WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

В пространстве L1[0; 3] построен пример двух аппроксимативно компактных линейных подпространств, алгебраическая сумма которых замкнута, но не аппроксимативно компактна.

В главе II исследуется связь между аппроксимативной компактностью и другими свойствами множеств.

Упоминавшуюся проблему существования выпуклого аппроксимативно компактного тела (актуальную для всех нерефлексивных пространств), удалось решить для пространств c0 и c.

В пространстве c0 рассмотрим множества Mk = {x = (x1, x2, 0, 0,...) : max{|x1|,..., |xk|} 1 + 21-k}, k = 1, 2,....

Положим M0 = conv Mk замыкание выпуклой оболочки объединения k=множеств Mk.

Теорема 2.1. Множество M0 является выпуклым аппроксимативно компактным телом в c0.

В пространстве c на основе множества M0 построен пример выпуклого неограниченного аппроксимативно компактного тела. Обозначим e = (1, 1, 1,...) c.

Теорема 2.2. Множество M = M0 + e аппроксимативно компактно в c.

В целом классе пространств с помощью выпуклого аппроксимативно компактного тела можно получить антипроксиминальную каверну.

Теорема 2.3. Пусть в банаховом пространстве X единичный шар B таков, что AC(B) = B. Тогда, если выпуклое тело M аппроксимативно компактно, то каверна X \ M антипроксиминальна.

Обратное, вообще говоря, неверно. Соответствующий пример построен в главе II в пространстве c0.

В пространстве c0 единичный шар удовлетворяет условию теоремы 2.3.

В результате для множества M0 получаем Следствие 2.1. Каверна для построенного в теореме 2.1 множества M0 c0 является антипроксиминальной.

Исследовался также вопрос о связи аппроксимативно компактных множеств с локально компактными множествами.

Определение. Подмножество M банахова пространства X называется локально компактным, если любая точка этого множества имеет некоторую окрестность, пересечение которой с M предкомпактно.

В произвольном бесконечномерном банаховом пространстве несложно построить локально компактное множество, которое не является аппроксимативно компактным. Для этого достаточно взять множество точек на единичной сфере, расстояние между любыми двумя из которых больше 1/2. Пример аппроксимативно компактного, но не локального множества удалось построить только в бесконечномерных сепарабельных пространствах. За основу построения взят пример аппроксимативно компактного множества из теоремы D.

Теорема 2.4. В любом бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве X существует аппроксимативно компактное, но не локально компактное множество.

В работах С.В.Конягина (1981, 1997) изучались категорный свойства множеств AC(M) точек аппроксимативной компактности. В настоящей работе исследовался вопрос о замкнутости/открытости множества AC(M).

Теорема 2.5. Пусть X банахово пространство. Для любого замкнутого множества M X множество AC(M) имеет тип G.

При этом нельзя утверждать, что для замкнутого M множество AC(M) всегда является замкнутым или открытым. В пространстве l1 построено подпространство Y коразмерности два, для которого AC(Y ) = l1 и за мкнуто. При этом удалось построить пример банахова пространства X и такого подпространства Y X, что AC(Y ) не замкнуто.

Метрическая проекция PM(x) на аппроксимативно компактное множество M компактна x. В описанном ранее классе (*) банаховых решеток обратное не верно: из компактности метрической проекции не следует аппроксимативная компактность множества.

Теорема 2.6. В любом банаховом пространстве X из класса (*) существует такое ограниченное не аппроксимативно компактное множество M, что метрическая проекция PM(x) непуста и конечна для любого x X.

Этот результат примыкает к проблеме Кли–Ефимова–Стечкина: в силу теоремы A эта проблема эквивалентна проблеме существования в l2 (*) не аппроксимативно компактного чебышевского множества.

В III главе исследуется аппроксимативная компактность линейных подпространств.

Теорема 3.1. Пусть X банахово пространство, Y X некоторое не аппроксимативно компактное подпространство. Тогда существу ет такой функционал f Y, что ядро Ker f не аппроксимативно компактно.

Следствие 3.1. Пусть Y подпространство в X, codim Y <. Для того, чтобы Y было не аппроксимативно компактно, необходимо и до статочно, чтобы существовал такой функционал f Y, что подпространство Ker f не аппроксимативно компактно.

В пространстве L1(M) = L1(M,, µ) с -конечной мерой µ атом ную часть меры µ представим в виде An, где {An} возможно, коn нечная, последовательность атомов. Обозначим an = f(IA )/µ(IA ), где n n f L(M). Порождаемый функцией f функционал достигает своей нормы в L1(M) в том и только том случае, когда функция f достигает своей нормы f = ess sup{|f(t)| : t M} на множестве положительной меры, которое обозначим m(f).

Теорема 3.2. Подпространство Y в L1(M) =L1(M,, µ) с codim Y < не аппроксимативно компактно тогда и только тогда, когда суще ствует функционал f Y, удовлетворяющий одному из условий:

1) µ(m(f)) = 0;

2) µ(m(f) An) = 0 n;

3) существует такая последовательность атомов {An }, что |an | k k f при k.

Формулировка этой теоремы была анонсирована В.И.Андреевым в 1975г. Поскольку в работах В.И.Андреева не удалось найти доказательство этого результата, в диссертации приведено собственное доказательство.

Следствие 3.2. Пусть подпространство Y является ядром функцио нала f l1 = l, f = (f1, f2,...). Тогда Y не аппроксимативно компактно тогда и только тогда, когда в последовательности {fi} имеется такая подпоследовательность {fi }, что |fi | f.

k k Приводятся также примеры бесконечномерных подпространств пространства l1 как аппроксимативно компактных, так и не аппроксимативно компактных, как конечной, так и бесконечной коразмерности.

В произвольном пространстве L1(M) выделен следующий класс аппроксимативно компактных подпространств.

Теорема 3.3. Пусть M = M1... Mk, µ(Mi Mj) = 0 при i = j и при этом множества Mj одинаковы в том смысле, что для всякого j существует взаимно-однозначное отображение fj : M1 Mj, сохраняюk щее меру µ. Пусть Y0 подпространство в l1. Представим множество M1 в виде K1 K2, где K2 атомная часть меры µ на M1. Тогда подпространство Y = {y L1(M) : (y(t), y(f2(t)),..., y(fk(t))) Y0 для п.в. t M1} не аппроксимативно компактно в L1(M) тогда и только тогда, когда k µ(K1) > 0 и подпространство Y0 не чебышевское в l1.

В отличие от пространства L1, в пространствах непрерывных функций нет собственных аппроксимативно компактных подпространств конечной коразмерности см. выше теорему C. Это свойство наследуется пространством аналитических функций с равномерной нормой.

Обозначим D = {z C, |z| 1} единичный круг в комплексной плоскости, CA(D) пространство функций f : D C, аналитических внутри D и непрерывных на D.

Теорема 3.4. В пространстве CA(D) нет собственных аппроксимативно компактных подпространств конечной коразмерности.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доценту Бородину Петру Анатольевичу за постановку задач, обсуждение и постоянную поддержку в работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Пятышев И.А. Пример выпуклого аппроксимативно компактного тела в пространстве c0 // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1 Матем. Мех. 2005. № 3. С.

57-59.

2. Пятышев И.А. Операции над аппроксимативно компактными множествами // Матем. заметки. 2007. Т. 82. № 5. С. 729-736.

3. Пятышев И.А. Пример ограниченного аппроксимативно компактного множества, не являющегося локально компактным // Успехи матем. наук. 2007. Т. 62, № 5. С. 163-164.

4. Пятышев И.А. Об аппроксимативно компактных множествах в банаховых пространствах // Международная летняя математическая школа С.Б.Стечкина по теории функций (Алексин, 2007). Издательство Тульского университета. С. 115-118.

5. Пятышев И.А. Пример выпуклого аппроксимативно компактного тела в пространстве c0 // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж. Изд-во Воронежского ун-та. 2005. С. 190-191.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»