WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 514.113.5+514.772.35 Максимов Игорь Гаврилович Комбинаторное строение и изгибания 1-параметрических многогранников 01.01.04 – геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Сабитов Иджад Хакович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Долбилин Николай Петрович (Математический институт имени В.А. Стеклова РАН) доктор физико-математических наук, профессор Смирнов Владимир Алексеевич (Московский педагогический государственный университет)

Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Защита диссертации состоится 31 октября 2008 г. в 16 ч. 40 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механикоматематический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 30 сентября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А.О. Иванов

Общая характеристика работы

.

Актуальность темы.

Вопросы изгибаемости многогранников уже более двух веков считаются одним из главных и трудных направлений в метрической теории многогранников. После первого фундаментального результата Лежандра (1794) и Коши (1813) о неизгибаемости выпуклых многогранников прошло более 80 лет, прежде чем Брикар1 показал существование изгибаемых многогранников. Но его многогранники – изгибаемые октаэдры – имели самопересечения и не были даже погруженными, и поэтому их нельзя было физически реализовать в виде движущихся моделей. Снова прошло около 80 лет, и Р. Коннелли построил примеры изгибаемых многогранников – сначала погруженных, с 14 вершинами2, а затем и вложенных, с 26 вершинами3. После нескольких модификаций его пример был усовершенствован до 11 вершин, и, наконец, на совсем другой идее К. Штефен4, построил пример изгибаемого вложенного многогранника всего с 9 вершинами (описание многогранника Штефена можно найти во многих статьях и книгах, см., например, ).

После открытия существования изгибаемых многогранников сразу же появилось много новых вопросов, часть из которых не решена до сих пор. Один из них – это вопрос о том, является ли пример Штефена изгибаемым многогранником с минимальным числом вершин, то есть, подругому говоря, существуют ли изгибаемые погруженные или вложенные многогранники с числом вершин меньше 9 Второй вопрос касается степени изгибаемости многогранников, и его кратко можно сформулировать так: какое число параметров определяет многогранник однозначно Bricard R., Mmoire sur la thorie de l’octadre articul, J. Math. Pures et Appl., v. 5 (1897), № 3, p.113 – 148.

Connelly R., An immersed polyhedral surface which flexes, Indiana Univ. Math. J., v. 25 (1976), № 10, p. 965 – 972.

Connelly R., A counter example to the rigidity conjecture for polyhedra, Publ. Math. I.H.E.S., v. (1978), p. 333 – 338.

Steffen Klaus, A symmetric flexible Connelly sphere with only nine vertices, A letter to I.H.E.S., Bures-sur-Yvette.

Сабитов И. Х., Локальная теория изгибаний, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, ВИНИТИ, т. 48 (1989), c. 196 – 270.

при любых значениях длин его ребер и при любой его конфигурации в пространстве В диссертации даны частичные или полные ответы на эти и другие вопросы, но для более точной формулировки и вопросов, и ответов нужно ввести необходимые определения и терминологию.

Пусть K – двумерный геометрический симплициальный комплекс (то есть его симплексы – это точки, прямолинейные отрезки и плоские треугольники), тело которого гомеоморфно некоторому компактному двумерному многообразию M, или, что равносильно, K определяет некоторую триангуляцию многообразия M. Многогранником с комбинаторным строением K называется непрерывное в целом и линейное на каждом симплексе отображение P : K R3. Образы в R3 нульмерных, одномерных и двумерных симплексов комплекса K называются соответственно вершинами, ребрами и гранями многогранника P, который для наглядности можно себе представлять как его образ P (K) в R3. Тем самым мы всегда рассматриваем многогранники только с треугольными гранями.

Изгибанием многогранника P по некоторому параметру t называется непрерывное по параметру t семейство многогранников Pt : K R3, такое что P0 = P и все Pt(K) в R3 изометричны между собой в индуцированной из R3 метрике. Изгибание называется тривиальным, если оно сводится к движению P (K) в R3 как твердого тела. Многогранник называется неизгибаемым, если любое его изгибание тривиально, и изгибаемым, если для него существует хотя бы одно нетривиальное изгибание.

Про неизгибаемые многогранники говорят, что они локально однозначно определены своей метрикой.

Для отображения P мы будем требовать, прежде всего, невырожденность – сохранение размерности каждого симплекса. Также будем рассматривать погруженные многогранники (отображение P является погружением, то есть локальным гомеоморфизмом на образ) и вложенные многогранники (отображение P является вложением, то есть гомеоморфмизом на образ).

Как уже было сказано выше, к 1978 г. были построены примеры изгибаемых вложенных многогранников с числом вершин 11 и 9. С тех пор вопрос о минимальном числе вершин изгибаемых многогранников остается открытым, и ясно, что любой результат в этом направлении представляется интересным. И вообще, любой пример изгибаемого многогранника является в своем роде уникальным, так как по теореме Глюка6 почти все гомеоморфные сфере многогранники являются неизгибаемыми (это утверждение верно и для многогранников любого топологического рода7). Следовательно, можно считать, что первый вопрос, изучаемый в диссертации и посвященный изгибаемости многогранников с числом вершин меньше 9, безусловно, является актуальным в рассматриваемой теории многогранников.

Вторая задача связана с числом параметров, определяющих многогранник локально однозначным образом, и она восходит еще к Лежандру8, показавшему, что число параметров, однозначно определяющих выпуклый многогранник с данным комбинаторным строением, равно числу его ребер. Мы уточняем и расширяем постановку проблемы, а именно, мы убираем условие выпуклости, но зато считаем известными длины ребер, и спрашиваем, длины скольких диагоналей надо считать известными, чтобы многогранник с такими данными и с известным комбинаторным строением был локально однозначно определенным. Это – новая постановка задачи в теории изгибаний, так как она в случае изгибаемости многогранника отвечает на вопрос о числе ограничений, которые необходимо и достаточно добавить, чтобы многогранник стал неизгибаемым; по-другому говоря, мы ставим задачу определения максимальной размерности пространства изгибаний реализаций данного симплициального комплекса при заданных значениях длин ребер.

Как показывают примеры, на изгибаемость многогранника влияют все три фактора: комбинаторная структура K, внешняя геометрия реализации P (K) и свойства отображения P. Нас, в первую очередь, будет Gluck H., Almost all simply connected closed surfaces are rigid, Lecture Notes in Math., v. 438 (1975), p. 225 – 238. (Пер. на рус. яз. см. в сборнике Исследования по метрической теории поверхностей, М.: Мир, 1980, с. 148 – 163.) Сабитов И.Х., Алгоритмическое решение проблемы изометрической реализации двумерных многогранных метрик, Известия РАН, серия Математика, т. 66, № 2 (2002), с. 159 – 172.

Legendre A., Elments de gomtrie, Paris, 1806.

интересовать комбинаторная часть проблемы, как первичная. Комбинаторное строение может быть как препятствием к наличию изгибаний, так и определять количество независимых параметров возможных изгибаний.

Для изучения этой части проблемы вводится понятие комбинаторной p-параметричности9,10. Ключевым моментом для исключения влияния двух других факторов изгибаемости является рассмотрение многогранников в общем положении. Но при корректной формулировке этого понятия нужно быть очень аккуратным, учитывая упомянутую выше теорему Глюка.

Описание комбинаторно 0-параметрических многогранников получено в работе Максимова И.Г., Сабитова И.Х. (2002), в диссертации описано комбинаторное строение 1-параметрических многогранников.

Пока более или менее подробно изучены лишь два комбинаторных типа многогранников – пирамиды и подвески11 (бипирамиды). 1-параметрические многогранники образуют более широкий класс многогранников, включающий указанные в качестве частного случая.

В работе Р. Коннелли (1974) изучается изгибаемость подвесок, в ней, в частности, Р. Коннелли с использованием методов теории аналитических функций получает ряд необходимых и достаточных условия изгибаемости подвесок. Его важным результатом является доказательство равенства нулю обобщенного объема изгибаемой подвески. Это определяет важность задачи о соотношении погруженности и вложенности подвесок12. Часть результатов Р. Коннелли переносится на случай 1-параметрических многогранников. Общая теорема о постоянстве объема изгибаемого многогранника любого топологического типа при изгибании Maksimov I.G., Sabitov I.Kh., On the definition of combinatorially p-parametric polyhedra, Международная конференция "Геометрия и приложения". Тезисы докладов, Новосибирск, март 2000, c. – 64.

Максимов И.Г., Сабитов И.Х., О понятии p-параметричности многогранников, Сибирский математический журнал, т. 43(2002), №. 4, с. 823 – 839.

Connelly R, An attack on rigidity, Preprint. Cornel Univ., 1974. (Пер. на рус. яз. в сборнике Исследования по метрической теории поверхностей, М.: Мир, 1980, с. 164 – 209.) Максимов И. Г., Подвески: объемы, погруженность и неизгибаемость, Мат. заметки, т. (1994), № 6, с. 56 – 63.

доказана И.Х. Сабитовым13.

При изучении комбинаторной стороны проблемы естественно использовать в качестве параметров возможных изгибаний длины диагоналей, что не ограничивает общности рассмотрения. Известны формулы для вычисления длин диагоналей и объемов многогранников в общем случае при известных длинах ребер. В диссертации предложены уточнения и обобщения этих формул на случай 1-параметрических многогранников.

Для их исследования можно связать с изгибаемым многогранником риманову поверхность и использовать методы теории аналитических функций. Это позволяет получать довольно простые необходимые условия изгибаемости. Использование формул для объемов и факта сохранения объема многогранника при изгибании дает еще один способ изучения изгибаний, позволяет получить уравнения изгибаний в другой форме.

Еще одно важное направление исследования изгибаемости – построение алгоритмов для проверки изгибаемости конкретных многогранников P (K). Так, И.Х. Сабитовым предложен численный алгоритм проверки изгибаемости подвесок14 и вообще общих многогранников15. В силу теоремы Глюка критическим для численных алгоритмов является вопрос о точности вычислений. Для решения этой проблемы предлагается перейти к алгоритмам символьных вычислений с использованием полученных формул. При этом точность вычислений совпадает с точностью задания длин ребер.

Таким образом, все рассмотренные в диссертации вопросы посвящены или известным, но не решенным еще задачам, или же они открывают новую тематику исследований.

Цель работы.

Цель настоящей работы – описание комбинаторного строения 1-параметрических многогранников, исследование их изгибаний и, в частности, Сабитов И. Х., Объем многогранника как функция его метрики, Фундаментальная и прикладная математика, т.2 (1996), № 4 с. 1235 – 1246.

Сабитов И. Х., Алгоритмическая проверка изгибаемости подвесок, Укр. геометр. сб., т. (1987), с. 109 – 112.

Сабитов И. Х., Об одном алгоритме проверки изгибаемости многогранников, Вестник МГУ, сер. 1 Математика. Механика, 1994, вып. 2, с. 56 – 61.

выделение неизгибаемых вложенных и погруженных многогранников с числом вершин до восьми (которые все оказываются 1-параметрическими многогранниками).

Научная новизна.

В диссертации решены следующие новые задачи:

1. Решена задача о соотношении погруженности и вложенности подвесок.

2. Доказана неизгибаемость погруженных многогранников, имеющих не более семи вершин. Также доказана неизгибаемость вложенных многогранников, имеющих не более восьми вершин, следующих типов: пирамиды, подвески (бипирамиды), многогранников, полученных из пирамиды или подвески операцией добавления одной или двух вершин индекса три, а также восьмивершинника определенного строения.

3. Введено понятие комбинаторной p-параметричности многогранников и описано строение 0- и 1-параметрических многогранников.

4. Предложены формулы, описывающие для 1-параметрических многогранников зависимости длин диагоналей и объемов от значений параметра изгибания.

5. Предложены уравнения изгибаемости и алгоритмы проверки изгибаемости. Показана связь исследования изгибаемости 1-параметрических многогранников с теорией римановых поверхностей.

Основные методы исследования.

В работе используются методы комбинаторной геометрии, линейной и компьютерной алгебры, теории аналитических функций Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Предложенные в диссертации методы и доказанные теоретические результаты представляют интерес для специалистов по комбинаторной и метрической теории многогранников и могут быть использованы в научной работе и для чтения геометрических спецкурсов. Полученные формулы для геометрических характеристик многогранников могут быть использованы в расчетах, связанных с вычислением длин диагоналей и объемов многогранников.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях:

• Семинар по геометрии в целом Московского Государственного Университета (руководители Э.Р. Розендорн и И.Х. Сабитов) – несколько раз, по мере получения результатов.

• Международный геометрический семинар памяти П.А. Широкова (Казань, февраль 1996 г.).

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»