WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

СОБОЛЕВСКИЙ ПЕТР МИХАЙЛОВИЧ ЛИНЕЙНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Специальность 01.02.01 – Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2008

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор В.М.Морозов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.И. Матасов кандидат физико-математических наук В.В. Чугаев

Ведущая организация: Вычислительный центр имени А.А. Дородницына Российской Академии Наук

Защита состоится 19 декабря 2008 года в 16:30 на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механикоматематического факультета МГУ.

Автореферат разослан 19 ноября 2008 года.

Ученый секретарь доцент диссертационного совета Д 501.001.22 В.А. Прошкин 2

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи механики приводят к необходимости исследования нелинейных нестационарных систем и их линеаризованных моделей. Для успешного решения этих задач необходимы эффективные, удобные в применении методы исследования процессов, протекающих в линейных нестационарных системах (ЛНС). Поэтому актуальным является разрабатываемое в диссертационной работе направление исследования ЛНС, состоящее в выделении таких классов ЛНС, которые, во-первых, допускают более глубокое исследование, во-вторых, имеют практическое применение в задачах механики.

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию вопросов интегрируемости в замкнутой форме, приводимости и устойчивости линейных нестационарных систем первого и второго порядков определенных классов и рассмотрению их приложений к ряду задач механики.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми, ранее неизвестными. Предложен новый подход к анализу устойчивости ЛНС.

Сформулировано и доказано утверждение о конечном числе областей устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров линейной системы с периодическими коэффициентами, относящейся к специальному или коммутативному классу. При исследовании устойчивости в рассмотренных механических задачах получены новые аналитические результаты.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы являются строго обоснованными.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при изучении вопросов устойчивости программных движений различных механических объектов, линеаризованные модели которых описываются линейными нестационарными системами.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

– Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их применения». Санкт-Петербург. СПбГТУ. 2000 г.

– The Third International Conference «Tools for mathematical modeling». СанктПетербург. 2001 г.

– XXVI академические Чтения по Космонавтике. Москва. ИИЕТ РАН. 2002 г.

– Четвертый международный аэрокосмический конгресс IAC’2003. Москва.

– Международная конференция по механике и баллистике «Пятые Окуневские чтения». Санкт-Петербург. 2006 г.

– Пятый международный аэрокосмический конгресс IAC’2006. Москва.

– Dynamical system modeling and stability investigation. (DSMSI-2007).

Киев.2007 г.

– Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ-2007», посвященный 150-летию со дня рождения академика А.М.Ляпунова. СанктПетербург. 2007 г.

– IX Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Иркутск.2007 г – Sixth International Symposium on Classical and Celestial Mechanics. Великие Луки. 2007 г.

– Международный семинар имени Е.С. Пятницкого. Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. Москва. ИПУ. 2008 г.

– XII Международная научная конференция имени акад. М.Кравчука. Киев.

Национальный технический университет Украины «КПИ». 2008 г – X Международная научная конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». Донецк. 2008 г – Международная конференция по механике и баллистике «Шестые Окуневские чтения». Санкт-Петербург. Балт. гос. техн. ун-т. 2008 г – Семинар кафедры прикладной механики и управления механикоматематического факультета МГУ, октябрь 2001 г., октябрь 2008 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в семи печатных работах, одна из которых опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 114 наименований. Общий объем диссертации – 116 страниц Содержание работы.

Во введении описана предметная область и цель диссертационной работы;

дан краткий обзор публикаций, связанных с исследованием линейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений; приведено краткое содержание работы.

В первой главе рассматриваются линейные нестационарные системы вида:

dx = A(t)x, t t0 0;(1) dt T Здесь x(t) = x1(t),...,xn (t) – действительный вектор состояний системы; A(t) – () квадратная матрица с действительными непрерывными элементами на интервале времени I = [t0,), обладающая определенными свойствами.

В разделе 1.1 описаны основные классы ЛНС, интегрируемых в замкнутой форме, среди которых ряд классов, интересных с точки зрения механики, – системы коммутативного и специального классов. Такие системы имеют существенное значение для приложений, так как могут быть использованы в качестве базовых моделей при построении приближенных решений систем более сложного вида.

Система (1) относится к коммутативному классу1, если ее матрица A(t) удовлетворяет следующему условию: существует непрерывно дифференцируемая на интервале I = t0, матрица B(t), такая, что для всех t I имеет место [ ) dB(t)= A(t) и AB = BA. Фундаментальная матрица систем коммутативного dt класса представляется в виде (t,t0) = expB(t)exp (-B(t0).

) Lukes D.L. Differential Equations: Classical to Controlled Mathematics in Science and Engineering. V.162. AP New York. 1982.

Функционально-коммутативные системы, являющиеся подклассом коммутативных, определяются как системы, матрицы коэффициентов которых для любых t1, t2 I удовлетворяют условию A(t1)A(t2) = A(t2)A(t1). Матрица A(t) в этом случае представима в видеm A(t) = (t)Ai (2) i i=где i (t) – линейно независимые скалярные функции, Ai – постоянные попарно коммутативные матрицы: AA = A Ai; i, j = 1,...,m. Фундаментальная матрица i j j системы (1) в этом случае имеет вид t m (t,t0 ) = exp(i (t,t0 )Ai ), i (t,t0 ) = ( )d.

i i=tСистема (1) относится к специальному классу3, если существует такая постоянная матрица D, что матрица коэффициентов A(t) системы удовлетворяет уравнению dA = DA(t) - A(t)D (3) dt Преобразование системы (1) к стационарной системе, сама стационарная система и фундаментальная матрица системы (1) имеют вид:

x = L(t)y, L(t) = exp D(t - t0) (4) ( ) y = Ry, R = A(t0) - D = const (5) Ф(t,t0) = exp D(t - t0) exp R(t - t0) (6) ( ) ( ) В п.п. 1.1.3-1.1.5 работы исследуются ЛНС (1), матрицы которых удовлетворяют условиям, более общим, чем условие (3). Пусть скалярная (t) функция (t) непрерывна при t t0 = 0, а матрица G такова, что Морозов В.В. О коммутативных матрицах // Уч. Зап. КГУ. 1952. Т.112. Кн.9. С.17-20.

Wu M.-Y. Some New Results in Linear Time-Varying Systems// IEEE Trans. On Automat. Control. 1975. V. AC-20. № 1. P. 159-161.

(t) G = (t) DG - GD, D = const. Тогда, если матрица A(t) допускает одно из () представлений, указанных в Таблице 1, то система (1) при помощи замены t времени (t) = ) d и соответствующей замены переменных может быть ( dy преобразована к стационарной системе = Ry.

d Таблица 1.

Матрица Замена Стационарная Фундаментальная коэффициентов ЛНС система y = Ry матрица Ф(t,0) exp D exp R x = exp D y ( ) ( ) ( ) A(t) = (t)G(t) R = G(0) - D exp Dt exp R x = exp Dt y ( ) ( ) ( ) A(t) = (t)G(t) + D R = G(0) A(t) = G(t) + D (t) + c exp D exp Rt ( ) ( ) ( ) x = exp D y ( ) В качестве примера рассматривается двухгироскопный компас, установленный на корабле, совершающем последовательные циркуляции4.

Уравнения свободных колебаний компаса представляют собой систему специального класса с матрицей коэффициентов 1 1 sin 2t - ( + ) - cos2t 2 2 A(t) =, ( + ) - 1 cos2t - sin 2t 2 2 которая представляется в виде A(t) = G(t) + D (t) + c, где ( ) 0 1 -sin 2t cos 2t 1 (t) =, c =-( ) + +, D =, G(t) =-.

2 -1 0 cos2t sin 2t В п. 1.1.7 обсуждается вопрос о принадлежности системы (1) одновременно к специальному и коммутативному классам, приведены примеры таких систем.

Для одного вида коммутативных матриц A(t), где i-i A(t) = aij (t), aij t = ( ) (-1 Cn-1 tn-1-i+ j, i, j = 1,...,n, ) -Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами.

М.: Наука. 1972. -718с.

l! Clk = – биномиальные коэффициенты, k! l - k ! ( ) показана принадлежность к специальному классу. Постоянная матрица D = dij при этом определяется соотношениями: dij = -ii+1, j, где k,l – символ Кронекера, i = 1,..., n -1.

В разделе 1.2 исследуются ЛНС с периодическими коэффициентами специального и функционально-коммутативного классов. Указан явный вид преобразований переменных, приводящих ЛНС специального и функциональнокоммутативного классов к стационарным системам, и показано, что эти преобразования являются преобразованиями Ляпунова. Это дает возможность делать эффективные заключения об устойчивости ЛНС этих классов, основываясь на выводах для стационарных систем.

В п. 1.2.3 сформулированы и доказаны принципиальные утверждения о том, что в пространстве параметров систем с периодическими коэффициентами функционально-коммутативного и специального классов число областей устойчивости и неустойчивости конечно. Рассмотрены методические примеры.

Традиционно при исследовании устойчивости системы x = A(t)x матрица коэффициентов представляется в виде двух слагаемых A(t) = A0 + A1(t), A1(t) <, одно из которых постоянное, а другое – малое. Из свойств устойчивости невозмущенной системы x = A0x при выполнении определенных условий делаются выводы об устойчивости исходной ЛНС. В разделе 1.3 главы предлагается модификация этого метода, состоящая в следующем: предположим, что матрица A(t) допускает представление A(t) = A0(t) + A1(t),(7) причем ЛНС x = A0(t)x является интегрируемой в замкнутой форме, а матрица A1(t) по-прежнему мала. В таком случае при помощи конструктивного преобразования x = L(t)y можно перейти к другой ЛНС y = B0 + B1(t) y. При () этом если матрицы L(t) и L-1(t) ограничены, то и матрица B1(t) мала. При исследовании устойчивости ЛНС с матрицей A(t), допускающей указанную декомпозицию, применение предлагаемого метода оказывается более эффективным, так как информация о динамическом объекте, содержащаяся в коэффициентах матрицы, используется более полно, и полученное заключение об устойчивости является более точным.

Например, исследуя устойчивость ЛНС x = A(t)x с матрицей коэффициентов a cost -sint A(t) =+ (8) - a -sint -cost различными способами (с помощью теоремы Беллмана, неравенства Важевского или построив функцию Ляпунова в виде квадратичной формы от координат) как устойчивость системы с «почти постоянной» матрицей коэффициентов, можно получить следующие достаточные условия асимптотической устойчивости системы (область I на Рис.1) a < 0, < a (9) Рис. С другой стороны, эта система принадлежит к специальному классу и приводима при помощи преобразования Ляпунова x = L(t)y к стационарной системе y = Ry, где cost sint a + - L(t) =, R =.

-sint cost - + 2 a - Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости стационарной системы имеют вид a < 0, 2 < a2 + ( - ) (10) Область устойчивости, определяемая неравенствами (10) (области I и II на Рис.1), существенно больше, чем область I, определяемая условиями (9). Отметим, что при a = 0 ЛНС (8) не является асимптотически устойчивой, и на основании известных теорем никаких суждений о характере ее устойчивости сделать нельзя.

Однако, из условий (10) следует, что система (8) устойчива, если амплитуда параметрического воздействия удовлетворяет условию < -.

Во второй главе рассматриваются нестационарные системы второго порядка N1(t)x + N2(t)x + N3(t)x = 0 (11) T Здесь x(t) = x1(t),...,xn (t) – действительный вектор состояний системы; Ni (t) – () квадратные матрицы с действительными непрерывными элементами на интервале времени I = [t0,).

В виде (11) можно представить уравнения движения голономной механической системы, линеаризованные в окрестности некоторого программного движения. Дополнительно предполагается принадлежность матриц коэффициентов к специальному классу:

Ni = DNi - NiD, D = const, i = 1, 2, 3. (12) Показано, что в этом случае ЛНС при помощи замены x = exp Dt y ( ) преобразуется к стационарной системе M y + G y + K y = 0, (13) M = N10, G = 2N10D + N20, K = N10D2 + N20D + N30, Ni0 = Ni(t0).

Этот класс ЛНС имеет прикладное значение (см. главу 3).

В п. 2.1.1 определены условия, при которых замена x = exp Dt y будет ( ) преобразованием Ляпунова. В этом случае исследование устойчивости ЛНС (11) можно проводить на основании характеристического уравнения стационарной системы (13) или при помощи теорем Кельвина-Четаева и их обобщений.

В п. 2.1.2 рассматривается случай N1(t) = E, N2(t) = N20 = -NT, DN20 = N20D и N3(t) = NT (t), для которого определены достаточные условия устойчивости.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»