WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

В § 1.6 внутренние характеристики компактов Корсона и Эберлейна распространяются на M-пространства. Пусть теперь является произведением отрезков. Напомним, что подпространство определяется как совокупность точек x = {x}, для которых множество индексов { A : x } является конечным для любого > 0. Подпространство называется -произведением отрезков. Компактные подмножества это в точности компакты Эберлейна, то есть компактные подмножества банаховых пространств в слабой топологии. Хорошо известны следующие внутренние характеристики компактов Корсона и Эберлейна: компакт X является компактом Корсона (Эберлейна) в том и только в том случае, когда X обладает точечно-счетной (-точечно-конечной) системой открытых F-множеств, T0-разделяющей 24,точки X. Обобщением характеристики компактов Корсона является теорема 8, в доказательстве которой свойство нормальности играет существенную роль.

Теорема 8. Пусть X является M-пространством. Тогда X гомеоморфно некоторому подпространству -произведения отрезков в том и только в том случае, когда X является нормальным пространством с точечно-счетной системой открытых F-множеств, T0-разделяющей Soc. 1976. V. 14. P. 501–516.

Архангельский А. В. О совершенных отображениях и уплотнениях //ДАН СССР.

1967. Т. 176. С. 983–986.

Rosenthal H.P. The heredity problem for weakly compactly generated Banach spaces// Compos. math. 1974. V. 28. P.83–111.

точки пространства X.

Обобщением внутренней характеристики компактов Эберлейна в классе M-пространств является теорема 9, также доказанная в § 1.6.

Теорема 9. Пусть X является M-пространством. Тогда следующие условия эквивалентны: 1. X гомеоморфно некоторому подпространству -произведения отрезков; 2. X паракомпакт с -точечно-конечной системой открытых F-множеств, T0-разделяющей точки X; 3. X является нормальным пространством с -точечно-конечной системой открытых F-множеств, T0-разделяющей точки X.

Вторая глава. Рассматривается свойство типа нормальности, определенное А.В.Архангельским. Пространство X называется слабо нормальным над классом P топологических пространств, если для любых двух замкнутых непересекающихся множеств F1 и F2 из X найдутся пространство P P и непрерывное отображение f : X P, такие, что f(F1) f(F2) =. Пространства, слабо нормальные над классом метрических сепарабельных пространств, называются слабо нормальными. Из леммы Урысона вытекает, что всякое нормальное пространство слабо нормально. Обратное утверждение неверно, поскольку, например, любое пространство, уплотняющееся на метрическое сепарабельное пространство, слабо нормально и даже наследственно слабо нормально. Уместно заметить, что понятие слабо нормального пространства было введено А.В.Архангельским в связи с теорией расщепляемых пространств. Слабая нормальность является одновременным обобщением свойств нормальности и расщепляемости. Примером слабо нормального пространства, не являющимся ни нормальным ни расщепляемым пространством, является общеизвестная плоскость Тихонова: ((1 + 1 ) ( + 1 ) ) \ {(1, )}.

В § 2.1 рассматривается слабая нормальность экспоненциального пространства. Поскольку из нормальности экспоненциального пространства Arhangel’skii A. V. Divisibility and cleavability of spaces.// Recent Developments of General Topology and its Applications. Math. Research 67. Berlin: Academie-Verlag, 1992. P.13–26.

Arhangel’skii A. V. A survey of cleavability // Topology Appl. 1993. V. 54.

P. 141–163.

exp(X) по теореме Ивановой следует счетная компактность пространства X, получаем, что из условия “exp(X) нормально”, содержащегося в теореме Величко, следует условие “X счетно компактно и exp(X) слабо нормально”. Поэтому следующая теорема является обобщением теоремы Величко.

Теорема 10. Пусть X счетно компактно и exp(X) слабо нормально.

Тогда пространство X является компактом.

Показывается, что слабая нормальность (даже наследственная слабая нормальность) пространства exp(X) не влечет компактность X.

Иными словами, условие счетной компактности пространства X в формулировке теоремы 10 является существенным, и в этом смысле теорема 10 неулучшаема.

В § 2.2 получено обобщение теоремы Нобла о нормальности степеней, а именно, доказано, что пространство X компактно в том и только в том случае, когда любая степень пространства X слабо нормальна.

Основным результатом § 2.3 является следующая теорема, представляющая собой усиление вышеупомянутого результата из работы.

Теорема 11. Слабо нормальный вне диагонали компакт удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Третья глава посвящена изучению слабых форм счетной паракомпактности. В § 3.1 с помощью хорошо известной характеристики счетно паракомпактных пространств (см., 5.2.1) вводится новый класс -счетно паракомпактных пространств. Всякое счетно паракомпактное пространство -счетно паракомпактно. В § 3.1 доказывается, что каждое псевдонормальное (а значит, и каждое нормальное) пространство -счетно паракомпактно. Доказывается аналог теорем Катетова и Зенора для наследственно -счетно паракомпактных произведений.

В § 3.2 с использованием характеристики счетно паракомпактных пространств, предложенной Мансфилдом (см., 5.5.17), вводятся слабые формы счетной паракомпактности sE, E и wE. Пространство X Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир: 1986.

обладает свойством sE (соответственно, E ), если каждая счетная дискретная система {Fi : i < } замкнутых счетных подмножеств (соответственно, одноточечных подмножеств) пространства X “раздувается” до локально конечной системы открытых подмножеств. Пространство X обладает свойством wE, если каждое бесконечное замкнутое дискретное подмножество пространства X содержит бесконечное подмножество, точки которого “раздуваются” до локально конечной системы открытых подмножеств. Доказывается, что всякое -счетно паракомпактное пространство обладает свойством sE.

В § 3.3 изучаются замкнутые отображения на q-пространства. Известно, что, если f является замкнутым отображением пространства X на q-пространство Y, то граница полного прообраза f-1(y ) является счетно компактным множеством для каждого y Y, если пространство 53 X нормально или является счетно паракомпактным пространством.

Следующая теорема является одновременным обобщением теорем Майкла и Харлея.

Теорема 12. Пусть пространство X обладает свойством wE, пространство Y является q-пространством и отображение f : X Y пространства X на пространство Y замкнуто.

Тогда граница Fr(f-1(y ) ) является счетно компактным множеством для каждой точки y Y.

Приводится пример, показывающий, что свойство wE в условии теоремы 12 является существенным.

В § 3.4 доказываются теоремы, являющиеся аналогами теоремы Зенора о наследственной счетной паракомпактности произведения для введенных свойств типа счетной паракомпактности. Основным результатом § 3.4 является следующая теорема.

Теорема 13. Если любое подпространство произведения X Y обладает свойством sE, пространство Y регулярно и содержит счетное незамкнутое подмножество, то каждое счетное замкнутое подмноMichael E. A note on closed maps and compact sets// Israel J. Math. 1964. V. P. 173–176.

Harley P.W. On countably paracompact spaces and closed maps// Portug. Math.

1989. V. 46 P. 115–119.

жество пространства X является G-множеством.

Пусть Q некоторое топологическое свойство. Будем говорить, что пространство X обладает свойством точечно-Q (соответственно, обладает свойством F-Q; обладает свойством Q вне диагонали), если для каждой точки x X подпространство X \ {x} (соответственно, каждое F-подмножество пространства X; пространство X2 \ ) обладает свойством Q.

Теорема 14. Если произведение XY обладает свойством точечно-FsE, пространство Y регулярно и содержит счетное незамкнутое подмножество, то каждая точка пространства X является G-точкой.

Теорема 15. Если произведение X Y обладает свойством точечно-E и Y содержит счетное незамкнутое подмножество M с единственной предельной точкой y Y, то каждая точка пространства X является G-точкой.

Теорема 16. Если произведение X Y обладает свойством точечноwE и Y содержит сходящуюся последовательность, то каждая точка пространства X является G-точкой.

Следствие. Пусть X является бесконечным компактом. Тогда пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности в том и только в том случае, когда X2 обладает свойством точечно-wE и X содержит сходящуюся последовательность + 1.

Приводится пример, показывающий, что условие X + 1 является существенным и не может быть опущено.

В § 3.5 показывается, что несчетное произведение неодноточечных пространств обязательно содержит подпространства, не обладающие свойством wE. Также в § 3.5 доказывается, что точечно-wE диадический компакт метризуем. Это утверждение является значительным усилением известной теоремы Б.А.Ефимова (см., 3.12.12(k )), доказавшего метризуемость наследственно нормального диадического компакта.

В § 3.6 рассматриваются свойства типа счетной паракомпактности в пространстве X2 \. В частности, доказывается теорема 17.

Теорема 17. Компакт, обладающий свойством F-sE вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности в каждой точке некоторого всюду плотного множества.

Заметим, что пример компакта X = 1 + 1 показывает, что даже из F-псевдонормальности пространства X2 \ не следует первая аксиома счетности во всех точках X. Ситуация меняется, если Fпсевдонормальность усилить до F-счетной паракомпактности и воспользоваться дополнительным теоретико-множественным предположением PFA, являющимся мощной версией известной аксиомы Мартина.

Теорема 18. [PFA] Компакт, являющийся F-счетно паракомпактным вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Основным результатом § 3.7 является следующая теорема.

Теорема 19. Если экспоненциальное пространство exp(X ) регулярно и обладает свойством точечно-E, то пространство X является наследственно сепарабельным совершенно нормальным счетно компактным пространством.

В § 3.8 рассматриваются паранормальные в смысле Ван Дауэна пространства. Регулярное пространство X называется паранормальным, если для любой дискретной последовательности {Fn : n < } замкнутых подмножеств X найдутся открытые множества {Un,k : n, k < }, такие, что Fn Un,k для всех n, k <, и {Un,k : n, k < } =. Паранормальность была введена Ван Дауэном в связи с попыткой одновременного обобщения классических теорем Катетова и Зенора о наследственно нормальных и наследственно счетно паракомпактных произведениях.

Ван Дауэн полагал, что (регулярные) счетно паракомпактные пространства паранормальны (, p. 63), то есть, что паранормальность является слабой формой счетной паракомпактности, что неверно, поскольку справедлива теорема 20.

Теорема 20. Класс паранормальных пространств совпадает с классом нормальных пространств.

В статье сформулированы следующие вопросы. 1) Если пространство Y содержит замкнутое подмножество, не являющееся регулярным G-множеством, а пространство X содержит счетное незамкнутое подмножество, то содержит ли произведение X Y подпространство, не являющееся паранормальным (, p.64) 2) Если D является замкнутым дискретным подмножеством паранормального пространства X, то верно ли, что 2|D| 2d(X) (, p.65) Доказанная теорема позволяет дать положительные ответы на эти вопросы Ван Дауэна. Отметим в связи со вторым вопросом, что для паранормальных пространств Ван Дауэн получил более слабую оценку |D| < 2d(X).

Четвертая глава. Основным результатом четвертой главы является решение проблемы одновременного обобщения теоремы Катетова 1948 го11 да и теоремы Зенора 1971 года, а именно, в этой главе доказывается теорема 21.

Теорема 21. Если произведение X Y наследственно -нормально, то или пространство X совершенно нормально или все счетные подмножества пространства Y замкнуты.

Следствие. Счетно компактное пространство, куб которого является наследственно -нормальным пространством, метризуемо.

Основное определение содержится в работе Дж.Мака. Пространство называется -нормальным, если любые два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых является регулярным Gмножеством, содержатся в непересекающихся окрестностях. При этом подмножество G топологического пространства называется регулярным G-множеством, если оно является пересечением счетного числа замкнутых множеств, внутренности которых содержат множество G. Всякое нормальное пространство, очевидно, -нормально. Мак доказал, что каждое счетно паракомпактное пространство является -нормальным.

Таким образом свойство -нормальности является одновременным обобщением нормальности и счетной паракомпактности. В той же работе Мак получил аналог теоремы Даукера: пространство X счетно паракомпактно в том и только в том случае, когда произведение X [0; 1] является -нормальным пространством.

В §4.1 изучаются F--нормальные пространства. В 1976 году Зенор Mack J. Countable paracompactness and weak normality properties// Trans. Amer.

Math. Soc. 1970. V. 148 P. 265–272.

(см., 5.5.16(b)) доказал, что если все F-подмножества произведения X Y являются счетно паракомпактными пространствами, то либо X нормально, либо все счетные подмножества пространства Y замкнуты.

Основным результатом § 4.1 является следующая теорема, представляющая собой обобщение вышеприведенной теоремы Зенора.

Теорема 22. Если произведение X Y является F--нормальным, то либо X нормально и счетно паракомпактно, либо все счетные подмножества пространства Y замкнуты.

В качестве приложения теоремы 22 получаем еще одно обобщение теоремы Нобла о нормальности степеней: пространство X является компактом в том и только в том случае, когда любая степень пространства X является F--нормальным пространством, причем показывается, что условие F--нормальности не может быть ослаблено до условия -нормальности. Еще одно применение теоремы 22 односится к экспоненциальным пространствам, а именно, справедливо следующее усиление теоремы Величко.

Теорема 23. Если экспоненциальное пространство exp(X) является F--нормальным пространством, то X является компактом.

Показывается, что в теореме 23 нельзя ослабить условие F-нормальности до условия -нормальности. Далее, из теоремы 22 выводится эквивалентность свойств F--нормальности и нормальности для пространства Cp(X) непрерывных действительнозначных функций в топологии поточечной сходимости.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»