WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 514.8 Чернышев Всеволод Леонидович Квазиклассические асимптотики в спектральных задачах и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах.

Специальность 01.01.04 геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор А. И. Шафаревич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент А. В. Боровских (Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова);

кандидат физико-математических наук А. А. Васильев (Институт космических исследований Российской Академии Наук)

Ведущая организация: Белгородский государственный университет.

Защита диссертации состоится 21 ноября 2008 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, д. 1, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 20 октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор А. О. Иванов

Общая характеристика работы

.

Актуальность темы.

Работа посвящена описанию квазиклассического приближения для уравнений квантовой механики, соответствующего сингулярным множествам, в частности, построению квазиклассической теории на геометрических графах.

Теория дифференциальных уравнений и краевых задач на геометрических графах интенсивно развивается в последние десятилетия. Дифференциальные уравнения на пространственных сетях используются при моделировании различных задач естествознания: колебаний упругих сеток, процессов в сетях волноводов, состояний электронов в молекулах и других.

Большую часть работ в этой области условно можно разделить на два направления. Первое из них связано с применением методов теории операторов, теории самосопряженных расширений. Такой подход одним из первых использовал Б. С. Павлов, вместе с соавторами, в 80-х годах1. В настоящее время в этой области активно работают П. Экснер, О. Пост, П. Курасов, У. Смелянский2 и многие другие. Например, исследована обратная спектральная задача, получена формула следа. Второе направление связано с получением аналогов классических результатов теории дифференциальных уравнений для случая геометрических графов. В частности, исследовались спектральные и качественные свойства решений краевых задач, построена теория неосцилляции, изучалась функция Грина, активно исследуются волновые процессы на графах. Здесь можно отметить работы Ю. В. Покорного, О. М. Пенкина, В. Л. Прядиева, А. В. Боровских, К. П. Лазарева3 и других.

Возрос интерес к уравнениям Шредингера на сетях. Произошло это в связи с тем, что квантовые системы могут описываться тонкими многообразиями, которые в пределе стягиваются к графам4.

Для волнового уравнения на геометрическом графе (а точнее, на декартовом произведении графа и R) при гладких условиях трансмиссии получены аналоги формулы Даламбера, и для некоторых классов геометрических графов описаны профили прямой и обратной волн (F. Ali-Mehmeti5;

См., в частности, статью Н. И. Герасименко, Б. С. Павлов. Задача рассеяния на некомпактных графах.

// Теоретическая и математическая физика, том 74, 3, 1988. C. 345–359.

См., в частности, обзор P. Kuchment. Graph models of wave propagation in thin structures. // Waves in Random Media. V. 12, 4, 2002. p. 1–24 и ссылки в нем.

См., в частности, книгу Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Шабров. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Изд-во “Физматлит”, 2004.

272 C. и ссылки в ней.

См., в частности, P. Exner, O. Post. Convergence of spectra of graph-like thin manifolds. // J. Geom. Phys.

54, 2005. p. 77–115.

F. Ali-Mehmeti. Nonlinear waves in networks. // Mathematical Research. 1994. V. 80. 174 p.

Ю. В. Покорный, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, А. В. Копытин, серия работ 1999-2003; C. Cattaneo, L. Fontana6).

Исследовано гиперболическое уравнение на геометрическом графе, которое на ребрах этого графа имеет вид одномерного волнового уравнения, а в вершинах имеет особенность типа -функции при младшей производной по времени7.

Цель работы.

Целью диссертационной работы является описание поведения квазиклассических решений уравнения Шредингера на сингулярных множествах. Основное внимание уделено случаю геометрических графов.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, топологии, дифференциальной геометрии, теории графов, линейной алгебры, теории уравнений математической физики.

Научная новизна.

Получен алгоритм построения правил квантования (обобщающих известные правила квантования Бора-Зоммерфельда) для случая геометрических графов. Описаны ядра оператора Лапласа, действующего на k-формах, определенных на сети. Кроме того, найдены асимптотические собственные значения, соответствующие собственным функциям, локализованным в вершине графа.

В квазиклассическом приближении описано распространение гауссовых пакетов на графе, в начальный момент локализованных в одной точке. Основное внимание уделено статистике поведения асимптотических решений при стремлении времени к бесконечности. Показано, что подсчет числа квантовых пакетов на графе связан с известной теоретико-числовой задачей нахождения числа целочисленных точек в расширяющемся симплексе. Получены явные формулы для старшего члена асимптотики в некоторых важных частных случаях.

Таким образом, построена квазиклассическая теория для уравнений квантовой механики, заданных на геометрическом графе.

Кроме того, рассматривается двумерная поверхность и оператор Шредингера на ней. Предполагается, что критические точки потенциала образуют на поверхности некоторую кривую, гомеоморфную окружности. Для оператора Шредингера найдены соответствующие спектральные серии с точC. Cattaneo, L. Fontana. D’Alambert formula on finite one-dimensional networks. // J. of Math. Anal. and Appl. V. 284, N 2, 2003. p. 403–424.

Н. В. Глотов, Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффициентах: дис.... канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 2007. 93 C.

ностью до O(h5/2).

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием теории квазиклассического приближения и позволяют описывать асимптотические решения для широкого класса задач. Они могут быть использованы в математической физике и теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались • на кафедральном семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений под руководством академика РАН А. Т. Фоменко, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва, 2008;

• на семинаре профессора Г. Книпера в Рурском университете Бохума, Бохум, Германия, 2004;

• на Воронежской весенней математической школе “Понтрягинские чтения - XVI”, Воронеж, 2005;

• на международном симпозиуме “Образование через науку”, МГТУ имени Н. Э. Баумана, Москва, 2005;

• на международной конференции “Дни Дифракции”, ПОМИ РАН, СанктПетербург, 2006;

• на международной конференции “Теория операторов, анализ и математическая физика” (OTAMP-2006), Лундский университет, Лунд, Швеция, 2006;

• на международной конференции “Дифференциальные уравнения и динамические системы”, Суздаль, 2006;

• на международной конференции “Теория операторов, анализ и математическая физика” (OTAMP-2008), Центр имени Банаха ПАН, Бедлево, Польша, 2008;

• на международной конференции “Дифференциальные уравнения и динамические системы”, Суздаль, 2008.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в девяти работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1–9].

Структура работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 78 страницах, содержит 11 иллюстраций и одну таблицу. Библиография включает 46 наименований. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и пункта.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обсуждается актуальность диссертации, ее научная новизна.

Кроме того, в нем приводится краткий обзор результатов работы.

Первая глава посвящена квазиклассическим асимптотикам в спектральных задачах для стационарных уравнений Шредингера на геометрических графах.

В параграфе 1.1 обсуждаются некоторые вводные замечания.

В параграфе 1.2 речь идет о том, что такое геометрический граф. В отличие от графа топологического, в котором ребро представляет собой просто отношение между вершинами, в геометрическом графе ребро это некоторая кривая.

Вводится оператор Шредингера на сети. Делается это стандартным8 образом. Пусть V произвольная, непрерывная на и гладкая на ребрах функция, принимающая действительные значения. Тогда оператор Шредингера d2(x) H = -h2 + V (x)(x) dxN определен на множестве функций из пространства Соболева H2(j), j=удовлетворяющих следующим граничным условиям в вершинах:

1. функция непрерывна на ;

2.

dj j (am) = 0, j R, m = 1, 2,..., M - K (1) dx j(am) во всех внутренних вершинах (то есть в вершинах валентности большей, чем единица);

3. (am) = 0 во всех внешних (висячих) вершинах, то есть в вершинах валентности один.

См., в частности, книгу Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Шабров. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Изд-во “Физматлит”, 2004.

272 C. и ссылки в ней.

Второе условие называется условием трансмиссии.

Далее рассматриваются некоторые специальные виды условий трансмиссии.

Определение. Будем говорить, что условия трансмиссии имеют вид условий Кирхгофа, если все коэффициенты в условиях трансмиссии входят со знаком “плюс”, когда ребро из вершины выходит, и со знаком “минус”, когда, наоборот, ребро входит в вершину. Если, кроме того, в каждой вершине значения коэффициентов равны между собой по модулю, такие условия называются натуральными.

Затем рассматривается, в каких случаях оператор Шредингера будет самосопряженным и будет иметь дискретный спектр. В частности, оператор заведомо самосопряжен, если условия трансмиссии являются натуральными.

В первой главе рассматриваются только компактные графы.

В параграфе 1.3 изложен алгоритм построения правил квантования, обобщающих правила квантования Бора-Зоммерфельда.

Граф деформируется (на нем отмечаются точки поворота и удаляются куски, для которых < V (x)), а потом по нему выписывается матрица размера 2N - K на 2N - K (здесь N количество ребер в графе, K число висячих вершин). Коэффициенты зависят от интегралов вида j = - Vj(y)dy, h j где j ребро графа, а Vj(x) потенциал, ограниченный на j-ое ребро.

Равенство определителя этой матрицы нулю (2) и будет аналогом правила квантования.

det(A()(2N-K)(2N-K)) = 0. (2) А именно, справедлива Теорема 1.1. Если = O(1) корень уравнения (2), то тогда существует функция (x) (порядка O(1)) из области определения оператора H такая, что H(x) = (x) + O(h2). То есть является точкой h2-псевдоспектра оператора H.

Нас интересует вопрос о том, когда найденное нами приближает точ ное собственное значение оператора H. Это будет так в том случае, когда оператор является самосопряженным.

Определение. Под “преобразованием оператора на графе в самосопряженный” понимается такая замена параметризации на графе, которая делает определенный в разделе 1.2 оператор самосопряженным.

Перемычкой мы называем ребро, которое удаляется из базисного цикла в графе в процессе получения остовного дерева.

E. Davies. Pseudospectra of differential operators. // J.Oper.Theory, 43, 2000. p. 243–262.

Первым числом Бетти 1() геометрического графа будем называть ранг первой группы гомологий для соответствующего клеточного комплекса10. Хорошо известно11, что для графа первое число Бетти (его еще называют цикломатическим числом) равно N - M + P. Здесь N количество ребер, M количество вершин, P число связных компонент графа.

Утверждение 1. Оператор H, определенный на дереве, всегда может быть преобразован в самосопряженный.

Замечание. Для того, чтобы оператор H, определенный на произвольном графе, можно было преобразовать в самосопряженный, достаточно, чтобы были выполнены 1() условий.

Отметим, что возможность привести задачу к эквивалентной самосопряженной отмечалась и в других работах12, но там используется умножение уравнения на каждом ребре на подходящую константу, что не позволяет сохранить глобальную непрерывность функции V (x).

Справедлива Теорема 1.2. Если корень уравнения (2), и оператор может быть преоб разован в самосопряженный, то существует собственное число µ оператора H такое, что - µ = O(h2) (то есть является асимптотическим собственным числом).

Следствие. Для случая, когда рассматриваемый граф дерево, наш ал горитм всегда дает приближение к точке настоящего спектра оператора H.

Параграф 1.3 посвящен доказательству теоремы 1.1. В этом рассуждении используется, кроме прочего, частный случай применения канонического оператора Маслова.

В параграфе 1.4 разобрано несколько примеров применения алгоритма.

Среди них граф K1,3 с новыми вершинами.

Асимптотические собственные значения, соответствующие собственным функциям, локализованным в вершине графа, обсуждаются в параграфе 1.5.

Pages:     || 2 | 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»