WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

• Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 1998).

• Международная конференция Геометрия и приложения“ (Новоси” бирск, март 2000 г.).

• Конференция по дискретной геометрии Международного математического конгресса (Пекин, август 2002 г., как часть доклада И.Х. Сабитова).

• Семинар кафедры дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского Государственного Университета, руководитель академик А.Т. Фоменко (май 2008 г.).

• Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, июнь 2008 г.).

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в восьми работах, список которых приведен в конце автореферата [1] – [8].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения и 3 глав.

Диссертационная работа изложена на 93 страницах и состоит из введения и трёх глав. Библиография включает 30 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении к диссертации излагается история рассматриваемой проблемы и формулируются основные результаты.

Содержание главы 1.

В главе 1 рассматриваются многогранники с числом вершин, меньшим 9, проводится их описание и доказательство неизгибаемости. В начале главы приводится простой критерий погруженности многогранников и дается описание комбинаторных типов многогранников, важных для дальнейшего, таких как пирамиды, подвески (бипирамиды) и восьмивершинник определенного комбинаторного строения.

Далее проводится комбинаторная классификация многогранников с числом вершин, меньшим 9. Доказывается, что эти многогранники могут иметь комбинаторное строение только одного из следующих типов:

пирамиды, подвески, многогранники, полученные из пирамиды или подвески операцией добавления одной или двух вершин индекса три, а также восьмивершинник определенного комбинаторного строения.

Далее последовательно изучаются свойства погруженных и вложенных многогранников перечисленных комбинаторных типов с целью доказательства их неизгибаемости. Для подвесок устанавливается соотношение погруженности и вложенности.

Теорема 2 Если число вершин погруженной подвески не превосходит семи, то такая погруженная подвеска является вложенной.

При числе вершин восемь или более теорема уже неверна. Показано, как в таком случае устроено самопересечение для погруженной, но не вложенной подвески.

Теорема 3 Если погруженная подвеска имеет не более 8 вершин, то она неизгибаема.

Для изучения изгибаемости восьмивершинника определенного комбинаторного строения используется метод исследования, связанный с теорией аналитических функций. Получены формулы для зависимости длин диагоналей и объема многогранника от параметра изгибаний. При этом используется понятие обобщенного объема, пригодное и для погруженных многогранников.

Используемый метод позволяет получить уравнение изгибаемости и связать с изгибаемым многогранником указанного типа риманову поверхность. Исследованы свойства полученных зависимостей как аналитических функций на римановой поверхности. Доказано, что объем изгибаемого многогранника рассматриваемого комбинаторного типа равен нулю, что доказывает неизгибаемость вложенного многогранника этого типа.

Результатом являются теоремы о неизгибаемости.

Теорема 5 Погруженный многогранник, имеющий не более семи вершин неизгибаем.

Теорема 6 Если погруженный многогранник с восемью вершинами удовлетворяет одному из следующих условий: а) является пирамидой, б) является подвеской, в) получен из подвески с шестью вершинами операцией добавления двух вершин индекса три, г) получен из пирамиды с семью вершинами операцией добавления вершины индекса три, д) является восьмивершинником определенного комбинаторного строения и при этом является вложенным, то он неизгибаем.

Содержание главы 2.

В главе 2 вводится понятие p-параметрических многогранников и обсуждается зависимость числа параметров возможных изгибаний от комбинаторного типа многогранника.

В начале главы дается определение понятие общего положения для многогранников и дается аналитическая запись условия общего положения. Далее дается определение комбинаторно p-параметрических многогранников и приводятся важные примеры. Затем вводится понятие алгоритмически p-параметрических многогранников, усиливающее предыдущее определение и доступное для практической проверки.

В заключительной части главы дается описание комбинаторной структуры алгоритмически 1-параметрических многогранников типа сферы. Напомним, что пустым 3-циклом называется замкнутый контур из трех ребер, не являющийся границей грани.

Теорема 8 Гомеоморфный сфере многогранник является алгоритмически 1-параметрическим в том и только в том случае, когда он имеет следующее комбинаторное строение: 1) является тетраэдром, 2) является подвеской, 3) может быть получен с помощью некоторой специальной последовательности склеек подвесок, 4) при наличии пустых 3-циклов его последовательное разложение путем разрезания по всем пустым 3-циклам дает в конечном счете не более одного многогранника типа 2) или 3) и любое количество тетраэдров.

Содержание главы 3.

В главе 3 выполнено исследование изгибаемости алгоритмически 1параметрических многогранников. Для этого получены формулы для зависимости диагоналей и частичных объемов этих многогранников от параметра изгибаний. Исследованы свойства полученных зависимостей.

Доказано (теорема 9), что зависимости выражаются аналитическими алгебраическими функциями. Их возможные точки ветвления – это корни многочленов, представляющих квадраты объемов тетраэдров, составляющих многогранник, возможные полюса – корни многочленов, представляющих квадраты площадей граней указанных тетраэдров. В бесконечно удаленной точке функции имеют конечное значение независимо от выбранного листа римановой поверхности.

В заключительной части главы показано как получить уравнения изгибаемости для алгоритмически 1-параметрических многогранников и приводится схема одного из возможных алгоритмов проверки изгибаемости таких многогранников типа сферы в общем положении с помощью систем компьютерной алгебры.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору И.Х. Сабитову за постановки задач и постоянное внимание.

Автор также благодарен всему коллективу кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического МГУ за поддержку и внимание.

Список публикаций по теме диссертации.

[1] Максимов И. Г., Исследование изгибаемости многогранников с малым числом вершин, Всесоюзная конференция по геометрии "в целом": Тезисы докладов, Новосибирск, сентябрь 1987 г., Новосибирск, 1987, с. 75.

[2] Максимов И. Г., Подвески: объемы, погруженность и неизгибаемость, Математические заметки, т. 56 (1994), № 6, с. 56 – 63.

[3] Максимов И. Г., Изгибаемые многогранники и римановы поверхности, Успехи математических наук, т. 50 (1995), № 4, с. 163 – 164.

[4] Максимов И. Г., Сабитов И. Х., Понятие комбинаторной p-параметричности многогранников при исследовании их изгибаемости, Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 1998, с. 48 – 49.

В данной работе Максимову И.Г. принадлежат конкретная формулировка определения понятия p-параметричности и аргументация выбора определения. Сабитову И.Х. принадлежит общая идея введения понятия p-параметричности.

[5] Maksimov I. G., Sabitov I.Kh., On the definition of combinatorially pparametric polyhedra, Международная конференция "Геометрия и приложения": Тезисы докладов, Новосибирск, март 2000, c. 62 – 64.

В данной работе Максимову И.Г. принадлежат конкретная формулировка определения понятия комбинаторной p-параметричности и аргументация выбора определения. Сабитову И.Х. принадлежит общая идея введения понятия комбинаторной p-параметричности.

[6] О понятии p-параметричности многогранников, Сибирский математический журнал, т. 43 (2002), № 4, с. 823–839.

В данной работе Максимову И.Г. принадлежат конкретные формулировки нескольких определений понятия p-параметричности, примеры и контрпримеры, аргументация выбора определений. Сабитову И.Х. принадлежит общая идея введения понятия p-параметричности, идея использования алгоритма с базой и идея доказательства строения 0-параметрических многогранников.

[7] Максимов И. Г., Неизгибаемые многогранники с малым числом вершин, Фундаментальная и прикладная математика, т. 12 (2006), № 1, с. 143 – 165.

[8] Максимов И. Г., Описание строения алгоритмически 1-параметрических многогранников и исследование их изгибаемости, Депонировано в ВИНИТИ РАН, 2008, 518-В 2008, 13 с.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»