WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Pr v =- v =, (2) y k y v = v(t, x) где – истинная относительная скорость движения жидкости в Pr = Pr (t, x, y) пористой среде; – избыточное давление жидкости в пористой k среде; – коэффициент проницаемости породы, деленный на ее пористость;

– динамическая вязкость жидкости.

Скорость просачивания жидкости гидроразрыва в пористой среде v(t, x) = / t = (t, x) определим как, где – глубина просачивания жидкости в породу, отсчитываемая от берега трещины. Тогда на границе Pr t, x, + / 2 = 0.

раздела жидкостей в силу приближения II верно ( ) На берегу Pr t, x, / 2 = P t, x.

трещины выполняется равенство давлений ( ) ( ) Интегрируя / 2 y + / (2) по области просачивания и подставляя граничные условия, получим v = kP / (3) x vx Поскольку и малы, то при конечных значениях получаем, что x <<1.

глубина просачивания – медленно меняющаяся функция, Таким образом, для фильтрации жидкости в окружающую проницаемую среду также справедлива гипотеза плоских сечений.

При описании течения внутри трещины используется гидравлическое приближение для движения вязкой жидкости в узком канале. Закон сохранения массы и уравнение движения принимают вид:

u 2 P u =+ + 2 v =, (4) 12 x t x u = u(t, x) где – продольная осредненная по ширине скорость жидкости внутри трещины.

P v t Исключая с помощью (1) и выражая через в уравнениях (3) и (4), получим основную систему уравнений квазипараболического типа для, u, определения ширины скорости глубины просачивания и длины L.

трещины Длина находится из граничных условий, некоторые из которых заданы в нелинейном виде.

L* = 12k В разделе 2.2 вводятся характерные масштабы длины и времени t* = 12 / b k, на практике очень малые. Поэтому для учета реальных ( ) 1/ размеров задачи необходимо ввести коэффициент растяжения, входящий 1/ t,, u, 1/ x, L сомножителем для и сомножителем для ; обычно ~ 10-. Тогда основная система уравнений в безразмерном виде дает + 2 - 3x x = 0, () t = u =-2x ( ), (5) t x = L(t) В конце трещины ширина трещины, глубина просачивания и ( + / 2)(u - Lt ) относительный расход жидкости полагаются нулевыми. В x = качестве граничного условия в начале трещины задан либо объемный расход в единицу времени, либо давление жидкости.

Показано, что в области решения задачи существуют различные режимы /.

просачивания в зависимости от порядка отношения В предельных режимах малого или большого просачивания в уравнении баланса масс (5) можно пренебречь одним из первых двух слагаемых. Как показывает решение полной системы уравнений типа бегущей волны (разделы 2.5, 3.6) малое просачивание реализуется всегда вблизи конца трещины, а также всюду при t t малых, большое просачивание – вблизи начала трещины при больших. На преобладание того или иного режима пропитки также влияет коэффициент Q0 Pинтенсивности закачки жидкости в трещину или (см. рис. 2 и гл. IV).

В разделе 2.3 показано, что система (5) в общем случае может иметь автомодельные решения только степенного вида, а в предельных режимах просачивания еще и экспоненциального вида. Автомодельные решения строятся в разделе 2.4. При этом граничное условие на входе в трещину t et задается как функция, пропорциональная либо, где – параметр задачи, характеризующий изменение закона закачки жидкости в трещину со временем. В предельных режимах просачивания получены автомодельные решения при различных условиях закачки жидкости в трещину (рис. 2).

Раздел 2.5 посвящен построению решений типа бегущей волны.

0.0.0.0.D Y 0.0.0.===1/=Y 0.0.0.D 0 0 0 0 048 048 12 048 12 16 0 0.0 12 16 0 0.001 0.002 0. (а) (б) Рис. 2. Зависимость автомодельной ширины трещины D = / tn и глубины просачивания Y = /ts от автомодельной координаты = x /tm при заданном расходе в начале трещины Q = Q0t в случае малого (а) и большого (б) просачивания жидкости в пласт, (а) – n = (2 +1)/ 5, s = ( + 3)/ 5, m = (3 + 4)/ 5, Q0 =100 ; (б) – n = (4 +1)/ 9, s = (2 + 5)/ 9, m = (7 + 4)/ 9, Q0 =10-3. Здесь проведена экстраполяция случая (б) на всю трещину.

Третья глава В третьей главе рассмотрено расширение постановки задачи, описанной в главе II: исследуется распространение трещины гидроразрыва под напором неньютоновской жидкости псевдопластического типа со степенной реологией.

Здесь рассмотрено влияние реологии жидкости гидроразрыва на изменение качественной картины поведения безразмерных решений.

В задаче, сформулированной в разделе 3.1, используется модель неньютоновской псевдопластической жидкости, в которой компоненты ij тензора вязких напряжений связаны с компонентами тензора скоростей eij ij = aeij a деформаций,, так, что эффективный коэффициент вязкости зависит от второго инварианта тензора скоростей деформаций по степенному закону - I a = M I = eijeij, a При этом эффективный коэффициент вязкости убывает с ростом скорости 0 < < 1, сдвига (псевдопластичность): – безразмерный показатель степени в реологическом соотношении, M = const. Для ньютоновской M = = жидкости,.

Для описания течения жидкости в пористой среде за основу берется гидравлическое приближение уравнения движения неньютоновской жидкости в узкой щели, осредненное по ширине щели. Полагая квадрат характерной ширины трещинок в породе пропорциональным проницаемости пористой среды, описываем процесс фильтрации уравнением, которое для ньютоновской жидкости имеет вид закона Дарси. Иными словами, считаем, v(t, x) что величина скорости оттока в размерном виде удовлетворяет уравнению:

( +1) / (12k) Pr v = M = M = (2 +1) 2 +1 /,, M y k = / mr 2 /(1+ ) mr Здесь, – проницаемость породы, – ее пористость.

В разделе 3.2 основная система уравнений приводится к безразмерному виду:

1/ 1/ 2+1/ + 2 + () (-x = ) t = u = 1+1/ ) (6),, (-x ( ) t x Параметр участвует в процессе обезразмеривания; изменение размерных решений при этом исследовано в главе IV.

Постановка задачи допускает существование различных классов решений:

автомодельных и типа бегущей волны – при граничных условиях, аналогичных задаче для ньютоновской жидкости. Автомодельное решение ( / ~ 1) задачи в общем случае существует, когда на входе в трещину задан t, либо расход жидкости, пропорциональный либо давление жидкости, пропорциональное t.

В разделе 3.3 построено полное автомодельное решение и рассмотрено влияние степени на изменение основных характеристик роста трещины в безразмерных переменных. В частности, показано, что при одинаковом расходе жидкости в начале Q = Q0t2 Q0 = трещины при скорость неньютоновской жидкости вдоль трещины < ( ) больше скорости жидкости с линейной ( = 1), реологией рис. 3, что обуславливает и бльшую скорость распространения трещины.

Рис. 3. Зависимость автомодельной скорости жидкости U = u / t от продольной координаты = x / t2 при =1;1/ 2;1/ 3 и заданном расходе жидкости на входе в трещину Qt) = t2.

( В разделе 3.4 в предельных режимах просачивания аналитически показано, что семейство решений экспоненциального вида является предельным случаем для семейства автомодельных решений степенного вида при.

, В разделе 3.5 рассмотрено приближение задачи при малых степенях т. е. когда вязкие напряжения в жидкости при течении с простым сдвигом близки к постоянным. Это позволяет получить общее аналитическое решение задачи, когда граничное условие на входе в трещину задано как произвольная = функция от времени. Показано, что в точном решении ширина 2(L(t) - x) трещины и глубина просачивания совпадают и равны, а L(t) u = 3dL / dt. При этом длина трещины аналитически определяется из краевого условия в начале трещины, заданного как произвольная функция от времени.

Линейная зависимость ширины трещины от глубины просачивания при также видна на примере решений, полученных в разделе 3.6, где.

построено точное решение в виде бегущей волны для любого Асимптотическое приближение этого решения вблизи конца трещины при =t - x 0 +, где – безразмерная скорость волны, характеризующая скорость движения конца трещины, следующее:

1+ / 2+ 2 + ( ) ( )( ) ( ) 1/(2+ ) 2 + ( ) u (),, / 1+ ( ) /(2+ ) 1+ ( ) Четвертая глава В четвертой главе построены асимптотические приближения степенного вида для решений задачи гидроразрыва (5) или (6) в окрестности конца трещины. Конец трещины здесь рассматривается в рамках гидравлического приближения и определяется граничными условиями задачи.

Асимптотическое рассмотрение позволяет получить приближенные аналитические выражения для основных характеристик распространения трещины в зависимости от времени и показателя изменения закона закачки со x = временем, если формально удовлетворить условию при (раздел 4.1).

Например, если на входе в трещину задан расход ньютоновской жидкости Q = Q0t, то профиль и длина трещины ведут себя как 1/15 4/3 + 4 1/ 3 1 (t, x) = Q01/ 5t(3 -1)/15 L(t) - x L(t) = Q03/ 5t(3 +4)/ (), (7) 5 31/ 5 3 + Аналогично можно получить асимптотику решения при заданном P = P0t. Порядок коэффициентов или Q0 Pдавлении на входе в трещину характеризует интенсивность закачки жидкости и также определяет порядок / отношения при фиксированных t, x.

В разделе 4.2 специально исследована зависимость длины трещины от времени и показателя изменения закона закачки. Анализ асимптотического приближения длины трещины (7) показывает, что увеличение скорости закачки жидкости в трещину со временем позволяет получить максимальную длину трещины для заданного момента времени. Математически это означает выбор наибольшего возможного значения параметра.

В разделе 4.3 проведено качественное исследование монотонности искомых функций со временем в зависимости от показателя изменения закачки с тем, чтобы выявить интервалы допустимых значений параметра.

В таблице указано поведение функций со временем в различных интервалах изменения параметра в случае малого просачивания, если на входе в трещину задан расход жидкости Q(t) либо давление P(t), t.

пропорциональные Предполагается, что физический смысл имеют значения, при которых длина трещины растет со временем. Условие конечности объема, подаваемого в трещину, также ограничивает изменение параметра снизу >- (если задан расход жидкости) или > -1/ (если задано давление жидкости).

Таблица Q -1 < < -1/ 2 -1/ 2 < < 1/ 3 > 1/ P -1/ 5 < < 0 0 < < 1/ 3 > 1/,u u убывают, возрастает, L,,,u возрастают со L,, убывают со L, возрастают со временем временем временем В разделе 4.4 по аналогии с разд. 4.1 приведено асимптотическое приближение задачи гидроразрыва для неньютоновской жидкости (6). В разделе 4.5 на основе полученных асимптотик проводится анализ зависимости размерного решения от совокупности параметров задачи,, Q0 P0 x, t Q0 = ( либо ) и переменных на примере конкретных значений:, P0 = = либо, =.

В разделе 4.6 изучено влияние коэффициента вязкости жидкости на изменение длины трещины на примере ньютоновской жидкости. Показано, что при одинаковом законе заданного давления жидкости меньшая вязкость обеспечивает бльшую длину трещины. Если на входе в трещину задан расход жидкости, то в режиме малого просачивания жидкости в пласт будет аналогичная зависимость, а при большом просачивании – меньшая вязкость дает меньшую длину трещины, что объясняется увеличением оттока жидкости в окружающую породу.

Пятая глава Пятая глава посвящена численному моделированию задачи гидроразрыва в пористой среде на примере ньютоновской жидкости. Предложен метод численной реализации решения полной системы с нелинейным квазипараболическим уравнением (5) на основе схемы второго порядка аппроксимации Кранка-Николсона.

В разделе 5.1 описаны разностные схемы, в разделе 5.2 приведен метод численного определения длины трещины. При построении численного решения используется асимптотическое приближение задачи вблизи конца трещины (разд. 4.1).

В разделе 5.3 рассматривается сравнение расчетов с автомодельными решениями и асимптотическими приближениями на протяжении всей трещины. В частности, проведенные сравнения позволяют заключить, что формальные асимптотические приближения решений (7) для малого просачивания жидкости в породу хорошо аппроксимируют численные решения задачи вдоль всей длины трещины (рис. 4).

4 4 L Q0==Q0==Q0==Q0==0 0 0123 0.2 0.4 0.6 0.8 0 3 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 x t (а) (б) Рис. 4. Зависимость ширины трещины от продольной координаты х при t [0.2;1] (а) и длины трещины L от времени t (б) для режима малого просачивания при различном заданном расходе в начале трещины Q = Q0t. Точки – численное решение, сплошные кривые – асимптотическое приближение из формулы (7).

Чтобы выявить роль автомодельного режима распространения трещины, в главе V строятся решения задачи при кусочно-линейном граничном условии Q = 10t / на входе в трещину, например, когда расход жидкости задан, как 0 < t < 0.7 Q = 1 t 0.7, при и при и рассмотрена область решения для режима малой пропитки. Расчеты показывают, что при истечении некоторого времени t профиль трещины будет соответствовать такому автомодельному решению задачи, как если бы в нем сразу задавалось граничное условие Q = 1, однако достигнет этого автомодельного профиля за бльшее время t > t. На рис. 5 численное решение в момент времени согласуется с t = t = 0.автомодельным решением при.

1.1.1. =0, t' = 0.t = 0.0. 0.0.=1 t' = 0.t = 0.00.2 0.00.2 0.4 0.6 0.0 0.4 0.6 0.x Рис. 5. Зависимость ширины трещины от продольной координаты x, когда на входе в трещину задан расход жидкости по кусочно-линейному закону времени, кривые 1, 2 соответствуют автомодельным решениям. Время t – параметр, t – время в автомодельных решениях.

Иными словами, решение задачи “забывает” начальное условие и “выходит” на автомодельный режим.

В разделе 5.4 приведена разностная схема для задачи о росте трещины под напором неньютоновской жидкости.

Шестая глава Шестая глава выделяется из предыдущей части работы, поскольку в ней рассмотрена стационарная задача, не связанная с ростом развитой трещины, однако эта проблема имеет отношение к моделированию конечного этапа процесса откачки жидкости из пористой среды. В ней ставится вопрос об отыскании необходимой оптимальной формы трещины (коллектора) фиксированного объема для сбора нефтесодержащей жидкости из окружающего пласта. Форма этой полости выбирается из класса сплюснутых эллипсоидов вращения (дискообразная трещина), это упрощение достаточно для качественного исследования задачи и получения конкретных результатов.

Фильтрация жидкости в бесконечной пористой среде описывается законом Дарси.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»