современные проблемы теории чисел их приложения.Актуальные проблемы.Часть III, стр. 86 114.

И.Д. Шкредов, О некоторых аддитивных задачах, связанных с показательной функцией, Успехи мат. наук., т. 58., вып. 4, 2003, стр. 165 166.

Z. Rudnick, A. Zaharescu, The distribution of spaces between small powers of a primitive root, Israel Journal of Math., vol. 120, 2000, pp. 271 287.

M. Vjitu, A. Zaharescu, Differences between powers of a primitive root, International Journal of Mathematical Sciences, vol. 29, 2002, pp. 325 331.

А.А. Карацуба, Правильные множества по заданному модулю, Acta Matem. Et. Informat., Univ.

Ostraviensis, 1998, v. 6, p. 129 -134.

P. Erds, E. Szemerdi, On sums and products of integers, Studies in Pure Mathematics, Birkhauser, Basel, 1983, pp. 213 218.

произвольного действительного числа > 0 верно неравенство:

max{|A · A|, |A + A|} c()|A|2-, c() > 0.

В той же работе доказано, что max{|A · A|, |A + A|} c|A|1+, c > 0 для некоторого > 0. Позже была получена версия последнего неравенства с точными константами, которые в ряде работ последовательно улучшались.

Наилучшая в настоящий момент оценка доказана И. Шолумоши15. Она имеет вид: max{|A · A|, |A + A|} |A|, где > 0 произвольное действительное число, и верна также для конечных подмножеств множества комплексных чисел. Аналогичных теорем для конечных колец не было до работы Ж. Бургена, Н. Катца и Т. Тао16, которые показали, что, если A подмножество поля порядка p для некоторого простого p, удовлетворяющее условию p < |A| < p1-, где > 0 произвольное действительное число, то max{|A · A|, |A + A|} > c|A|1+, причем константы c и зависят только от.

Затем Ж. Бурген и С. В. Конягин17 (вторая работа выполнена в соавторстве с диссертантом) получили аналогичную оценку, предполагая, что A удовлетворяет более слабому условию: |A| < p1- для некоторого действительного > 0. Из результата этих статей вытекает, что порядок базисности мультипликативной подгруппы H F, |H| > p, ограничена сверху величиной, p зависящей только от. Аналогичные вопросы для подгрупп произвольных конечных полей оставались открытыми.

В ряде работ Ж. Бургена18 получены обобщения теоремы о суммах и произведениях подмножеств и найдены многочисленные приложения этих результатов к задачам оценивания модулей различных тригонометрических сумм, проблемам p - адической теории, алгебраической теории чисел, криптографии и другим разделам математики. Х. Хельфготт19 использует неравенства на суммы и произведения подмножеств для получения оценок на диаметр графа Кэли. Оценки на в неравенстве для сумм и произведений J. Solymosi, Bounding multiplicative energy by the sumset, arXiv:0806. 1040v3, math.CO.

J. Bourgain, N. Katz, T. Tao, A sum-product estimate in finite fields and their applications, Geom and Funct. Anal., vol. 14, 2004, pp. 27 57.

J. Bourgain, S.V. Konyagin, Estimates for the number of sums and products and for exponential sums over subgroups in fields of prime order, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, vol. 337, 2003, no. 2, pp. 75–80.

J. Bourgain, A. Glibichuk, S. Konyagin, Estimates for the number of sums and products and for exponential sums in fields of prime order, Journal of London Math. Society, vol. 73, N.2, 2006, pp. 380 398.

J. Bourgain, Multilinear exponential sums in prime fields under optimal entropy conditions on the sources, to appear in Geom and Funct. Anal.

J. Bourgain, Mordell’s exponential sum estimate revisited, J. Amer. Math. Soc., vol. 18, 2005, pp. 477 499.

J. Bourgain, More on the sum-product phenomenon in prime fields and its applications, International Journal of Number Theory, vol. 1, no. 1, 2005, pp. 1 32.

J. Bourgain, Estimates on exponential sums related to the Diffie-Hellman distributions, GAFA, vol. 15, 2005, pp. 1 34.

H.A. Helfgott, Growth and generation in SL2(Z/pZ), Annals of Mathematics, ser. 2, vol. 167, no. 2, 2008, pp. 601 - 623.

были улучшены в работах Гараева20, Катца и Шена21.

Методы, разработанные в статье Ж. Бургена, Н. Катца и Т. Тао, выявляют взаимосвязь проблемы Эрдеша-Семереди для конечных полей с задачей о базисных свойствах множества произведений ограниченного количества элементов подмножества A конечного поля. Последняя задача является основным объектом исследования настоящей работы. Если Fp поле простого по+ рядка p и A его подмножество, удовлетворяющее условию |A| > p, > 0, то из классических оценок тригонометрических сумм22 нетрудно получить, что множество попарных произведений элементов множества A образует базис, порядок которого не превосходит некоторого числа, зависящего только от. Если же множество A имеет меньшую мощность, то для исследования базисных свойств множеств A·A, A·A·A,... приходится использовать методы и результаты работ, связанных с суммами и произведениями подмножеств конечных полей. Данная работа продолжает упомянутые исследования.

Цель работы.

Цель настоящей работы исследовать базисные свойства множества произведений ограниченного количества элементов из подмножества конечного поля при минимальных ограничениях на его мощность и структуру, и в частности, множества последовательных степеней фиксированного элемента.

Научная новизна.

В диссертации решены следующие новые задачи:

1. Доказано, что любой элемент конечного поля представим в виде суммы не более 16 слагаемых из произведения двух больших подмножеств этого поля.

2. Доказано, что в поле Fp, где p простое число, произведение произвольного количества множеств при минимальном ограничении на их мощность является базисом ограниченного порядка.

M. Z. Garaev, The sum-product estimate for large subsets of prime fields, Proc. Amer. Math. Soc., vol.

136, no. 8, 2008, pp. 2735–2739.

M. Z. Garaev, An explicit sum-product estimate in Fp for subsets of incomparable sizes, The Electronic Journal of Combinatorics, vol. 15, 2008, #R 58.

M. Z. Garaev, An explicit sum-product estimate in Fp, Int. Math. Res. Not. IMRN, no. 11, Art. ID rnm035, 2007, 11 pp.

N. H. Katz, Ch.-Y. Shen, A slight improvement to Garaev’s sum product estimate, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 136, no. 7, 2008, pp. 2499–2504.

N. H. Katz, Ch.-Y. Shen, Garaev’s inequality in finite fields not of prime order, Online J. Anal. Comb., No.

3, Art. 3, 2008, 6 pp.

Виноградов И. М., Основы теории чисел, Москва-Ижевск, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2005, стр. 103, упражнение 8.

3. Доказано, что произвольная степень подмножества конечного поля при минимальных ограничениях на его мощность и структуру является базисом, порядок которого может быть оценен числом, не зависящим от характеристики этого поля.

Основные методы исследования.

В работе используются методы арифметической комбинаторики, теории полей и линейной алгебры.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Изложенные в диссертации методы и доказанные результаты представляют интерес для специалистов по теории чисел, комбинаторики и алгебры, о чем свидетельствует уже появившиеся приложения идей работы.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно - исследовательских семинарах и конференциях:

1. Кафедральный семинар кафедры теории чисел под руководством д.ф.м.н., чл.-корр. РАН Ю.В. Нестеренко и д.ф.-м.н., профессора Н. Г. Мощевитина.

2. Семинар Аналитическая теория чисел под руководством д.ф.-м.н., проф. А.А. Карацубы.

3. Научно-исследовательский семинар по алгебре, проводимый кафедрой высшей алгебры МГУ им. Ломоносова.

4. Семинаре по теории функций под руководством к.ф.-м.н., доц. В.Б.

Демидовича, д.ф.-м.н., проф. С.В.Конягина и к.ф.-м.н., доц. А.С. Кочурова неоднократно, по мере получения результатов.

5. Международная конференция по аддитивной комбинаторике (Монреаль, Канада, 6 12 апреля 2006 г.).

6. Международная конференция Clay-Fields Conference on Additive Combinatorics, Number Theory, and Harmonic Analysis (Торонто, Канада, 13 апреля 2008г.).

7. Специальная программа по арифметической комбинаторике, проходившей в Институте Высших Исследований(Принстон, США, 23 сентября декабря 2007г.).

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»