WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО–МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.982.256 Пятышев Илья Алексеевич АППРОКСИМАТИВНО КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 01.01.01 математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: кандидат физико-математических наук, доцент Бородин Петр Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Балаганский Владимир Сергеевич, институт математики и механики Уральского отделения РАН, кандидат физико-математических наук Рютин Константин Сергеевич, МГУ имени М.В. Ломоносова

Ведущая организация: Московский физико-технический институт (государственный университет)

Защита диссертации состоится 26 декабря 2008 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан ” 26 ноября” 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор И. Н. Сергеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Пусть X линейное нормированное пространство, M непустое подмножество X, (x, M) := inf{ x - y : y M} расстояние от элемента x X до M, PM(x) = {y M : x - y = (x, M)} метрическая проекция элемента x на множество M. Оператор PM : x PM(x), вообще говоря, неоднозначен и определен не на всем X. В случае, если PM определен на всем пространстве X, M называется множеством существования, а если PM однозначен на своей области определения, то M называется множеством единственности. Если M является одновременно множеством существования и множеством единственности, то есть для любого x X в M существует ровно один элемент наилучшего приближения PM(x), то M называется чебышевским множеством.

Свойства множества быть множеством существования, единственности или чебышевским множеством относятся к числу основных аппроксимативных свойств.

Основными в теории приближения в нормированных пространствах являются задачи следующих типов:

1) получение геометрических, топологических и аналитических характеристик множеств M X, обладающих некоторым заданным аппроксимативным свойством в пространстве X, 2) описание линейных нормированных пространств X, в которых заданный класс множеств M X обладает заданным аппроксимативным свойством.

Теория приближений в нормированных пространствах берет свое начало в классической работе П.Л.Чебышева (1859), в которой, в частности, доказана чебышевость множества Pn алгебраических многочленов степени не выше чем n и множества Rmn рациональных функций со степенью числителя не выше m и степенью знаменателя не выше n в пространстве C[a, b] функций, непрерывных на отрезке [a, b]. В этой же работе П.Л.Чебышев описал оператор метрического проектирования на множества Pn и Rmn (теорема об альтернансе). В дальнейшем геометрические вопросы теории приближений в пространстве C изучались А.Хааром (1918), А.Н.Колмогоровым (1948), Е.Я.Ремезом (1953). Окончательное становление геометрической теории приближений произошло в конце 50х и в 60-е годы благодаря работам И.Зингера, В.Кли, Н.В.Ефимова и С.Б.Стечкина, В.И.Бердышева, Л.П.Власова, А.Л.Гаркави, Е.В.Ошмана, С.Я.Хавинсона, Д.Вульберта, Б.Крипке, Дж.Линденштраусса, П.Морриса, Т.Ривлина, У.Рудина, Р.Фелпса, Р.Холмса, Э.Чини и др. В дальнейшем существенный вклад в развитие геометрической теории приближений внесли В.С.Балаганский, С.В.Конягин, И.Г.Царьков, Л.Зайичек.

Значительная часть опубликованных работ по геометрической теории приближений группируется вокруг следующей проблемы Кли–Ефимова– Стечкина: доказать (или опровергнуть), что в гильбертовом пространстве любое чебышевское множество выпукло. Важную роль в этих исследованиях играет понятие аппроксимативной компактности, введенное в 1961 году Н.В.Ефимовым и С.Б.Стечкиным.

Пусть M некоторое подмножество банахова пространства X. Последовательность {yn} M называется минимизирующей для элемента n=x X, если yn - x (x, M) при n.

Определение (Н.В.Ефимов, С.Б.Стечкин, 1961). Множество M аппроксимативно компактно, если для любого x X всякая минимизирующая последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу из М.

Понятие аппроксимативной компактности не зависит от линейной структуры X и может рассматриваться в любом метрическом пространстве. Аппроксимативно компактное множество M замкнуто, а также является множеством существования.

Произвольное множество M в банаховом пространстве не обязано быть аппроксимативно компактным, но для него можно определить множество AC(M) = {x : минимизирующей последовательности {yn} M yn y M} точек аппроксимативной компактности.

k В связи с упомянутой проблемой была доказана Теорема A (Н.В.Ефимов, С.Б.Стечкин, 1961). Пусть X гладкое, равномерно выпуклое банахово пространство. Для того, чтобы чебышевское множество M X было выпукло, необходимо и достаточно, чтобы оно было аппроксимативно компактно.

В дальнейшем эта теорема обобщалась Л.П. Власовым.

После работы Н.В.Ефимова, С.Б.Стечкина аппроксимативно компактные множества и подпространства изучались многими авторами. Общая задача описания аппроксимативно компактных множеств в большинстве самых употребительных банаховых пространств не решена. В достаточно "хороших" пространствах X аппроксимативно компактными являются все выпуклые замкнутые множества. Такие пространства называются пространствами Ефимова-Стечкина.

Определение (И.Зингер, 1964). Банахово пространство X называется пространством Ефимова-Стечкина, если для любой последовательности {xn} X, xn = 1, из того, что f X, f = 1, f(xn) 1, следует существование у {xn} сходящейся подпоследовательности.

Теорема B (И.Зингер, 1964). Следующие условия эквивалентны:

1) X пространство Ефимова-Стечкина;

2) всякое выпуклое замкнутое множество в X аппроксимативно компактно;

3) всякая замкнутая гиперплоскость в X аппроксимативно компактна;

4) всякое слабо замкнутое множество в X аппроксимативно компактно.

Примерами пространств Ефимова-Стечкина служат пространства Lp, 1 < p <. В силу теоремы B задача описания выпуклых аппроксимативно компактных множеств содержательна для пространств, не являющихся пространствами Ефимова-Стечкина, в первую очередь для пространств L1, L и пространства C(K) функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте K.

Пусть Q бикомпакт, C(Q) пространство непрерывных вещественнозначных функций с нормой x = sup{|x(t)| : t Q}.

Теорема C (Л.П.Власов, 1980). Пусть Y собственное подпространство существования в C(Q), codim Y <. Тогда если бикомпакт Q бесконечен, то AC(Y ) = Y.

П.А.Бородина(2002) доказал, что в пространстве c нет бесконечномерных собственных аппроксимативно компактных подпространств, то есть пространство c является антиподом пространств Ефимова-Стечкина.

В III главе настоящей работы получен критерий аппроксимативной компактности для подпространств конечной коразмерности в произвольном банаховом пространстве, а также в некоторых функциональных пространствах.

Очевидно, если множество M ограниченно компактно (то есть его пересечение с любым замкнутым шаром является компактным), то оно аппроксимативно компактно. Обратное, вообще говоря, неверно.

Теорема D (П.А.Бородин, 1994). В произвольном бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве существует аппроксимативно компактное, но не ограниченно компактное множество.

В работе П.А.Бородина(1999) доказано, что в любом рефлексивном банаховом пространстве существует выпуклое ограниченное аппроксимативно компактное тело. Проблема существования (ограниченного) аппроксимативно компактного тела не решена ни для какого класса пространств более широкого, чем класс рефлексивных пространств, а также ни для какого из пространств L1[a, b], C[a, b], c.

В главе II настоящей работы построен пример ограниченного аппроксимативно компактного тела в пространстве c0, а также пример неограниченного аппроксимативно компактного тела в пространстве c.

Помимо описания аппроксимативно компактных подпространств и выпуклых множеств интересен вопрос об аппроксимативной компактности дополнений к выпуклым телам каверн. Л.П.Власов (1967) доказал, что в банаховом пространстве не существует аппроксимативно компактных и аппроксимативно выпуклых множеств вида X \ M, где M ограниченное множество (множество M называется аппроксимативно выпуклым, если для каждого x метрическая проекция PM(x) не пуста и выпукла).

В некотором смысле антиподом аппроксимативно компактным множествам являются антипроксиминальные множества, то есть такие множества M X, что PM(x) = для любого x M.

/ Антипроксиминальным множествам посвящены работы многих авторов. Наиболее яркие результаты получены В.С.Балаганским (1996, 1998).

Так, в любом пространстве C(Q), где Q бесконечный бикомпакт, существует антипроксиминальное ограниченное замкнутое выпуклое тело. В бесконечномерном пространстве X = L1(S,, µ) с -конечной мерой В.С.Балаганским доказано существование такого центральносимметричного антипроксиминального множества M, что X \ M выпукло и ограничено.

В главе II диссертации найдена связь между аппроксимативной компактностью выпуклого тела и антипроксиминальностью его каверны.

Цель работы.

Целью настоящей работы является исследование сохранения свойства аппроксимативной компактности при различных операциях над множествами, связей между аппроксимативной компактностью и другими свойствами множеств, описание аппроксимативно компактных подпространств в пространствах не являющихся пространствами Ефимова-Стечкина.

Научная новизна работы.

Все результаты диссертации являются новыми, получены следующие основные результаты:

1. в различных классах банаховых пространств построены примеры аппроксимативно компактных множеств с различными дополнительными свойствами, пересечение или алгебраическая сумма которых не являются аппроксимативно компактными;

2. построены примеры выпуклых аппроксимативно компактных тел в пространствах c0 и c;

3. в произвольном сепарабельном банаховом пространстве построен пример ограниченного аппроксимативно компактного, но не локально компактного множества;

4. в специальном классе банаховых решеток построен пример не аппроксимативно компактного множества существования с конечнозначной метрической проекцией;

5. доказано, что в пространстве CA(D) функций, непрерывных на замыкании единичного круга D и аналитических внутри D, нет собственных аппроксимативно компактных подпространств конечной коразмерности.

Методы исследования.

В работе применяются методы функционального анализа, теории приближений функций, геометрии выпуклых множеств.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в исследованиях по геометрической теории приближений в банаховых пространствах.

Апробация работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ под руководством проф. Е.П.Долженко (2004-2008), на семинаре по теории приближений в МГУ под руководством проф. И.Г.Царькова (2008), на семинаре по теории тригонометрических рядов в МГУ под руководством профессоров М.И.Дьяченко, Т.П.Лукашенко, М.К.Потапова и В.А.Скворцова (2008), в МФТИ на семинаре под руководством профессора Е.С.Половинкина (2008), на Воронежской зимней школе по теории функций (2005) и на школе С.Б.Стечкина по теории функций в г. Алексине (2007).

Работа поддержана грантом РФФИ, проект 08-01-00648а (руководитель профессор Е.П.Долженко).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав и списка цитированной литературы из 48 наименований. Общий объем диссертации страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ В главе I исследуется вопрос о сохранении свойства аппроксимативной компактности при различных операциях над множествами в банаховых пространствах. То, что объединение двух аппроксимативно компактных множеств аппроксимативно компактно, легко следует из определения.

Вопрос о пересечении сложнее: можно ли в произвольном банаховом пространстве взять два аппроксимативно компактных множества, пересечение которых не аппроксимативно компактно В общем случае эта задача не решена.

Скажем, что банахово пространство X (CLUR), если из x = xn = 1, x + xn 2 (n ), вытекает существование сходящейся подпоследовательности xn.

k Этот класс пространств более широк, чем равномерно выпуклые пространства. В произвольном бесконечномерном пространстве (CLUR) существуют два аппроксимативно компактных множества, пересечение которых не аппроксимативно компактно.

Другой вопрос это сохранение аппроксимативной компактности при операции алгебраической суммы над аппроксимативно компактными множествами. Она может давать незамкнутое множество, которое автоматически не аппроксимативно компактно.

Теорема 1.1. В любом бесконечномерном банаховом пространстве X существуют два аппроксимативно компактных множества, алгебраическая сумма которых является замкнутым, но не аппроксимативно компактным множеством.

В приведенном доказательстве оба множества не ограниченны. Привести пример с двумя ограниченными множествами удалось лишь в классе пространств (*), состоящем из банаховых решеток, порядок в которых определяется счетным симметрическим базисом с константой симметричности 1, с дополнительным условием строгой монотонности нормы относительно координат. Этот класс содержит все пространства lp, 1 p <, при этом он отличен от класса (CLUR).

Теорема 1.2. В банаховом пространстве X из класса (*) существуют ограниченные аппроксимативно компактные множества M1, M2, такие что пересечение M1 M2 не аппроксимативно компактно, алгебраическая сумма M1 + M2 замкнута и не аппроксимативно компактна.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»