WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 539.3 ОЛЕХОВА Любовь Владимировна Кручение неоднородного анизотропного стержня Специальность: 01.02.04 механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный консультант:

Доктор физико-математических наук профессор В.И. Горбачев

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук профессор А.Н. Полилов Доктор физико-математических наук профессор А.А. Ташкинов

Ведущая организация:

Институт механики сплошных сред УоРАН

Защита состоится 13 февраля 2009 года в 16 часов на заседании специализированного совета Д 501.001.91 по механике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 12 января 2009 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.91 профессор С.В. Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы При интенсивном развитии техники, конструировании машин и проектировании инженерных сооружений важное место занимают расчёты их элементов на прочность. Высокие темпы разработки и внедрения новых конструкционных материалов приводят к необходимости учёта неоднородности механических свойств. Кроме этого многие задачи различных разделов механики деформируемого твёрдого тела сводятся к задачам неоднородной теории упругости. Это подтверждается выходом большого количества книг и статей. К 1977 году Колчиным Г.Б.

и Фаверманом Э.А. было издано два весьма полных библиографических указателя, в которых систематизировано 2611 работ советских и иностранных авторов, вышедших только до 1973 г. Особое место в теории неоднородных тел занимает механика композитов. К настоящему времени механика композитов выделилась в самостоятельное направление в МДТТ. По механике композитов во всем мире выходит огромное количество информации. В обзоре Тарнопольского Ю.М. были проанализированы наиболее ценные работы в этой области, вышедшие до года. Методы решения краевых задач теории упругости неоднородного тела во многом определяются формой области и видом функций, характеризующих зависимость упругих свойств от координат. Большое количество частных задач для непрерывно неоднородных тел было рассмотрено Ломакиным В.А., Колчиным Г.Б. Общая теория расчета упругих брусьев, составленных из материалов с различными механическими характеристиками, развивалась Мусхелишвили Н.И. Им рассмотрены задачи изгиба, растяжения и кручения неоднородных (кусочнооднородных) в сечении изотропных брусьев в плане пространственной задачи теории упругости. Кручение анизотропные стержней рассматривались в работах Лехницкого С.Г. В настоящее время наиболее распространенными методами решения задач механики композитов являются два метода это метод малого геометрического параметра (ММГП) и метод тензоров Грина (МТГ). Первым был предложен ММГП. В и 1975 годах Бахвалов Н.С. в ДАН СССР опубликовал две статьи по осреднённым характеристикам тел с периодической структурой и по осреднению дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами. МТГ был предложен Горбачевым В.И. в 1991 году, т.е на 17 лет позже. В этом методе рассматривается произвольно неоднородное упругое тело (в том числе и периодически неоднородное). В основе МТГ лежит возможность представления решения любой линейной краевой задачи для тела с одними упругими характеристиками через решение такой же задачи для тела точно такой же формы, что и исходное, но с другими упругими характеристиками.

В представлении существенную роль играет тензор Грина рассматриваемой краевой задачи для исходного тела. Это обстоятельство как раз и послужило основанием для выбора названия метода.

Цель диссертационной работы Целью диссертационной работы является создание метода осреднения для решения задачи о кручении прямого, неоднородного в сечении, анизотропного стержня.

Научная новизна 1. Получена новая интегральная формула для представления решения задачи о кручении неоднородного стержня через решение задачи о кручении однородного стержня с таким же поперечным сечением.

2. Из интегральной формулы найдено эквивалентное представление решения задачи о кручении неоднородного стержня в виде ряда по производным от решения задачи о кручении однородного стержня с таким же поперечным сечением. Для коэффициентов ряда (N-функций) выведена система вспомогательных рекуррентных краевых задач на поперечном сечении.

3. Получено выражение для эффективных характеристик при кручении через функцию Грина. Показана их симметрия и положительная определенность.

4. Создана программа численного нахождения методом конечных элементов N-функций с одним индексом и эффективных податливостей при кручении неоднородного стержня.

5. Исследованы периодические структуры. Показано, что при кручении стержня с периодической структурой в окрестности контура поперечного сечения имеется пограничный слой, в котором N-функции не являются периодическими функциями координат на ячейке периодичности. При удалении от границы вглубь тела N-функции стремятся к своим периодическим значениям на ячейке периодичности. Показано, что эффективные характеристики, найденные через периодическое решение вспомогательной задачи на ячейке, практически не отличаются от эффективных характеристик, определяемых через решение краевой вспомогательной задачи на ячейке.

Достоверность результатов обусловлена использованием корректных постановок задач теории упругости, математического анализа, численных методов, сравнением полученных результатов и точных аналитических решений (задачи о кручении неограниченного слоя).

Научная и практическая ценность работы.

Созданы методы, алгоритмы и программные средства, позволяющие проводить численные расчеты для нахождения эффективных характеристик и напряжений при кручении анизотропного неоднородного стержня любого поперечного сечения, что имеет важное значения при расчёте инженерных сооружений, сделанных, например, из волокнистых композиционных материалов.

Апробация работы Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на:

• Научная конференция “Ломоносовские чтения”, секция механики, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2002, 2004, 2005, 2007 гг.

• Аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри, 2003–2008 гг.

Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Нумерация формул в каждой главе автономная. Каждая формула нумеруется тремя числами; первая из них указывает на номер главы, вторая номер пункта в этой главе, а третья порядковый номер формулы в этом пункте.

Диссертация содержит 116 страницы, включая 32 иллюстрации и страниц списка литературы с 78-ю наименованиями.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся краткий обзор литературы по теме диссертации и излагается краткое содержание диссертационной работы.

В первой главе даётся общая постановка трёхмерной задачи о равновесии прямолинейного стержня. Используя принцип Сен-Венана, даётся приближенная постановка для этой же задачи: вместо распределенных по торцам усилий рассматривается статически эквивалентная им система сил и моментов, приложенных в центрах тяжести торцов.

Даётся общая постановка задачи Сен-Венана и вводятся ограничения на тип анизотропии и вид неоднородности, полагая, что любое поперечное сечение бруса является плоскостью симметрии упругих свойств, а свойства являются функциями координат точки в поперечном сечении. В этом случае, если выбрать декартову систему координат и ось x3 направить по оси стержня, то все коэффициенты Jijkl с нечётным количеством индексов 3 обратятся в нуль, а компоненты тензора податливостей будут зависеть только от координат x1 и x2.

Далее рассматривается чистое кручение, то есть полагается, что внешние силы, распределённые на торце, приводятся только к крутяL щему вокруг оси x3 моменту M3 = M. Используя полуобратный метод Сен-Венана, даётся окончательная постановка задачи Сен-Венана, которая состоит из:

уравнений равновесия:

3J,J = 0 (1) закона Гука:

I3 = I3(x1, x2) = 2 JI3K3(x1, x2) K3(x1, x2) (2) условия совместности:

3J,IT = 0 (3) JI граничных условий:

3J nJ| = 0, контур поперечного сечения, (4) интегрального условия:

xJ K3 dL = (x1 23 - x2 13) dL = M. (5) JK L L Вводятся функция напряжений при кручении (x1, x2) и функция кручения (депланация) (x1, x2).

Функция напряжений вводится следующим образом:

3I =,L. (6) IL Константа по размерности обратна размерности длины и называется круткой. Она представляет собой изменение угла поворота окрестности точки относительно оси x3, отнесённое к единице длины.

Выводится постановка задачи для в односвязной области:

(DIJ,I),J = -2, = 0, (7) где DT L 4 JI3K3, (8) IT KL DT L симметрическая матрица, причем 1 D11 = 4 J2323 =, D22 = 4 J1313 =, D12 = D21 = -4 J1323, (9) G2 Gгде G1, G2 модули сдвига.

Находится крутка :

M =. (10) 2 d Выражение, стоящее в знаменателе формулы (10) называется жёсткостью при кручении и обозначается D 2 d. (11) Даётся оценка снизу для жёсткости при кручении.

Функция определяет осевое перемещение точки поперечного сечения, в результате которого первоначально плоское поперечное сечение становится искривлённым:

u3(x1, x2) = (x1, x2). (12) Даётся постановка задачи для нахождения. Также в первой главе приводятся примеры точного решения известных задач о кручении однородного изотропного стержня, а именно: кручение круглого стержня, кручение бесконечного слоя, кручение стержня прямоугольного сечения.

Во второй главе рассматривается метод осреднения для функции кручения. Вводится сопутствующая задача такая же задача, как и для нахождения функции кручения, только с постоянными коэффициентами:

0 DIJ,IJ = -2, 0 = 0, (13) где DIJ коэффициенты, независящие от координат, например IJ DIJ =. (14) GСмысл метода осреднения в данной работе заключается в том, чтобы выразить решение исходной задачи через решение сопутствующей.

Вводится функция Грина исходной задачи (x, ):

(DIJ,I),J = -(x - ), x = 0, (15) где (x - ) = (x1 - 1) (x2 - 2) дельта-функция Дирака.

После этого даётся вывод интегрального представления решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи и функции Грина исходной задачи:

0 (x) = 0(x) + DIJ - DIJ(),J(, x),I() d. (16) Для получение представления в виде ряда, раскладываем функцию напряжений для сопутствующей задачи 0 в ряд Тейлора в окрестности точки, предполагая её гладкость:

0() = (, x),I...Iq(x), (17) I1...Iq q=где (, x) (I - xI ) · · · (I - xI ). (18) 1 1 q q I1...Iq q! Затем (17) подставляем в интегральное представление (16):

(x) = NI...Iq(x),I...Iq(x), (19) q= при q < 0, 0, 1, при q = 0, где NI...Iq = (20) DI J - DI J(),J d, при q > 0.

I2...Iq Поскольку функция Грина исходной задачи нам неизвестна, считаем, что коэффициенты ряда (19) являются искомыми функциями координат x1 и x2. Для их нахождения подставим ряд (19) в уравнение (7) и, учитывая уравнение (13) сопутствующей задачи, получаем систему рекуррентных уравнений:

(DIJ NI,I + DI J),J = 0, (21) 1 (DIJ NI I2,I + DI J NI ),J + DII NI,I + DI I2 = DI I2, (22) 1 2 1 2 1 DIJ NI...Iq,I + DI J NI...Iq-1,J + 1 q +DII NI...Iq-1,I + DI Iq NI...Iq-2 = 0, при q 3. (23) q 1 q-1 К уравнениям (21)–(23) необходимо добавить граничные условия для N-функций, которые следуют из граничного условия (7) ( = 0) сопутствующей задачи и представления в виде ряда функции напряжений (19):

NI...Iq = 0, при q 1. (24) В том случае когда 0 является полиномом конечной степени, функция напряжений представляется через 0 в виде конечной суммы, и будет точным решением задачи о кручении неоднородного стержня1.

В выражения для функций NI...Iq будут входить коэффициенты DIJ, однако после преобразования конечной суммы и приведения подобных членов эти коэффициенты исчезают из точного решения о кручении неоднородного стержня.

В том случае когда все производные функции 0 отличны от нуля, то конечная сумма для будет приближенным решением исходной задачи и, естественно, в него будут входить коэффициенты DIJ. Качество приближения будет зависеть не только от количества членов в этой сумме, но и от выбора коэффициентов DIJ. Наиболее лучшие результаты будет давать тот случай, когда коэффициенты DIJ являются эффективными коэффициентами для исходной задачи (7), о которых речь будет идти в третьей главе.

конечно, для этого нужно найти соответствующие N-функции Далее, в виде примера, подробно рассматривается задача, когда поперечное сечение неограниченный слой. Находятся NI NI I2-функции 1 для неоднородного по толщине анизотропного слоя. Делается вывод, что для анизотропного материала функции N1, N12 и N21 отличны от тождественного нуля, причем N12 = N21. В ортотропном случае ко эффициенты D12 = D21 = 0 и функции N1, N12, N21 тождественно равны нулю. Остальные функции будут ненулевые. Также приводятся явные выражения для N2, N11, N22-функций для изотропного и неоднородного слоя и N1–N5-функции для однородного слоя при обозначении N2... 2 Nq. Для однородного случая приводятся графики.

q В конце второй главы приводится постановка более общей задачи:

q = -f(x), q = b (x), =, (x F ) I,I I IJ J J,J | = f1(y), q n | = f2(y). (y = 1 2) (25) I I 1 Наряду с исходной задачей (25), рассматривается точно такая же задача для уравнения с постоянными коэффициентами b0 = const в IJ односвязной области той же самой формы (сопутствующая задача):

q0 = -f(x), q0 = b0 0, 0 =,J, (x F ) I,I I IJ J J 0 = f1(y), q0n = f2(y). (y = 1 2) (26) I I При f(x) = 2, f1(y) = 0, f2(y) = 0, bij = Dij и 1 = исходная задача (25) описывает чистое кручение неоднородного стержня, а сопутствующая задача (26) описывает чистое кручение однородного стержня. Решение такой задачи было показано ранее. В этом случае напряжения при кручении моментом M однородного стержня будут следующие:

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»