WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

G. H. Hardy and J. E. Littlewood. The lattice points of a right-angled triangle. // Proc. London Math. Soc.

(2) 20, 1921. p. 15–36.

разобран случай прямоугольного треугольника на плоскости. Исследования в этой сфере продолжаются25.

Параграф 2.3.1 посвящен асимптотике числа квантовых пакетов с увеличением времени.

Определяем функцию N(T ) как число квантовых пакетов на графе к моменту времени T.

Пусть j это частота прохождения j-го ребра, то есть j = 1/tj.

Утверждение 8. Для звездного графа (состоящего из одной вершины валентности v и v вершин степени 1, которые соединены с первой) справедлива формула k Cv v- N(T ) = (v - k) W ( i (1T/2,..., kT/2)), k k=1 i=здесь W ( i ) это число точек целочисленной решетки, которые лежат на k i-ой грани k-мерного симплекса k, со сторонами 1T/2,..., kT/2.

Учитываются только грани старшей размерности, инцидентные началу координат.

Для почти всех значений t1,..., tv:

v-1 v-N(T ) = v-1(1,..., v)T + o(T ).

2v-1(v - 1)! Здесь k стандартный симметрический многочлен степени k.

Отметим, что для случая трех ребер можно26 явно выписать и второй член асимптотики, а именно:

1 N(T ) = 2(1, 2, 3)T + 1(1, 2, 3)T + o(T ).

8 Общую ситуацию описывает Теорема 2.2. В случае произвольного графа функция N(T ) представv-1 v-ляется в виде CT + o(T ). Здесь v максимальная степень вершин в графе.

Нужно отметить, что коэффициент при старшей степени может быть не равен сумме коэффициентов, соответствующих вершинам максимальной степени, если рассматривать их как вершины звездного графа. Например, справедливо следующее См., в частности, M. M. Skriganov. Ergodic theory on SL(n), Diophantine approximations and anomalies in the lattice point problem. // Invent. Math. 132, no. 1, 1998. p. 1–72.; Integer Points in Polyhedra Geometry, Number Theory, Algebra, Optimization, a Snowbird Conference Proceedings. // AMS, Contemporary Mathematics, vol. 374, Providence, 2005. 191 p.

используя результаты, изложенные в G. H. Hardy and J. E. Littlewood. The lattice points of a right-angled triangle. // Proc. London Math. Soc. (2) 20, 1921. p. 15–36.

Утверждение 9. Для графа, который состоит из двух вершин, соединенных v ребрами, справедливы формулы k Cv v- N(T ) = (v - k) W ( i (1T,..., kT )), k k=1 i=v-1 v-N(T ) = v-1(1,..., v)T + o(T ).

(v - 1)! Заметим, что если граф имеет сложную структуру, то задача выписывания формулы для старшего члена асимптотики становится значительно более трудоемкой. В каждом конкретном случае нужен перебор по всем подграфамдеревьям, в которых вершина максимальной валентности имеет степень на единицу меньше, чем в исходном графе. При этом, кроме вклада, который дает рассмотрение этой вершины как звездной (см. Утверждение 8), нужно учитывать количество квантовых пакетов, которые она “передает” другим вершинам максимальной валентности. Таким образом, на главный член асимптотики влияют: 1) время прохождения каждого из ребер в графе и 2) топологическая структура подграфа, связывающего вершины максимальной валентности.

В следующем параграфе (2.3.2) ставится вопрос о том, как можно описать распределение квантовых пакетов на геометрическом графе. Справедливо следующее утверждение:

Теорема 2.3. Рассмотрим граф, упомянутый в Утверждении 9, для случая v = 3 (он состоит из двух вершин a и b, соединенных 3 ребрами). Рассмотрим на одном из ребер отрезок cd, время прохождения которого равно.

Тогда, для почти всех27 t1, t2, t3, отношение числа квантовых пакетов на этом отрезке к числу квантовых пакетов на всем графе стремится к выражению Ncd(T ) 3 123.

N(T ) 2 12 + 13 + 23 t1 + t2 + tПолучается, что квантовые пакеты распределяются (при заданном потенциале и начальных условиях) равномерно по времени прохождения ребра.

Очевидно, что это не означает, что пакеты распределяются равномерно по пространственной координате.

Было проведено численное моделирование для конечных сетей. Для упомянутых графов значение старшего коэффициента асимптотики совпало с полученным теоретически.

См. M. M. Skriganov. Ergodic theory on SL(n), Diophantine approximations and anomalies in the lattice point problem. // Invent. Math. 132, no. 1, 1998. p. 1–72.

Последняя часть второй главы (2.4) посвящена распространению гауссовых пакетов на однородном дереве.

Рассматривается бесконечное дерево, у которого валентность всех вершин, кроме корневой, одинакова и равна v. Число, на единицу меньшее валентности, называем числом ветвления b. Предполагается, кроме того, что длина всех ребер одинакова и равна l. Потенциал одинаков для всех ребер (можем, для простоты, считать его нулевым). Соответственно, и время прохождения всех ребер будет одинаковым (обозначим его L). Дифференциальные операторы на подобных деревьях изучались, например, в работах М. З. Соломяка, А. В. Соболева28.

Можно рассмотреть задачу о распространении гауссовых пакетов на таком графе. Формулы, описывающие поведение пакетов в вершинах, приведены в одном из предыдущих разделов. Рассматриваем только самосопряженный случай. При этом в каждой вершине амплитуда делится в таком соотношении:

2/v для каждого прошедшего пакета и 2/v - 1 для отраженного. В корневой вершине требуем выполнения условия Дирихле.

Определение. Энергией на ребре называем следующую величину:

E = ||2dx.

j j Очевидно, что она определяется суммой квадратов амплитуд для пакетов, носители которых попали на ребро.

Легко описать изменение энергии при прохождении вершины графа. Например, для бинарного дерева (то есть, для случая b = 2) получаем, что 8/энергии проходит, а отражается 1/9. Суммарная энергия не меняется.

Пусть начальные данные имеют вид (4) и сконцентрированы на ребре, инцидентном корневой вершине. Возникает вопрос: вся ли энергия “уйдет на бесконечность” или будут ребра, на которых, в пределе при стремлении времени к бесконечности, энергия не будет стремиться к нулю Регулярность дерева делает задачу комбинаторной, так как все взаимодействия происходят только в фиксированные моменты времени вида t0 + nL, где L время прохождения ребра, а t0 время, за которое первый пакет достигнет вершины.

В разделе 2.4 явно указан вид состояния, которое переходит в себя через См., в частности статьи M. Z. Solomyak, A. V. Sobolev. Schrdinger operators on homogeneous metric trees: spectrum in gaps. // Rev. Math. Phys. 14, 2002. p. 421–468.; M. Solomyak. Laplace and Schrdinger operators on regular metric trees: the discrete spectrum case. // Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Amalysis, The Hans Triebel Anniversary Volume; D. Haroske, T.Runst, H.-J. Schmeisser (Ed.);

Birkhuser Verlag, 2003. p. 161–181 и ссылки в них.

время, равное 2L. Таким образом, получаем, что, если в качестве начальных условий выбрать, то энергия не “уходит на бесконечность”.

При начальных условиях, сосредоточенных на первом ребре, численное моделирование показывает, что для бинарного дерева доля энергии, которая осталась на начальном участке, стремится к 1/2. Отметим, что это значение соответствует проекции начальных данных на вектор. С увеличением числа ветвления доля энергии, которая остается на начальном участке графа, возрастает. При b = 3 оказывается, что остается 2/3, а b = 4 дает 3/(см. таблицу 1 в работе). Можно предположить, что для произвольного числа ветвления доля энергии составляет (b - 1)/b.

Третья глава посвящена квазиклассическим спектральным сериям оператора Шредингера, соответствующим неизолированным положениям равновесия.

Теория квазиклассического квантования29 позволяет сопоставлять инвариантным множествам гамильтоновой системы спектральные серии соответствующего квантового оператора. В параграфе 3.1 описана постановка асимптотической квантовой задачи.

На двумерной поверхности рассматривается оператор Шредингера с потенциалом, критические точки которого образуют замкнутую кривую. Введем, возможно локально, такие координаты r и на поверхности, что будет отсчитываться вдоль рассматриваемой кривой.

Классическая функция Гамильтона имеет вид H = gijpipj + V (r), если gij(r, ) метрика на рассматриваемой поверхности. Ясно, что кривая {{r,, pr, p}| V (r) = 0, pr = 0, p = 0} состоит из критических точек гамильтониана, то есть положений равновесия.

Стандартная конструкция30 для описания спектральных серий, соответствующих изолированным невырожденным положениям равновесия, неприменима в этой ситуации. Третья глава диссертации посвящена построению спектральных серий в рассматриваемом случае.

Оказалось, что асимптотическое mod O(h3/2) (такая точность является общепринятой в теории комплексного ростка) собственное значение “бесконечно вырождено”, то есть ему соответствует бесконечное множество асимптотических собственных функций. А именно, справедливо следующее Утверждение 10. Если взять = U()eiS/h, где S = i(r - r0)2, = См., например, В. П. Маслов, М. В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. / М.: Наука, 1976, 296 C.; В. П. Маслов. Комплексный метод ВКБ для нелинейных уравнений. / М.: Наука, 1977. 384 C.

См., например, В. П. Маслов. Комплексный метод ВКБ для нелинейных уравнений. / М.: Наука, 1977.

384 C.

V (r0), а U() произвольная гладкая финитная функция, то будет 8gасимптотической собственной функцией оператора H, r, -ih, -ih r с точностью до O(h3/2), причем асимптотическое собственное значение имеет вид g22V (r0) E = V (r0) + h.

Здесь r0 корень уравнения V (r) = 0.

Асимптотическое вырождение означает, что расстояние между точными собственными значениями, вообще говоря, o(h3/2). Ниже приводится утверждение, описывающее асимптотические спектральные серии с большей точностью.

Теорема 3.1. Пусть u0 гладкое решение уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами A()u () + B()u () + C()u0() = E2u0(), 0 где A(), B(), C() вычисляются по явным формулам, и пусть при E2 = E2n существует периодическое решение (то есть, E2n соответствующее собственное значение). Тогда квазиклассическое решение спектральной задачи для оператора Шредингера с точностью до O(h5/2) имеет вид:

g22V (r0) E = V (r0) + h + E2nh асимптотическое собственное число (n целое), = U(, r)eiS/h асимптотическая собственная функция.

u2() Здесь U = u0() + u1()(r - r0) + (r - r0)2 (где u1, u2 вычисляются по приведенным явным формулам, a S = i((r - r0)2 + 1(r - r0)3 + 2(r - r0)4).

Причем V (r0) =, 8gа 1 и 2 вычисляются по явным формулам.

Эти решения уже не являются вырожденными. Именно повышение порядка позволило разделить асимптотические решения, которые до этого совпадали с точностью до O(h3/2).

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А. И. Шафаревичу за постановки задач и постоянное внимание к работе, а также всему коллективу кафедры дифференциальной геометрии и приложений, под руководством академика РАН А. Т. Фоменко, за возможность плодотворно заниматься научной работой. Автор благодарит профессоров О. М. Касим-Заде, П. Б. Курасова, С. Ю. Доброхотова, Н. Г. Мощевитина за полезные обсуждения и ряд ценных замечаний.

Список литературы [1] Чернышев В. Л. Квазиклассический спектр оператора Шредингера на геометрическом графе. / В. Л. Чернышев, А. И. Шафаревич // Математические заметки, том 82, 4, 2007. С. 606–620.

Чернышеву В. Л. принадлежат точные формулировки и доказательства всех утверждений.

[2] Chernyshev V. L. Semiclassical Asymptotics and Statistical Properties of Gaussian Packets for the Nonstationary Schrodinger Equation on a Geometric Graph. / V. L. Chernyshev, A. I. Shafarevich // Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 15, No. 1, 2008, p. 25–34.

Чернышеву В. Л. принадлежат точные формулировки и доказательства всех утверждений.

[3] Чернышев В. Л. Асимптотические спектральные серии, соответствующие вырожденным многообразиям для редуцирования квантовой задачи двух тел на пространствах постоянной кривизны // в сб. Я. Г Синай, А. И. Шафаревич, Квантовый хаос. Москва-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Институт компьютерных исследований, 2008, С. 185206.

[4] Чернышев В. Л. Аналог правила квантования Бора-Зоммерфельда для геометрических графов. Описание ядер оператора Лапласа. // Современная математика и ее приложения, Том 54: Труды Международной конференции по динамическим системам и дифференциальным уравнениям, Суздаль 2006, Часть 2; Институт кибернетики Академии наук Грузии, Тбилиси, 2008. С. 23–38.

[5] Чернышев В. Л. Асимптотические решения дифференциальных уравнений на одномерных клеточных комплексах. // Образование через науку.

Тезисы докладов Международной конференции. Москва, 2005 г. М.:

МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005, С. 593.

[6] Чернышев В. Л. Свойства ядер оператора Лапласа на сети. // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы “Понтрягинские чтения - XVII”. Воронеж: ОАО “Центрально-Черноземное книжное издательство”, 2006. С. 195–196.

[7] Чернышев В. Л. Нестационарное уравнение Шредингера: статистика распространения гауссовых пакетов на геометрическом графе. // Международная конференция по диффернциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Владимир. Владимирский государственный университет, 2008. С. 254–255.

[8] Chernyshev V. L. Spectral properties and semi-classical asymptotics for Schrdinger equations on quantum grpahs. // Operator theory, analysis and mathematical physics, June 15-22, 2006, Book of abstracts. Centre for Mathematical Sciences, Lund, Sweden, 2006, p. 9–10.

[9] Chernyshev V. L. Dynamics and statistics of gaussian packets on a geometrical graph. // Operator theory, analysis and mathematical physics, 15-22 June, 2008, Abstracts. Stefan Banach International Mathematical Center, Poland, 2008, p. 5.

Pages:     | 1 | 2 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»