WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.927.7 Вьюгин Илья Владимирович ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МОНОДРОМИИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ОСОБЕННОСТЕЙ Специальность 01.01.02 – дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре теории динамических систем механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, академик РАН, профессор Д. В. Аносов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент В. П. Лексин;

кандидат физико-математических наук В. А. Побережный.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение математического института имени В. А. Стеклова

Защита диссертации состоится 3 октября 2008 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механикоматематический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 2 сентября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор И. Н. Сергеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В работе изучается цикл задач аналитической теории линейных дифференциальных уравнений, тесно связанных с классической проблемой Римана–Гильберта и ее модификациями.

Основы аналитической теории линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами были заложены в середине XIX столетия в работах Б. Римана и Л. Фукса. Б. Риман исследовал скалярные уравнения, уделив особое внимание классу скалярных уравнений второго порядка с тремя особыми точками (полюсами коэффициентов), обладающих следующим свойством: решения в этих точках имеют не более, чем степенной рост (поскольку решения, вообще говоря, многозначные функции, то мы говорим о росте решений при стремлении аргумента к особой точке внутри некоторого сектора).1 Такие точки называются регулярными особыми точками. Л. Фукс исследовал скалярные уравнения произвольного порядка.2 Одно из наиболее известных его достижений состоит в том, что он полностью описал класс регулярных уравнений, то есть уравнений, все особые точки которых регулярны.

Систематическое исследование линейных систем вида dy = B(z)y (1) dz с мероморфной матрицей коэффициентов B(z) (заданной на всей сфере Римана или в некоторой области комплексной плоскости) началось несколько позже. Л. Соваж, А. Пуанкаре, Д. Гильберт, И. Племель, Л. Шлезингер, Дж.

Биркгоф и другие математики рубежа XIX-XX веков начали исследования этих систем с различных точек зрения. И.А. Лаппо-Данилевский в конце 20-х и начале 30-х годов XX века построил теорию таких систем на основе предложенного им метода матричных рядов.3 Их исследования получили свое дальнейшее развитие во второй половине прошедшего столетия в связи с применениями метода изомонодромных деформаций к задачам математической физики. Здесь можно выделить таких математиков современности, как Х. Рерль, А.Х.М. Левель, Б. Мальгранж, Й. Сибуйя, Ж-П. Рамис, М. Зингер. Особо отметим имя А.А. Болибруха, внесшего наибольший вклад в исследование обратных задач аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. Среди полученных им результатов основным является отрицательный См. Риман Б. Сочинения. Гостехтеоретиздат, 1948.

См. Fuchs L. Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coefficienten // Journal fur Math. 1866. V. 66. P. 121-160., 1868. V. 68. P. 354-385.

См. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Гостехтеоретиздат, 1957. 456 с.

ответ на вопрос 21-ой проблемы Гильберта (проблемы Римана–Гильберта) о возможности построения фуксовой системы линейных дифференциальных уравнений с заданной монодромией.4 Фуксовой называется система, особые точки матрицы B(z) коэффициентов которой суть полюса первого порядка.

Монодромия системы описывает характер ветвления решений в особых точках. Кроме собственно ответа на 21-ю проблему Гильберта, уже после первых работ А.А. Болибруха обнаружилось разнообразие ситуаций, связанных с этой проблемой или естественно примыкающих к ней.

Для решения 21-ой проблемы Гильберта А.А. Болибрух использовал сочетание результатов о локальном устройстве фундаментальной матрицы решений системы линейных дифференциальных уравнений, полученных А.Х.М.

Левелем,5 и геометрических методов, позволяющих связать локальные системы в глобальную. Для этого он использовал голоморфные векторные расслоения с мероморфными связностями. Впервые в данном круге вопросов расслоения со связностью были применены Х. Рерлем, но их широкое и разнообразное по своему характеру использование началось с работ А.А. Болибруха. Так, логарифмическая (т.е. та, формы которой имеют только простые полюса) связность в тривиальном расслоении эквивалентна фуксовой системе; верно и обратное фуксова система определяет логарифмическую связность в тривиальном расслоении. А.А. Болибрух построил семейство F всех возможных пар: голоморфное расслоение с логарифмической связностью, каждый элемент семейства F имеет заданную монодромию и набор особых точек. После этого решение проблемы Римана–Гильберта сводится к задаче отыскания тривиального расслоения в семействе F.

В последнее время теория обратных задач монодромии стала активно применяться к исследованию нелинейных уравнений и различных моделей математической физики. Многие известные уравнения математической физики, такие как: уравнения Пенлеве, уравнение Кортевега-де-Вриза, системы Гарнье и др., могут быть представлены как условия совместности семейств линейных систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную монодромию.

Цель работы. Целью работы является получение положительных решений некоторых вариантов проблемы Римана–Гильберта, а также получение необходимых и достаточных условий положительной разрешимости классической проблемы Римана–Гильберта (21-ой проблемы Гильберта для линейных фуксовых систем).

См. Болибрух А. А. Проблема Римана–Гильберта // УМН. 1990. Т. 45. В. 2(272). С. 3-47.

См. Levelt A. H. M. Hypergeometric functions. II // Proc. Konikl. Nederl. Acad. Wetensch. Ser. A. 1961.

V. 64. P. 373-385.

Методы исследования. В работе применяются методы аналитической теории дифференциальных уравнений, комплексного анализа и геометрические методы теории расслоений и связностей.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

• Доказано, что любое представление может быть реализовано как прямое слагаемое в представлении монодромии фуксовой системы. Получено условие при котором фуксова система с вполне приводимым представлением монодромии вида = 1 2 всегда имеет такой же вполне приводимый вид. На основе этого результата предложен новый метод построения контрпримеров к проблеме Римана–Гильберта в любой размерности. Приведена серия таких контрпримеров.

• Указан эффективный критерий проверки положительной разрешимости проблемы Римана–Гильберта для фуксовых систем с неприводимым набором коэффициентов. На основе этого получены наиболее сильные достаточные условия положительной разрешимости проблемы Римана–Гильберта.

• Доказано, что любое представление можно реализовать как представление монодромии регулярной системы, фуксовой везде, кроме одной точки, матрица коэффициетов которой имеет в этой точке полюс порядка не выше, чем (p-1)(n-1)+1, где p размерность, а n число особых точек. Доказано, что мероморфную линейную систему в окрестности иррегулярной особой точки z = можно привести мероморфным преобразованием к полиномиальному виду степени не выше rp, где p размерность, а r ранг Пуанкаре исходной системы в точке z =.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к аналитической теории дифференциальных уравнений и могут применяться к исследованию дифференциальных уравнений современной математической физики. При их помощи могут быть получены оценки порядков полюсов подвижных особенностей уравнения Шлезингера, в том числе, и для случая, когда монодромия деформируемой системы приводима.См. Гонцов Р.Р. О решениях уравнения Шлезингера в окрестности -дивизора Мальгранжа // Матем.

заметки. 2008. Т. 83. В. 5. С. 779-782.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

– На семинаре Отдела дифференциальных уравнений МИАН под руководством академика РАН Д.В. Аносова, д.ф.м.н., профессора Ю.С. Ильяшенко в 2006 году.

– В Отделе дифференциальных уравнений МИАН на семинаре по аналитической теории дифференциальных уравнений под руководством академика РАН Д.В. Аносова, д.ф.м.н. В.П. Лексина неоднократно в 2003-2008 годах.

– На семинаре кафедры динамических систем механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика РАН А.А. Болибруха, академика РАН Д.В. Аносова, д.ф.м.н., профессора В.М.

Закалюкина в 2003 году.

– На семинаре математического факультета университета RICE (г. Хьюстон, США) в 2007 году.

– На семинаре “Динамические системы” под руководством д.ф.м.н., профессора Ю.С. Ильяшенко в 2008 году.

– На XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 12-16 апреля 2004 года).

– На международной конференции “Особенности дифференциальных уравнений, интегрируемые системы и квантовые группы” (Страсбург, Франция, 24-27 ноября 2004 года).

– На международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10-15 июля 2006 года).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах [1–6], из них три работы в журналах из перечня ВАК.

Структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объем диссертации страниц.

Краткое содержание диссертации Работа в основном посвящена получению положительных решений различных модификаций проблемы Римана–Гильберта, а также получению необходимых и достаточных условий положительной разрешимости классической проблемы Римана–Гильберта.

Рассмотрим систему вида (1), состоящую из p линейных дифференциальных уравнений, с матрицей коэффициентов B(z), мероморфной на расширенной комплексной плоскости C (сфере Римана) и голоморфной вне множества особых точек a1,..., an. Систему (1) называют фуксовой в точке ai, если матрица коэффициентов B(z) имеет в точке ai полюс первого порядка (простой полюс). Система называется фуксовой, когда все ее особые точки фуксовы.

Фуксова система может быть представлена в виде:

n n dy Bi = B(z)y, B(z) =, Bi = 0, (2) dz z - ai i=i=причем последнее условие означает, что точка z = неособая. Фундаментальная матрица Y (z) системы (1) или (2) является голоморфной невырож денной матричной функцией на универсальном накрытии C \ {a1,..., an} проколотой сферы Римана. Столбцы фундаментальной матрицы определяют базис в пространстве решений системы, поэтому значения фундаментальной матрицы решений на разных листах универсального накрытия различаются умножением на постоянную невырожденную матрицу. Соответственно, каждому гомотопическому классу петель [], концы которых закреплены в некоторой неособой точке z0, соответствует матрица G. Сопоставление G определяет представление : 1(C \ {a1,..., an}, z0) - GL(p, C), (3) которое называется представлением монодромии системы линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим набор фиксированных петель 1,..., n с фиксированной начальной точкой z0, каждая из которых обходит ровно одну из особых точек a1,..., an в положительном направлении. Соответствующие им матрицы монодромии назовем G1,..., Gn. Эти матрицы являются образующими группы монодромии. Для матриц Gi, при естественном упорядочении аргументов ai - z0, должно выполняться соотношение G1 ·... · Gn = I, означающее тривиальность обхода вокруг всех особых точек.

Классическая проблема Римана–Гильберта заключается в следующем вопросе:

По любому ли представлению из (3) и набору особых точек a1,..., an можно построить фуксову систему (2), имеющую представление монодромии Как известно, классическая проблема Римана–Гильберта в общем случае имеет отрицательное решение. Существуют такие представления (3), которые невозможно реализовать как представления монодромии фуксовых систем (2) с особыми точками a1,..., an без введения дополнительных особенностей.

Первый такой пример был построен А.А. Болибрухом в 1989 году.7 Возникает вопрос, в качестве монодромии какой системы может быть реализовано данное представление В диссертации дано два ответа на этот вопрос (см. [1]).

Этому, в основном, посвящены вторая и четвертая главы диссертации. Другой важной темой, рассматриваемом в третьей главе, является исследование достаточных и необходимых условий разрешимости классической проблемы Римана–Гильберта. Третья глава, по сути, является продолжением и, в некоторой степени, завершает цикл работ Е. Эно и Е. Фивега,8 С. Малека,9 А.А.

Болибруха10 в части построения эффективного алгоритма проверки возможности построения стабильных и полустабильных расслоений с логарифмической связностью по представлению монодромии. Этот алгоритм дает возможность проверять самые широкие (из существующих) достаточные условия положительной разрешимости проблемы Римана–Гильберта. Эти условия также являются критерием положительной разрешимости проблемы Римана– Гильберта в классе фуксовых систем (2) с неприводимым набором матриц вычетов B1,..., Bn в особых точках a1,..., an матрицы коэффициентов (далее будем называть их просто матрицами коэффициентов).

Глава 1, вводная, содержит основные понятия и определения, а также некоторые технические леммы.

В главе 2 дан ответ на следующий вопрос, поставленный А.А. Болибрухом11:

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»