WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Далее рассмотрен пример ЛНС (11) 0 ga + cost N1(t) = E, N2 =,, N3(t) = -g 00 a + cost который демонстрирует существенное отличие нестационарных систем от стационарных: в стационарных консервативных системах введение гироскопических сил не нарушает устойчивости, а при четной степени неустойчивости в некоторых случаях может быть обеспечена гироскопическая стабилизация. В системе с потенциальными нестационарными силами введение стационарных гироскопических сил может привести как к сохранению свойств устойчивости и неустойчивости, так и к гироскопической стабилизации или к гироскопической дестабилизации.

В п. 2.1.3 рассмотрены «почти приводимые» системы 2-го порядка (11), в которых Ni (t) = Ni (t) + Ri (t, ), (14) где – мало, Ri(t, ) – ограничены, а матрицы Ni (t) удовлетворяют условию (12).

Для таких «почти приводимых» систем сформулированы и доказаны утверждения, аналогичные теоремам Беллмана, определяющим достаточные условия устойчивости для ЛНС с почти постоянной матрицей. А именно, ЛНС (11) будет устойчива, если устойчива стационарная система (13) и сходятся интегралы Ri (, ) d < ; ЛНС (11) будет асимптотически устойчива, если асимптотически устойчива стационарная система (13) и Ri (t, ) 0 при t.

В третьей главе рассматриваются механические задачи, математическими моделями которых являются линейные нестационарные системы, интегрируемые в замкнутой форме или близкие к интегрируемым.

В разделе 3.1 рассматривается задача о колебаниях электроверетена (о колебаниях опоры вала). Электроверетено представляет собой неуравновешенный вал, вращающийся на двух подшипниках внутри корпуса опоры. Опора стоит на трех упругих амортизаторах, закрепленных на неподвижном основании. При вращении вала с большой угловой скоростью корпус опоры колеблется.

Малые колебания корпуса опоры описываются ЛНС 2-го порядка с периодическими коэффициентами N1(t)x + N2(t)x + N3(t)x = 0, (15) 1+ sin2 t sin 2 t sin 2t -2sin2 t 2 N1 =, N2 =, N3 = E.

sin 2 t 1+ cos2 t 2cos2 t -sin2t T Здесь x =, и – углы отклонения от вертикали оси симметрии корпуса (, ) опоры, – угловая скорость вращения вала, – собственная частота колебаний корпуса опоры, – безразмерный положительный малый параметр.

Задача ранее исследовалась в работе5 на основе теории параметрического резонанса. В предположении малости некоторых параметров там была построена область неустойчивости в пространстве параметров задачи:

3 (1- ) + O( ) < < (1- ) + O( ) (область (3.7) на Рис. 2).

Рис. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. - 328 с.

В работе показано, что система (15) принадлежит к специальному классу, и для нее указано преобразование Ляпунова, приводящее систему к стационарной M y + G y + K y = 0, 1 0 0 - 2 M = 0 1+, G =, K = -2 0 - 2(1- ) Из анализа необходимых и достаточных условий устойчивости стационарной системы получена точная область неустойчивости (область (3.6) на Рис.2) < < 1-, которая не совпадает с указанной выше областью. Численное моделирование подтвердило корректность полученных в работе результатов:

неограниченный рост решений имеет место только в области (3.6).

В разделе 3.2 исследуется устойчивость стационарного движения космического аппарата с двойным вращением. Космический аппарат с двойным вращением представляет собой свободную систему, состоящую из двух несимметричных тел, вращающихся вокруг общей оси. При этом одно из тел вращается относительно другого с постоянной относительной скоростью.

Составлены уравнения движения системы, которые допускают частное решение, представляющее собой вращение обоих тел вокруг общей оси с разными постоянными угловыми скоростями. В линеаризованных в окрестности этого решения уравнениях возмущенного движения выделяется подсистема относительно возмущений проекций угловой скорости на оси, ортогональные оси совместного вращения. Эта система представляет собой «почти приводимую» ЛНС с периодическими коэффициентами:

1+ + cos2 sin dx M1( ) = M2( )x, M1 = d sin 2 1- - cos 2r - r sin 2 -1+ r( -1) - 2r - r cos ( ) ( ) M2 = 1- r +1 - 2r r cos - 2r - r sin ( ) ( - ) ( ) Малым параметром является мера несимметричности одного из тел, характеризуемая приведенной разностью моментов инерции относительно осей, ортогональных оси вращения. Декомпозиция типа (7) коэффициентов ЛНС на интегрируемую и малую составляющие такова:

M1 = + M12, M2 = M21 + M M( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Невозмущенная ( = 0) система принадлежит к специальному классу (3), следовательно, интегрируема; для нее получены необходимые условия устойчивости. При > 0 в окрестности некоторых значений частоты относительного вращения двух тел возможен параметрический резонанс. Для этого случая найдены поправки 1 к характеристическим показателям ( ) системы с точностью до членов первого порядка малости по :

r 1+ r - 2r () ( ) = 0 + 1 +..., 1 =±, 2 r - r 1- ( ) ( ) и определены области неустойчивости в пространстве параметров, (см. Рис. 3).

Рис. -3 -2 - В разделе 3.3 рассмотрена двухканальная гироскопическая следящая система с модуляцией и одним безынерционным каналом переменного тока.

Уравнения движения такой системы при отсутствии случайных воздействий получены в работе Ю.Г. Бондарос:

+ k0 = -u(t)sint, - k0 = u(t)cost Здесь и – углы, определяющие положение оси гироскопа; – угловая скорость вращения ротора гироскопа; k0 – относительный кинетический момент, k0 = const > 0; u(t) – управляющий момент, выражение для которого принято в виде u(t) = 2k2 cost - sint + 2k1 cost + sint, ( ) () где постоянные коэффициенты k1 и k2 подлежат выбору.

Такую ЛНС можно записать в виде системы 2-го порядка специального класса (11) N1(t)x + N2(t)x + N3(t)x = 0, где x = (, )T, N1(t) = E, -k2 1-cos2t k0+k2sin2t sin 2t 1- cos2t () N2 =, N3 = k1 cos2t - sin 2t.

-1() -k +k2 sin2t -k2 1+cos2t Для этой системы приведено преобразование Ляпунова, приводящее ее к стационарной системе. Получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости: k2 < 0, 0 < k1 <-k0k2 при k0 1 и k0 2 ; при k0 = 1 или k0 = 2 система будет просто устойчива.

В разделе 3.4. рассматривается задача о пространственном гирогоризонткомпасе, уравнения малых колебаний которого в рамках прецессионной теории гироскопов, представляют собой ЛНС вида 0 0 0 (t) -0 0 (t), x = A(t)x, A(t) = (16) 0 -(t) 0 - -(t) 0 0 где переменными x = x1, x2, x3, x4 T обозначены следующие величины:

() x1 = V (t) gR 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 2Bsin0 ml gR 4 ; i – углы, () ( ) определяющие ориентацию осей чувствительности элемента в некоторой неподвижной системе координат; V (t) – величина абсолютной скорости точки подвеса гирогоризонткомпаса; (t) –проекция абсолютной угловой скорости чувствительного элемента гироскопа на вертикаль; 0 = g / R – частота Шулера;

m, l, 0, B – величины, связанные с параметрами конструкции гирокомпаса.

Эти уравнения были получены в работе А.Ю. Ишлинского и решены при помощи метода «комплексной компрессии», а их приводимость была исследована в работе В.Н. Кошлякова. Такая ЛНС является функционально-коммутативной системой (2), которая преобразуется к стационарной. При наличии диссипативных сил система (16) уже не является функционально-коммутативной, но может быть рассмотрена как «почти приводимая». Устойчивость этой ЛНС исследована в разделе 3.4. методами, изложенными во второй главе, а также при помощи функции Ляпунова, построенной для нестационарной системы.

В заключении кратко сформулированы основные результаты работы:

1. Сформулированы и доказаны принципиальные утверждения о том, что в пространстве параметров ЛНС с периодическими коэффициентами специального и функционально-коммутативного классов число областей устойчивости и неустойчивости конечно.

2. Предложен новый подход к анализу устойчивости ЛНС, основанный на декомпозиции матрицы коэффициентов на две части, одна их которых соответствует ЛНС, интегрируемой в замкнутой форме, а другая является малой.

Применение предлагаемого метода оказывается более эффективным, так как информация о динамическом объекте, содержащаяся в коэффициентах исходной матрицы, используется более полно, и полученное заключение об устойчивости является более точным.

3. Рассмотрен класс систем второго порядка, приводимых к стационарным системам при помощи конструктивного преобразования. Для таких систем исследование устойчивости проводится на основании анализа характеристического уравнения стационарной системы или при помощи теорем Кельвина-Четаева и их обобщений. Для систем, близких к приводимым, сформулированы и доказаны утверждения аналогичные известным теоремам для систем с почти постоянной матрицей коэффициентов.

4. В рассмотренных механических задачах применение предложенных методов позволило получить новые результаты:

1) в задаче о колебаниях опоры вала получены точные области устойчивости и неустойчивости;

2) в задаче о движении космического аппарата с двойным вращением получены аналитические выражения для границ областей устойчивости и неустойчивости;

3) в задаче о движении гирогоризонткомпаса исследовано влияние диссипативных сил и получены достаточные условия устойчивости.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. В.М.Морозов, В.И.Каленова, П.М.Соболевский. Об устойчивости нестационарных механических систем специального класса// Труды IX Междунар. Четаевской конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Иркутск. Т.2. С. 101-107.

2. В.И.Каленова, В.М.Морозов, П.М.Соболевский. Об устойчивости механических систем определенного класса. ПММ. Т.72. Вып.8. 2008. С. 251259.

3. В.И.Каленова, В.М.Морозов, П.М.Соболевский. К вопросу об исследовании линейных нестационарных систем. Вестник МГУ. 2009. №1 С. 51-61. (в печати).

4. В.М.Морозов, П.М.Соболевский. К задаче об устойчивости стационарного движения спутника с двойным вращением. Сборник трудов «Пятый международный аэрокосмический конгресс IAC'06». Информ. № 0320702706.

2007. С.242-244.

5. В.И.Каленова, В.М.Морозов, П.М.Соболевский. Об устойчивости многомерных нестационарных линейных систем второго порядка.

Международная конф. по механике и баллистике «Шестые Окуневские чтения». Материалы докл. Т.1. Санкт-Петербург: Балт. гос. техн. ун-т. 2008.

С. 124-126.

6. В.М.Морозов, В.И.Каленова, П.М.Соболевский. Устойчивость нестационарных динамических систем определенного класса. // Тез.докл.

международн. конгресса «Нелинейный Динамический Анализ-2007» СанктПетербург. 2007. С. 155.

7. В.М.Морозов, В.И.Каленова, П.М.Соболевский. Многомерные нестационарные системы второго порядка и их приложения в механике. Тез.

докл. Устойчивость, управление и динамика твердого тела. Донецк. 2008.

С. 69-70.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»