WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

В § 4.2 с использованием результатов, полученных в § 4.1, исследуется свойство наследственной -нормальности и, в частности, доказывается вышеприведенная теорема 21. Еще одним усилением теоремы Б.А.Ефимова является следующее утверждение: наследственно нормальный диадический компакт метризуем. Также получено обобщение теоремы Чобана 1979 года, а именно, доказано, что, если exp(X) наследственно -нормально, то X метризуемый компакт. В качестве еще одного следствия теоремы 21 получаем эквивалентность наследственной -нормальности пространства Cp(X) свойству совершенной нормальности Cp(X).

Пятая глава. В этой главе вводится новое понятие нормальности над классом топологических пространств. Пусть U некоторый класс топологических пространств. Топологическое пространство X называется нормальным над классом U или U-нормальным, если в X любые два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых принадлежит классу U, содержатся в непересекающихся окрестностях. Очевидно, все нормальные пространства U-нормальны для любого класса U. Отметим, что псевдонормальные пространства это в точности S-нормальные пространства, где S является классом всех счетных регулярных пространств. Пусть теперь Q некоторый другой класс топологических пространств. Класс U будем называть Q-стабильным, если для каждого X U и Y Q произведение X Y принадлежит U. Например, если L является классом всех линделёфовых пространств, то класс L является S-стабильным. Основным результатом § 5.1 является еще одно обобщение теоремы Катетова.

Теорема 24. Если произведение X Y является наследственно Uнормальным пространством, и класс U является Q-стабильным, то или каждое замкнутое подмножество пространства X, принадлежащее классу U, является регулярным Gm-множеством при m = min{|M| : M Q, M Y, M = M} или все подмножества пространства Y, принадлежащие классу Q, замкнуты.

Следствие. Если произведение X Y наследственно псевдонормально, то или всякое счетное замкнутое подмножество пространства X является регулярным G-множеством или все счетные подмножества пространства Y замкнуты.

Обозначим через C (соответственно, через K ) класс пространств, представимых в виде объединения счетного числа счетно компактных (соответственно, компактных) подпространств. Следствиями теоремы являются две теоремы о кубе: счетно компактное (соответственно, компактное) пространство, куб которого наследственно C-нормален (соответственно, наследственно K-нормален), метризуемо.

В § 5.2 более подробно рассматривается класс L-нормальных пространств, которые мы будем называть линделёф-нормальными. Заметим, что произведение 1 ( + 1 ) является наследственно линделёфнормальным пространством, но замкнутое множество LIM всех счетных предельных ординалов в 1 не является G-множеством в пространстве 1. Тем не менее, всякое замкнутое подмножество 1 со свойством Линделёфа является G-множеством, что, в частности, следует из теоремы 25, которая также является аналогом теоремы Катетова.

Теорема 25. Если произведение X Y наследственно линделёфнормально, то или всякое замкнутое подмножество со свойством Линделёфа пространства X является регулярным G-множеством или все счетные подмножества пространства Y замкнуты.

Следствием теоремы 25 является еще одна теорема о кубе: компакт, куб которого является наследственно линделёф-нормальным пространством, метризуем, причем в этой теореме условие компактности нельзя ослабить до условия счетной компактности.

Обозначим теперь через C класс пространств, представимых в виде счетного объединения счетно компактных совершенно нормальных сепарабельных подпространств.

Теорема 26. Если exp(X) является наследственно C-нормальным пространством, то X метризуемый компакт.

Следствие. [MA + ¬CH] Если пространство exp(X) является наследственно линделёф-нормальным пространством, то X метризуемый компакт.

В § 5.3 вводится и изучается свойство совершенной U-нормальности.

Регулярное пространство X называется совершенно U-нормальным, если замыкание A любого множества A X, такого, что A U, является функционально замкнутым множеством. В § 5.3 обобщается известная теорема Катетова о совершенно нормальных произведениях, причем следствием полученного обобщения теоремы Катетова является утверждение о том, что счетное произведение совершенно линделёфнормально в том и только в том случае, когда все конечные подпроизведения являются совершенно линделёф-нормальными пространствами.

§ 5.4 посвящен нормальным функторам в смысле Е.В.Щепина.

В.В.Федорчук доказал, что, если для какого-нибудь нормального функтора F степени 3 компакт F(X) наследственно нормален, то X метризуемый компакт. Т.Ф.Жураев по аналогии с теоремой Зенора о кубе заменил в теореме В.В.Федорчука наследственную нормальность компакта F(X) на наследственную счетную паракомпактность F(X). Понятие нормальности над классом пространств позволяет усилить эти результаты, а именно, следующая теорема является одновременным обобщением теорем В.В.Федорчука и Т. Ф. Жураева, причем метод доказательства восходит к работам М.Катетова и В.В.Федорчука.

Теорема 27. Если для какого-нибудь нормального функтора F степени 3 и компакта X пространство F(X)\X наследственно K-нормально, то X метризуемый компакт.

Шестая глава. В 1981 году Бранденбург в определении нормальности заменил непересекающиеся открытые множества, разделяющие замкнутые множества, замкнутыми G-множествами. Получившееся свойство D-нормальности оказалось одновременным обобщением нормальности и свойства быть пространством с измельчением.

Хорошо известно, что из совершенной нормальности экспоненциального пространства exp(X) следует компактность и метризуемость пространства X. Известны два разнородных обобщения этого утверждения.

В 1976 году В.В.Попов доказал, что если пространство exp(X) регулярно и совершенно, то X метризуемый компакт. М.М.Чобан доказал, что если пространство exp(X) наследственно нормально, то X метризуемый компакт. Основным результатом § 6.1 является теорема 28, представляющая собой одновременное обобщение теоремы В.В.Попова и теоремы М.М.Чобана.

Теорема 28. Если пространство exp(X) наследственно D-нормально, Жураев Т. Ф. Нормальные функторы и метризуемость бикомпактов // Вестн.

Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. №4. С. 8–11.

Brandenburg H. Separating closed sets by continuous mappings into developable spaces // Can. J. Math. 1981. V. 33. P. 1420–1431.

Попов В. В. О пространстве замкнутых подмножеств // ДАН СССР. 1976.

Т. 229. С. 1051–1054.

то X метризуемый компакт.

В 1997 году Д.В.Малыхин доказал, что счетно компактное нормальное вне диагонали пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности. Следующая теорема является усилением теоремы Д.В.Малыхина и основным результатом § 6.2.

Теорема 29. Счетно компактное пространство, являющееся регулярным и D-нормальным вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Седьмая глава. В этой главе рассматриваются прямоугольные покрытия. Семейство подмножеств X X называется прямоугольным, если = {U W : A}.

Грюнхаге и Пелант доказали, что каждое паракомпактное вне диагонали -пространство имеет диагональ типа G. Следующая теорема дополняет теорему Грюнхаге-Пеланта и является основным результатом § 7.Теорема 30. Паракомпактное -пространство X имеет G-диагональ в том и только в том случае, когда пространство X2 \ допускает локально-конечное (в X2 \ ) прямоугольное открытое покрытие.

Следствие. Паракомпактное p-пространство X метризуемо в том и только в том случае, когда пространство X2 \ допускает локальноконечное (в X2 \ ) прямоугольное открытое покрытие.

В § 7.2 рассматриваются счетные прямоугольные покрытия.

Теорема 31. Линделёфово -пространство X имеет G-диагональ в том и только в том случае, когда пространство X2 \ допускает счетное прямоугольное открытое покрытие.

Следствие. Линделёфово p-пространство X метризуемо в том и только в том случае, когда пространство X2 \ допускает счетное прямоугольное открытое покрытие.

Gruenhage G., Pelant J. Analytic spaces and paracompactness of X2 \ // Topology Appl. 1988. V. 28. P. 11–15.

В заключение отметим, что условие - в формулировке теоремы не может быть опущено. Соответствующие примеры были построены 60 А.Н.Якивчиком и Беннетом и Латцером.

Якивчик A. H. О диагональном числе топологических пространств // Вестн.

Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990. №6. С. 84–86.

Bennett H., Lutzer D. Off-diagonal metrization theorems// Topol. Proc. 1997.

V. 22. P.37–58.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ (Публикации [1] [21] из официального Перечня ВАК) [1] Комбаров А. П. О нормальности m-произведений // ДАН СССР.

1973. Т. 211. С. 524–527.

[2] Комбаров A.П. Нормальные -произведения // ДАН СССР.

1977. Т. 232. С. 1004–1007.

[3] Комбаров А.П. О тесноте и нормальности -произведений // ДАН СССР. 1978. Т. 239. С. 775–778.

[4] Комбаров А.П. О пространствах с точечно-счетной полубазой// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1981. №3. С. 28–31.

[5] Комбаров А.П. О замкнутых m-компактных отображениях и уплотнениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1981. №6. С. 70–72.

[6] Комбаров А.П. Об одной теореме А.Стоуна// ДАН СССР. 1983.

Т. 270. С. 38–40.

[7] Комбаров А.П. О компактности и секвенциальности по множеству ультрафильтров// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1985. №5.

С. 15–18.

[8] Комбаров А.П. Наследственная паракомпактность X2 и метризуемость X // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1988. № 2.

С. 79–81.

[9] Комбаров А.П. О F-счетно паракомпактных пространствах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1989. № 4. С. 91–93.

[10] Комбаров А.П. Замечание к теореме Катетова// Вестн. Моск. унта. Матем. Механ. 1990. №2. С. 82–83.

[11] Комбаров А.П. Теснота паракомпактных k-пространств и счетная паракомпактность F-множеств в произведениях// Вестн. Моск.

ун-та. Матем. Механ. 1990. №3. С. 87–89.

[12] Комбаров А.П. Псевдонормальность F-подмножеств X2 \ // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1991. №1. С. 85–87.

[13] Комбаров А.П. О теоремах Катетова и Зенора// Вестн. Моск. унта. Матем. Механ. 1992. №1. С. 102–104.

[14] Комбаров А.П. О слабой нормальности пространства X2 \ // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. №3. С. 40–44.

[15] Комбаров А.П. Счетная нормальность подмножеств exp(X)// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. №5. С. 97–99.

[16] Комбаров А.П. О свойствах типа нормальности в произведениях// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. №4. С. 64–66.

[17] Комбаров А.П. О свойствах типа счетной паракомпактности в произведениях// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. №3.

С. 25–28.

[18] Комбаров А.П. К теореме Катетова-Федорчука о кубе// Вестн.

Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. №5. С. 59–61.

[19] Комбаров А.П. О нормальных функторах степени 3 // Матем.

заметки 2004. Т. 76. С. 147–149.

[20] Комбаров А.П. О D-нормальности X2 \ //Успехи матем. наук 2004. Т. 59. С. 173–174.

[21] Комбаров А.П. О паранормальных пространствах // Матем. заметки 2007. Т. 81. С. 311–313.

[22] Kombarov A.P. On rectangular covers of X2 \ // Comment. Math.

Univ.Carolinae. 1989. V. 30 P. 81–83.

[23] Kombarov A. P. Weak normality, exp(X) and powers // Topology and Applications. International Topological Conference Dedicated to P.S.Alexandroff’s 100th Birthday. Moscow: “Phasis”, 1996. P.71– 72.

[24] Kombarov A.P. On expandable discrete collections// Topol. Appl.

1996. V. 69 P. 283–292.

[25] Kombarov A.P. Weak normality of subsets of exp(X)// Topol. Appl.

1997. V. 76 P. 157–160.

[26] Комбаров А.П. Слабая нормальность 2X и X// Фундаментальная и прикладная математика 1998. Т. 4. С. 135–140.

[27] Kombarov A.P. On F--normality and hereditary -normality // Topology Appl. 1999. V. 91. P. 221–226.

[28] Kombarov A.P. On Lindelf-normal spaces // Topology Appl. 2000.

V. 107. P. 117–122.

[29] Комбаров А.П. Свойства типа нормальности и ковариантные функторы// Фундаментальная и прикладная математика 2003.

Т. 9, № 2. С. 57–98. (Kombarov A.P. Normality-type properties and covariant functors// Journal of Mathematical Sciences 2003.

V. 131, № 4. P. 5738–5764.) [30] Kombarov A.P. On D-normality of X2 \ and hereditary D-normality of exp(X) // International Conference on Geometric Topology, Discrete Geometry and Set Theory (Dedicated to the centenary of L.V.Keldysh).

Moscow: Steklov Mathematical Institute RAS, 2004. P. 30–31.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»