WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Ранее мы рассматривали ту часть спектра, которой соответствуют собственные функции, осциллирующие на ребрах. В этом параграфе речь идет о собственных значениях, соответствующих функциям, локализованным в одной точке и имеющим вид V (a)+O(h). Случай, когда решение сконцентрировано на ребре, не представляет для нас интереса, так как полностью описан в литеБ. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. Методы и приложения. Т.3:

Теория гомологий. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 288 С.

Н. Кристофидес. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, перевод с английского: редактор Г.Гаврилов, 1978. 432 С.

Например, при доказательстве теоремы 5.9 (стр.102) в книге Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л.

Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Шабров. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Изд-во “Физматлит”, 2004. 272 C.

ратуре13. Если решение локализовано в вершине графа, то верна следующая теорема.

Теорема 1.3. Пусть для потенциала V (x) в точке a выполнены следующие условия:

1) значения первых односторонних производных Vj (a) для каждого ребра равны нулю, 2) значения вторых односторонних производных Vj (a) совпадают и положительны.

Тогда существует асимптотическое собственное число:

V (a) E = V (a) + h + O(h3/2).

Другими словами, существует непрерывная на графе и гладкая на ребрах функция (x) такая, что: H(x) = E(x) + O(h3/2). Если рассматриваемый оператор является самосопряженным, то построенное E приближает точное собственное значение µ (расстояние между ними есть величина порядка O(h3/2)).

Этот вариант осцилляторного приближения не учитывает глобальную структуру графа.

Замечание. Старшая часть асимптотической собственной функции при выполнении условий Теоремы 1.3 имеет вид exp(S/h)c0 и не зависит, как и асимптотическое собственное значение с точностью до O(h3/2), от коэффициентов в условии трансмиссии. Но на следующие поправки это условие уже влияет. В частности, для получения приближения порядка O(h5/2) для собственных чисел нужно, дополнительно к условиям теоремы, потребовать, чтобы значения односторонних третьих производных Vj (a) совпадали по мо дулю, а их знаки удовлетворяли условию j sgn(Vj (a)) = 0.

j Параграф 1.6 посвящен описанию ядер оператора для случая нулевого потенциала, при действии на k-формы.

Рассмотрим оператор Лапласа (оператор Шредингера с нулевым потенциалом) на графе.

Для компактных гладких многообразий без края хорошо известна связь ядра оператора Лапласа, действующего на k-формах, с топологическими характеристиками многообразия14.

См., например, В. П. Маслов. Комплексный метод ВКБ для нелинейных уравнений. / М.: Наука, 1977.

384 C.

См., например, книгу Х. Цикон, P. Фрезе, Б. Саймон, В. Кирш. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, перевод с английского А. В. Соболева под редакцией Д. Р. Яфаева, 1990. 406 С. и ссылки в ней.

Естественно возникает вопрос: справедливы ли аналогичные свойства для стратифицированных множеств, в частности, для геометрических графов На него дают ответ приведенные ниже утверждения. Граф компактен. Функции предполагаются непрерывными. Кроме того, предполагается, что условия трансмиссии имеют вид условий Кирхгофа.

Утверждение 2. Размерность ядра оператора Лапласа, действующего на 0-формах, определенных на геометрическом графе, равна числу связных компонент графа, не содержащих висячих вершин (то есть, не имеющих края).

Далее отмечается, что условия трансмиссии не обязательно должны иметь вид условий Кирхгофа для того, чтобы ядро имело размерность, равную единице (для связного графа) почти для всех значений коэффициентов. Приводится соответствующий пример.

Затем рассматриваются 1-формы на геометрических графах. Речь идет только о сетях без висячих вершин.

Определение. На каждом ребре рассмотрим выражение вида fj(x)dx, и пусть в вершинах будет выполнено условие (j, a)fj(a) = 0, j(a) где (j, a) = 1, если ребро входит в вершину, и (j, a) = -1, если выходит. Такую совокупность будем называть 1-формой на графе.

Теперь определим лапласиан на 1-формах. Оператор Лапласа действует на 1-формы, для которых fj(x) гладкие функции на ребрах, удовлетворяющие краевым условиям (j, a)fj(a) = 0, j(a) здесь (j, a) = 1, если ребро входит в вершину, и (j, a) = -1, если выходит. На каждом ребре оператор задается соотношением = dd + dd.

Отметим, что на каждом ребре оператор Лапласа форме fj(x)dx сопоставля ет форму -fj (x)dx.

Утверждение 3. Для оператора Лапласа c натуральными условиями трансмиссии, на графе без висячих вершин, размерность ядра, при действии на 1-формы, равна первому числу Бетти.

Вторая глава посвящена квазиклассическим асимптотикам и статистическим свойствам гауссовых пучков для нестационарного уравнения Шредингера на геометрическом графе.

Глава разделена на три части. В первой (2.1) обсуждаются вводные замечания. Здесь рассматриваются свойства уравнения в частных производных (нестационарного уравнения Шредингера), пространственная переменная в котором меняется на геометрическом графе. Основной эффект “разветвления” пространства состоит в многократном отражении от вершин графа, что приводит к появлению нетривиальных статистических явлений. Особенно ясно такие свойства видны при описании гауссовых пакетов (изначально локализованных вблизи одной точки); мы строим соответствующие решения при помощи простейшего варианта комплексного ростка Маслова15.

Нужно отметить близость изучаемых вопросов к некоторым краевым задачам для гиперболических уравнений на сетях16.

Рассматриваются геометрические графы с конечным числом ребер и вершин. Допускаются ребра бесконечной длины, а также петли и кратные ребра.

Вторая часть главы (раздел 2.2) посвящена распространению квантовых пакетов на геометрическом графе.

Сперва, в параграфе 2.2.1, обсуждается известная схема построения решений в виде квазиклассических гауссовых пакетов на прямой. Рассматривается нестационарное уравнение Шредингера 2(x, t) (x, t) (3) -h2 + V (x)(x, t) = ih, x2 t где V гладкая функция (потенциал). Соответствующий гамильтониан имеет вид17: H = p2 + V (x, t).

Начальные условия выбираем в виде узкого пакета, локализованного при h 0 вблизи точки x0:

i(a(x - x0)2 + b(x - x0) + c) (x, 0) = K exp. (4) h Здесь b и c вещественные константы, а мнимая часть a больше нуля. K имеет вид K = h-1/4K1, K1 R. Нормировочный множитель h-1/4 введен для того, чтобы гарантировать (x, 0) = O(1) в норме пространства L2.

В. П. Маслов. Комплексный метод ВКБ для нелинейных уравнений. / М.: Наука, 1977. 384 C.

Прядиев В. Л. Описание решения начально-краевой задачи для волнового уравнения на одномерной пространственной сети через функцию Грина соответствующей краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. // Современная математика и ее приложения, Том 38: Труды Международной конференции по динамическим системам и дифференциальным уравнениям, Суздаль: 2004, Часть 3; Институт кибернетики Академии наук Грузии, Тбилиси, 2006. C. 82–95.; Н. В. Глотов, Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффициентах: дис.... канд. физ.-мат. наук.

Воронеж, 2007. 93 C.; Н. В. Глотов, В. Л. Прядиев. Описание решений волнового уравнения на конечном и ограниченном геометрическом графе при условии трансмиссии типа “жидкого” трения. // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2006. 2. С. 185–193; А. В. Копытин, В. Л. Прядиев. Об одном представлении решения волнового уравнения на сети. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2001. 313 C.

В. П. Маслов, М. В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.

/ М.: Наука, 1976, 296 C.

Решение строится с помощью двух гамильтоновых систем, одна из которых определяет распространение носителя пакета, а вторая является линеаризацией первой и рассматривается в комплексном пространстве (она определяет форму пакета). Точная формулировка и явная формула для решения приведены в Утверждении 4. Следом, в Утверждении 5 раздела 2.2.2, обсуждается случай полупрямой.

Далее, в Утверждении 6 в параграфе 2.2.3, описано решение для случая двух бесконечных лучей, сходящихся в одной точке.

В разделе 2.2.4 обсуждается ситуация пересечения трех бесконечных лучей.

В следующем параграфе (2.2.5) рассматривается граф, имеющий форму петли. Он представляет собой окружность с одной выделенной точкой, в которой заданы условия трансмиссии. Начальные условия заданы в некоторой другой точке x = x0. Сперва квантовый пакет, определенный начальными данными, достигнет вершины графа. После этого два квантовых пакета будут двигаться в противоположных направлениях (это, по сути, случай двух ребер, соединенных в одной вершине, разобранный ранее). Показано, что оба этих квантовых пакета вернутся в вершину графа в один и тот же момент, если потенциал не зависит явным образом от времени. Таким образом, на петле в каждый момент времени будет находиться не более двух квантовых пакетов.

Нормируем коэффициенты в условии трансмиссии, а именно, потребуем, чтобы 1 + 2 = 1.

Утверждение 7. Рассмотрим задачу Коши для нестационарного уравнения Шредингера на графе-петле. Тогда квазиклассическое решение будет представлять собой два гауссова пакета, движущихся на графе. Причем в момент отражения амплитуда того квантового пакета, который соответствует “волне”, “прошедшей” на первом шаге, равна, после n отражений, (2n1 - n + 1)(1,1), а амплитуда того, который соответствует “отраженной волне”, равна (2n1 - n)(1,1).

Раздел 2.2.6 посвящен описанию распространения пакетов в случае произвольного геометрического графа. На каждом ребре это делается с помощью комплексного ростка Маслова (то есть, при помощи нахождения решений гамильтоновой системы и ее линеаризации). А для описания поведения в вершинах графа достаточно рассмотреть случай звездного графа.

Обобщая приведенные в разделе 2.2 рассуждения, можно сформулировать следующее утверждение.

Теорема 2.1. Дан звездный граф, причем валентность единственной вершины a равна n. Пусть начальные данные имеют вид (4), где точка x0 лежит на одном из ребер. Тогда решение задачи (x, t) H(x, t) = ih + O(h3/2) t представляет собой, в любой конечный момент времени, сумму конечного iSj(x,t) числа квантовых пакетов, то есть функций вида exp j(t), где Sj = h j j j j S0(t)+(x-xj(t))S1 +S2(x-xj(t))2, Im S2 > 0. Говоря точнее, пришедший в вершину a пакет разделяется на n пакетов, бегущих по инцидентным вершине ребрам. На каждом из ребер решение определяется гамильтоновой системой обыкновенных дифференциальных уравнений и ее линеаризацией18. Причем начальные значения для амплитуд определяются следующими формулами.

Для отраженного квантового пакета:

1 - 2 - · · · - n (1,2)() = (1,1)().

(5) 1 + 2 + · · · + n Для прошедших квантовых пакетов:

(k,1)() = (1,1)(), (6) 1 + 2 + · · · + n где k = 2,..., n.

Здесь момент времени, когда исходный пакет пришел в точку a.

Если стоящий в левой части оператор H является самосопряженным, то это решение отличается от точного решения нестационарного уравнения Шредингера не более, чем на O(h1/2).

Таким образом, квазиклассическое решение задачи Коши в любой конечный момент времени будет представлять собой конечное количество гауссовых пакетов, движущихся на геометрическом графе.

Замечание. Случай 1 + 2 + · · · + n = 0 отвечает несамосопряженному оператору и не имеет физического смысла. Доказано19, что спектр соответствующего оператора заполняет всю комплексную плоскость.

Нужно отметить схожесть выражений (5) и (6) и формул, полученных для случая гиперболического уравнения20.

Третья часть второй главы (2.3) посвящена статистике распространения гауссовых пакетов.

В работе указан явный вид этих систем.

М. Г. Завгородний. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе. // Доклады АН, том 335, 3, 1994. C. 281–283.

Ю. В. Покорный, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских. Волновое уравнение на пространственной сети. // Докл. РАН. Т. 388, 1. 2003. С. 16–18.

Как было доказано в предыдущем разделе, квазиклассическое решение задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера с начальными условиями вида (4) имеет вид (x, t) + O(h1/2), где (x, t) конечная сумма гауссовых пакетов. В указанном разделе рассматривается асимптотика функции (x, t) при t, а именно, изучается, как меняется со временем число квантовых пакетов. Заметим, что эта задача отличается от задачи описания асимптотики решения уравнения Шредингера при t, так как оценка остатка справедлива только на конечных временах. С физической точки зрения это означает, что мы рассматриваем времена больш но много меньшие, ие, чем 1/h.

В этом разделе изучаются только конечные графы с компактными ребрами. Условия трансмиссии в вершинах берутся такими, чтобы оператор Шредингера был самосопряженным (см. первую главу диссертации). В этом случае из формул (5) и (6) следует, что в вершинах степени 2 число квантовых пакетов не меняется (так как у отраженного квантового пакета нулевая амплитуда). Графы, в которых нет вершин степени 2, будем называть чистыми21. До конца третьей части рассматриваются только такие графы.

Кроме того, из формул (5) и (6) следует, что если квантовый пакет проходит вершину степени v, то при этом образуется ровно v новых квантовых пакетов.

Далее вводится величина tj время прохождения квантовым пакетом j-го ребра. Во второй части главы показано, что время прохождения определяется решениями гамильтоновой системы, при данных начальных условиях.

Предполагаем, что tj линейно независимы над полем Q (ситуация общего положения).

В третьей главе используются некоторые теоретико-числовые утверждения, связанные с подсчетом количества точек с целыми координатами, которые попадают в расширяющийся полиэдр. Результаты в этой области существенно зависят от того, рациональны или нет координаты вершин полиэдра.

К рациональному случаю относятся результаты, связанные с полиномами (и квазиполиномами) Эрхарта22 и обобщающие теорему Пика. Работа в этой области активно ведется в настоящее время23. Результаты, относящиеся к случаю иррациональных координат, восходят к работе Харди и Литтлвуда24, где P. Kurasov, M. Nowaczyk. Inverse spectral problem for quantum graphs. // J. Phys. A: Math. Gen. 38, 2005. p. 4901–4915.

E. Ehrhart. Sur les polydres rationnels homothtiques n dimensions. // C. R. Acad. Sci. Paris 254, 1962.

p. 616–618.

См., в частности, статью A. Barvinok. Computing the Ehrhart quasi-polynomial of a rational simplex. // Mathematics of Computation, 75, 2006. p. 1449–1466 и ссылки в ней.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»