WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Если матрицы Gi монодромии фуксовой системы имеют блочно-диагональный вид, G1 i = 1 2, Gi =, 0 Gi то верно ли, что эта фуксова система мероморфно эквивалентна прямой сумме фуксовых систем (т.е. такой системе, матрица коэффициентов которой имеет такой же блочно-диагональный вид) dy B1(z) = y (4) 0 B2(z) dz См. Болибрух А.А. Проблема Римана–Гильберта на комплексной проективной прямой // Матем. заметки. 1989. Т. 46. В. 3. С. 118-120.

См. Esnault H., Viehweg E. Semistable bundles on curves and irreducible representations on the fundamental group // Contemp. Math. V. 241. 1999. P. 129-138.

См. Malek S. Fuchsian systems with reducible monodromy are meromorphically equivalent to reducible Fuchsian systems. // Proceedings of the Steklov Institut of Mathematics. 2002. Vol 236.

См. Болибрух А.А. Проблема Римана–Гильберта на компактной римановой поверхности // Тр. МИРАН. 2002. Т. 238. С. 55-69.

См. Болибрух А.А. Обратные задачи монодромии аналитической теории дифференциальных уравнений // Математические события XX века. М.: Фазис, 2004. С. 53-79.

В разделе 2.2 диссертации приведен пример, дающий отрицательный ответ на этот вопрос.

Основной результат главы 2 приведен в разделе 2.1. Этот результат является обобщением примера и состоит в более общем утверждении следующей теоремы.

Теорема 2.1. Любое представление может быть реализовано как прямое слагаемое в представлении монодромии f = фуксовой систе мы (2).

У полученной системы не появляется дополнительных особых точек. Представление при этом может быть выбрано неприводимым и имеет ту же размерность, что. Таким образом, получено положительное решение соответствующей обратной задачи. Эта задача может рассматриваться как аналог понятия стабильной тривиальности расслоений. В данном случае мы можем назвать ее стабильной реализуемостью представления монодромии фуксовой системой. Также доказанная теорема является усиленным вариантом соответствующего результата А.А. Болибруха, гласящего, что любое представление может быть реализовано как подпредставление или фактор-представление представления монодромии фуксовой системы.

Описанный выше пример работы [3] состоит из таких представлений и, что их прямая сумма f реализуется как монодромия фуксовой системы, но, при этом, представление не может быть реализовано как монодромия фуксовой системы. Размерности представлений и равны, соответственно, 4 и 2. Этот пример также показывает, что размерность представления не обязана быть равной размерности, а может быть и меньшей.

В последнем разделе второй главы доказано, что на приведенный выше вопрос А.А. Болибруха имеется положительный ответ при некотором дополнительном условии на спектры операторов монодромии. Оно сформулировано в следующей теореме.

Теорема 2.3. Если спектры образующих представлений 1 и 2 не пересекаются ни для одной точки, то из того, что прямая сумма = 1 является представлением монодромии фуксовой системы, следует, что представления 1 и 2 могут быть реализованы как монодромии фуксовых систем или, что то же самое, эта фуксова система мероморфно эквивалентна фуксовой системе вида (4).

Это утверждение позволяет строить многочисленные контрпримеры к классической проблеме Римана–Гильберта. Построена серия контрпримеров к проблеме Римана–Гильберта в размерностях p 4, с n 3 особыми точками. Эти примеры получены как модификации известного контрпримера, построенного А.А. Болибрухом, при помощи достаточного условия положительной разрешимости вопроса А.А. Болибруха. Таким образом, приведено более простое доказательство следующего известного утверждения.

Теорема 2.4. (А.А. Болибрух, Е. Эно) Существуют контрпримеры к проблеме Римана–Гильберта в размерности p с n особыми точками для всех пар (p, n) при p 4, n 3.

В случаях p = 3, n 4 также существуют контрпримеры к проблеме Римана–Гильберта, построенные А.А. Болибрухом.Глава 3 содержит результаты, касающиеся так называемых стабильных и полустабильных пар (расслоений со связностью), точнее, возможности построения такой пары по заданному представлению монодромии. Стабильной (полустабильной) парой называется расслоение со связностью, такое, что любое его подрасслоение, инвариантное относительно связности, имеет наклон (степень, деленную на ранг) меньше (не больше) наклона всего расслоения.

Согласно результату А.А. Болибруха, основной особенностью таких расслоений является то, что из существования стабильной пары следует положительная разрешимость классической проблемы Римана–Гильберта.В третьей главе показано, что условие существования стабильной пары с заданной монодромией может быть эффективно проверено. Исключения составляют лишь те представления, у которых невозможно эффективным образом описать подпредставления, а для остальных приводится алгоритм проверки. Это дает эффективные достаточные условия положительной разрешимости классической проблемы Римана–Гильберта, наиболее широкие из существующих. Кроме того, существование стабильной пары в точности эквивалентно существованию фуксовой системы (2) с неприводимым набором матриц коэффициентов B1,..., Bn, т.е. такой системы, у которой невозможно выделить подсистемы постоянной заменой неизвестных функций. Это дает возможность эффективной проверки критерия положительной разрешимости проблемы Римана–Гильберта в классе фуксовых систем вида (2) с неприводимым набором матриц вычетов B1,..., Bn матрицы коэффициентов.

См. Болибрух А.А. 21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем M.: Наука, 1994. (Тр.

МИАН; Т. 206).

См. Болибрух А.А. Проблема Римана–Гильберта на компактной римановой поверхности // Тр. МИРАН. 2002. Т. 238. С. 55-69.

Кроме того показано, что условие существования полустабильной пары с заданной монодромией также является эффективно проверяемым. Это дает эффективное необходимое условие положительной разрешимости проблемы Римана–Гильберта.

В главе 4 исследована проблема Римана–Гильберта для регулярных систем. Особая точка ai называется регулярной, если решения при приближении к особой точке растут не быстрее некоторой степени. По определению cиz-ai стема регулярна тогда, когда все ее особые точки регулярные. И. Племелем в 1908 году был получен следующий результат:

Любое представление (3) может быть реализовано как представление монодромии регулярной системы (1).

При этом, ничего не было известно про структуру матрицы коэффициентов этой системы. Система линейных дифференциальных уравнений с рациональной матрицей коэффициентов может быть записана в виде:

n ri+j dy Bi = B(z)y, B(z) =, (5) dz (z - ai)j i=0 j=где ri называется рангом Пуанкаре системы в особой точке ai, это величина, на единицу меньшая порядка полюса. Основной является следующая теорема.

Теорема 4.1. Всякое представление (3) может быть реализовано как представление монодромии системы (5), фуксовой во всех точках, кроме одной, в которой она регулярна, причем ранг Пуанкаре в этой точке не превосходит величины (n - 1)(p - 1).

(n-2)p(p-2) Эта теорема улучшает аналогичную оценку + pn, полученную в книге Д.В. Аносова и А.А. Болибруха.Во втором разделе четвертой главы исследуется так называемая задача о биркгофовой стандартной форме. Рассмотрим систему r dy z = C(z) y, C(z) = Cnzn (6) dz n=См. Anosov D.V., Bolibruch A.A. The Riemann-Hilbert problem. Aspects of Мathematics. Braunschweig:

Vieweg, 1994.

из p линейных дифференциальных уравнений в некоторой окрестности O = {z C : |z| > R} иррегулярной особой точки z = ранга Пуанкаре r (Cr = 0). Пусть линейное калибровочное преобразование = (z)y (7) переводит систему (6) в систему вида d z = C(z), C(z) = Cr zr + · · · + C0, Cr = 0. (8) dz Преобразование (7) выбирается либо аналитическим (матрица (z) голоморфно обратима в O), и тогда говорят об аналитической эквивалентности систем, либо мероморфным (матрица (z) мероморфно обратима в O), и тогда говорят о мероморфной эквивалентности этих систем. Аналитическое преобразование не изменяет ранг Пуанкаре исходной системы, в то время как мероморфное преобразование может и повысить, и понизить ранг Пуанкаре. Следующую задачу называют задачей о биркгофовой страндартной форме.

Преобразовать с помощью калибровочного преобразования вида (7) систему (6) в систему вида (8) с рангом Пуанкаре r r.

Для случая аналитического преобразования (7) эта задача была в 1950-х годах решена Ф.Р. Гантмахером: им был построен контрпример.15 Два наиболее широких достаточных условия были получены Дж. Д. Биркгофом и А.А. Болибрухом. Для случая мероморфного преобразования эта задача до сих пор не решена. У нас исследуется другая задача: привести систему (6) к полиномиальному виду (8) с ограниченным ростом ранга Пуанкаре.

Теорема 4.2. Система (6) с помощью мероморфного преобразования (7) может быть переведена в систему (8) с матрицей коэффициентов C(z) полиномиального вида, где r 1 + r max pj.

1jm Через pi обозначены размерности диагональных блоков-подсистем исходной системы, т.е. pi p.

См. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004.

В заключение я хочу отметить определяющую роль академика Андрея Андреевича Болибруха, который был моим первым научным руководителем.

Он же поставил большую часть задач, решенных в диссертации.

Хочу выразить благодарность моему научному руководителю академику Дмитрию Викторовичу Аносову за помощь и поддержку в моей работе, а также руководителям и участникам семинара по аналитической теории дифференциальных уравнений, проходящего в МИРАН, вокруг которого после смерти А.А. Болибруха концентрировалась наша работа.

Список литературы [1] Вьюгин И.В., Гонцов Р.Р. О дополнительных параметрах в обратных задачах монодромии // Матем. сб. 2006. Т. 197. В. 12. С. 43-64.

Вьюгину И.В. принадлежат теоремы 1, 2, 3 и следствие 1, Гонцову Р.Р. принадлежат лемма 2 и доказательство леммы 1.

[2] Вьюгин И.В. О конструктивных условиях разрешимости проблемы Римана–Гильберта // Матем. заметки. 2005. Т. 77. В. 5. С. 643-655.

[3] Вьюгин И.В. Неразложимая фуксова система с разложимым представлением монодромии // Матем. заметки. 2006. Т. 80. В. 4. С. 501-508.

[4] Вьюгин И.В. О конструктивных условиях разрешимости проблемы Римана–Гильберта // Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль.

2004. С. 50-52.

[5] Вьюгин И.В. О фуксовых системах с разложимой монодромией // Тезисы докладов XXVI Кофнеренции молодых ученых МГУ. 2004. С. 32-33.

[6] Вьюгин И.В. О приведении мероморфной линейной системы к полиномиальному виду // Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 2006. С.

62-63.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»