WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

= 0 0, (27) I3 IK,K где 0 крутка однородного стержня жесткости D0, причем M 0 =, D0 = 2 0dF. (28) DF Приводится интегральная формула представления решения исходного уравнения (25) через решение уравнения (26) сопутствующей задачи:

(x) = 0(x) + b0 - b () (, x) 0 () dF. (29) IJ |J IJ |I F Индекс после вертикальной черты означает производную по соответствующей переменной, а (x, ) функция Грина смешанной J краевой задачи (25), т. е.

b (x) (x, ) = -(x - ), при x, F, IJ,J,I (y, )|y = 0, b (y) (y, )n (y) y = 0. (30) IJ,J I Здесь (x - ) -функция Дирака, сосредоточенная в точке.

В случае второй краевой задачи (2 ) для функции справедливо тождество:

0(x) - b () (, x) 0 () dF 0, (31) IJ |J |I F поэтому интегральная формула (29) примет вид:

(x) = (, x) q0() dF. (32) |J J F В третьей главе рассматриваются эффективные характеристики при кручении. Вводится понятие первой специальной краевой задачи (СКЗ):

b (x) = 0, IJ,J,J | = y, = const (x F, y ). (33) I I I и второй СКЗ, отличие которой от первой состоит в виде граничных условий:

q n | = n, = const. (34) I I I I I Доказывается, что в первой СКЗ:

=, (35) J J где угловые скобки обозначают среднее значение функции в области F, а во второй:

q =. (36) I I Вводится определение эффективных коэффициентов b (эффективIJ ные податливости) в случае первой СКЗ:

q = b = b, (37) I IJ J IJ J и a (эффективные модули сдвига) в случае второй СКЗ:

IJ = a q = a. (38) I IJ J IJ J И вводится сопутствующая задача. Для первой СКЗ:

q0 = 0, q0 = b0 0, 0 = 0, I,I I IJ J J,J 0 = y, = const (x F, y ), (39) I I I или b0 0 = 0, IJ,IJ 0 = y, = const (x F, y ). (40) I I I Для второй СКЗ:

q0 = 0, q0 = b0 0, 0 = 0, I,I I IJ J J,J q0n = n, = const. (41) I I I I I Если считать, что DIJ bIJ, где DIJ коэффициенты в уравнении для функции напряжений при кручении, тогда к эффективным коэффициентам b и a должны быть предъявлены дополнительные IJ IJ требования симметрии и положительной определённости:

b = b, b m, для и m > 0, IJ JI IJ I J I I I a = a, a m1, для и m1 > 0.

IJ JI IJ I J I I I Выводятся интегральные формулы для эффективных коэффициентов b и a :

IJ IJ b = b (x) - b (x) b () (, x) dF, (42) IJ IJ IK JL |L,K F где (x, ) функция Грина первой краевой задачи, то есть функция, в области F удовлетворяющая уравнению (30), а на всём контуре однородному условию первого рода (y, ) = 0;

a = (, x) dF, (43) IJ |J,I F а здесь (x, ) функция Грина второй краевой задачи, то есть функция, в области F удовлетворяющая уравнению (30), а на всём контуре однородному условию второго рода b (y) (y, )n (y) = 0.

IJ,J I Для вычисления эффективных податливостей нужно знать не саму функцию Грина, а лишь интегралы по области от величин, в которые входит функция Грина. Для их вычисления введём вспомогательные обозначения, положив N (x) - b () G (, x) dF, (44) I IL |L F Выводится краевая задача для нахождения N-функций:

b + b N = 0, N | = 0. (45) IJ IK J,K J,I После решения этой задачи эффективные коэффициенты b нахоIJ дятся по формуле:

b = b + b N, (46) IJ IJ IK J,K или же b = b, x + N. (47) IJ IK J,K J J J Также даётся две постановки краевой задачи для вычисления эффективных модулей сдвига. Обозначим M (x) (, x) dF, (48) K |K F тогда = M, I K,I K q = b = b M. (49) I IJ I IJ K,J K Отсюда и из постановки второй СКЗ следует постановка задачи для М-функций:

b M = 0, b M n = n. (50) IJ K,J IJ K,J I K,I После решения этой задачи, учитывая (38), найдем эффективные коэффициенты a :

IJ a = M. (51) IJ J,I Задачу (50) удобно представить в ином виде. Для этого положим A b M M = a A. (52) IK IJ K,J K,J JI IK Здесь a симметричная матрица коэффициентов, обратная к матрице IJ b.

IJ Так как постоянные величины произвольны и q = b M = I I IJ K,J K A и q =, то A =.

IK K I I IK IK Получаем две формулы для эффективных величин a :

IJ a = a A = a A A. (53) IJ IK KJ KL KI LJ Величины A находятся из решения следующей краевой задачи:

IJ A = 0, (a A ) = 0, A n | = n. (54) IJ,I JL JI IK IJ I J,L Если теперь ввести другие неизвестные так, чтобы A = + L, (55) IJ IJ IM J,M тогда первое уравнение из (54) удовлетворяется тождественно, а из второго уравнения и граничного условия вытекает постановка задачи для L-функций:

a + a L = 0, (56) JL JK JI IM K,M,L L | = const = 0. (57) J В случае односвязной области F константу можно положить равной нулю.

Функции N и L определяются только функциональной зависимостью тензоров b и a от координат и обращаются в нуль для однородного e e материала.

Задачу (56) легко можно преобразовать к виду:

C + C L = 0, L | = 0. (58) I3J3 KJ I3J3 K,J K,I Находится связь решений задач (58) и (45):

L (C, x) = N (C, x), N (b, x) = L (b, x). (59) K KS S K KS S e e e e Решив уравнения (56) с учетом граничных условий (57), найдём Lфункции, а затем по формуле (53) найдём эффективные величины a :

IJ a = a A = a + a L = IJ IK KJ IJ KM KI J,M 1 C + C N (C, x) = C. (60) IP JQ P 3Q3 P 3M3 Q,M IP JQ P 3Q4 e В изотропном случае b = 4J = /G(x), a = C /4 = G(x), IJ IJ IJ IJ I3J3 IJ где G переменный по сечению модуль сдвига материала стержня.

Уравнения для N и L функций примут вид:

1 + N = 0, G + G L = 0, (61) KI K,I KI K,I,I G G,I а эффективные характеристики будут определяться по формулам:

1 b = + N, a = G + G L. (62) IK IK K,I IK IK IM K,M G G Доказаны теоремы о симметрии и положительной определённости эффективных податливостей и эффективных модулей сдвига.

Подробно рассматривается случай неоднородного по толщине слоя.

Получены явные аналитические выражения эффективных модулей сдвига и эффективных податливостей неоднородного по толщине слоя. Показано, что в этом случае эффективные характеристики, найденные через решения первой и второй специальных краевых задач, являются взаимно обратными.

В конце третьей главы обсуждается, так называемое, нулевое приближение в механике композитов, введённое Б.Е Победрей. Рассматривается нулевое приближении в задаче о кручении неоднородного стержня.

В четвертой главе применяется метод конечных элементов для нахождения N-функций и эффективных податливостей. Даётся краткое описание метода конечных элементов.

Численно решается несколько задач, а именно: кручение стержня, поперечное сечение которого длинная полоса, кручение стержня, когда поперечное сечение слоистый круг и случай, когда поперечное сечение квадрат с различным (1, 9, 25) количеством квадратных включений.

Во всех задачах рассматривается следующие модули сдвига:

случай a 0 0 0 внутр внешн DIJ =, DIJ =. (63) 0 1 0 0.случай b 0 0 0 внутр внешн DIJ =, DIJ =. (64) 0 1 0 На рисунках 1–3 приводятся N1-функция, эффективные податливо0 2 сти D, функция напряжений (x1, x2) и напряжения = 13 + (в нулевом приближении) для квадратного сечения с 1, 9, 25 квадратными включениями соответственно. Функции N1, N2 симметричны друг другу при замене координат x1 на x2 и наоборот, т.е. горизонтальные сечения N1 равны вертикальным сечениям N2 и функции симметричны относительно нуля, поэтому приведены только функция N1.

Расчёты выполнены на суперкомпьютерном комплексе НИВЦ МГУ кластере "Скиф". Адрес в сети Интернет:

http://parallel.ru/cluster.

В первом приложении дается подробное описание комплекса программного обеспечения, с помощью которого вычисляются N-функции и эффективные податливости.

В втором приложении даются технические характеристики подсчитанных областей.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф-м.н., проф. Горбачеву Владимиру Ивановичу за его постоянное внимание к работе, личное участие и поддержку моей уверенности и интереса, терявшихся в многочисленных трудностях.

Случай a Случай b N1-функция 0 D = 0.8259 D = 1. Рис. 1: Функция N1, эффективные податливости, функции и для квадратного сечения с одним квадратным включением.

Случай a Случай b N1-функция 0 D = 0.8256 D = 1. Рис. 2: Функция N1, эффективные податливости, функции и для квадратного сечения с девятью квадратными включениями.

Случай a Случай b N1-функция 0 D = 0.8260 D = 1. Рис. 3: Функция N1, эффективные податливости, функции и для квадратного сечения с 25 квадратными включениями.

Основные результаты и выводы 1. Получена новая интегральная формула для представления решения задачи о кручении неоднородного стержня через решение задачи о кручении однородного стержня с таким же поперечным сечением. Из интегральной формулы найдено эквивалентное представление решения задачи о кручении неоднородного стержня в виде ряда по производным от решения задачи о кручении однородного стержня с таким же поперечным сечением. Для коэффициентов ряда (N-функций) выведена система вспомогательных рекуррентных краевых задач на поперечном сечении.

2. Получено выражение для эффективных характеристик при кручении через функцию Грина. Показана их симметрия и положительная определённость.

3. Программно реализован метод конечных элементов для нахождения N-функций с одним индексом, необходимых для расчёта эффективных податливостей и решения задачи о кручении в нулевом приближении. Численно решено несколько конкретных задач, а именно: задача о кручении длинной полосы, задача о кручении стержня, когда поперечное сечение слоистый круг и когда поперечное сечение квадрат с различным количеством (1, 9, 25) квадратных включений. Проведено сравнение численного решения с точным решением для случая длинной полосы. Проанализированы полученные результаты.

4. Исследованы периодические структуры. Показано, что при кручении стержня с периодической структурой в окрестности контура поперечного сечения имеется пограничный слой, в котором N-функции не являются периодическими функциями координат на ячейке периодичности. При удалении от границы вглубь тела N-функции стремятся к своим периодическим значениям на ячейке периодичности. Показано, что эффективные характеристики, найденные через периодическое решение вспомогательной задачи на ячейке, практически не отличаются от эффективных характеристик, определяемых через решение краевой вспомогательной задачи на ячейке.

По теме диссертации опубликованы следующие работы 1. Горбачев В.И., Зуйкова Л.В. Кручение неоднородного стержня// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения".

Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2002.

2. Горбачев В.И., Олехова Л.В. Расчёт эффективных свойств при кручении неоднородного стержня// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004.

3. Горбачев В.И., Олехова Л.В. Расчёт напряжений при кручении стержня из композиционного материала. // Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция меха-ника.

М.: Изд-во Моск. ун-та, 2005.

4. Горбачев В.И., Олехова Л.В. Эффективные свойства неоднородного стержня при кручении// Вестн. Моск. ун-та.

Cер. 1, Математика. Механика. 2007. № 5. C. 41–48.

5. Горбачев В.И., Олехова Л.В. Численное моделирование эффективных свойств при кручении стержня из волокнистого композита// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения".

Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2007.

6. Олехова Л.В. Эффективные свойства при кручении стержня из композиционного материала// Вестн. Моск. ун-та.

Cер. 1, Математика. Механика. 2009.(Принята к публикации)

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»