WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Л.Б.Шапиро. В середине 70-х годов Е.В.Щепин, выделив ряд естественных условий, ввел важное понятие нормального функтора, включающее в себя и степенной функтор и конструкцию экспоненциального пространства. В 1989 году В.В.Федорчук доказал теорему: если для какого-нибудь нормального функтора F степени 3 компакт F(X) наследственно нормален, то X метризуемый компакт. Теорема Федорчука является обобщением классической теоремы Катетова о кубе.

М.М.Чобан доказал, что если экспоненциальное пространство exp(X) является наследственно нормальным пространством, то X метризуемый компакт.

Понятие нормального пространства появилось в прошлом веке на начальном этапе развития общей топологии, возникновение которой оказалось следствием перестройки оснований математического анализа, происходившей в течение девятнадцатого века. По образному выражению известнейшего американского тополога М.Э.Рудин “понятие нормальности находится на границе, где теоретико-множественная топология переходит от математического анализа к теории множеств”. Таким образом, естественной задачей общей топологии является задача выяснения границ действия многих результатов, вовлекающих свойства нормальности и счетной паракомпактности, в случае, когда эти свойства заменяются на более общие топологические свойства, близкие к нормальности или счетной паракомпактности. При этом возможны следующие обобщения свойства нормальности: 1) можно ослаблять условия на функции, разделяющие замкнутые множества; 2) можно сужать класс разделяемых замкнутых множеств; 3) можно расширять класс множеств, с помощью которых разделяются замкнутые множества. Все три логические возможности рассматриваются и исследуются в диссертации.

Общеизвестно, что аксиомы Ti, i 31, сохраняются тихоновскими Шапиро Л. Б. Об однородности диадических бикомпактов// Матем. заметки.

1993. Т. 54, № 4. С. 117–139.

Федорчук В. В. К теореме Катетова о кубе // Вестн. Моск. ун-та. Матем.

Механ. 1989. №4. С. 93–96.

Чобан М. М. Многозначные отображения и их приложения: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Тбилиси, 1979.

Grunberg R., Junqueira L.R., Tall F.D. Forcing and normality// Topol. Appl.

1998. V. 84 P. 145–174.

произведениями. Простейшие примеры показывают, что свойство нормальности (аксиома T4) разрушается даже при возведении пространства в квадрат. Таким образом среди общих проблем в этом направлении естественно выделить следующие: (I) Нахождение достаточных условий, при выполнении которых подпространство произведения или само произведение обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности. (II) Выяснение характера ограничений на сомножители, которые накладывает условие типа нормальности или счетной паракомпактности, выполняющееся в подмножествах произведения. (III) Выяснение характера ограничений на пространство X, которые накладывает условие, что пространство F(X) обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности, если F некоторый нормальный функтор. Проблемы I, II и III, а также проблема выяснения границ, внутри которых остаются справедливыми аналоги классических теорем о произведениях и экспоненциальных пространствах, вместе с вышеприведенной проблемой одновременного обобщения теорем Катетова и Зенора и послужили отправными моментами диссертационной работы.

Цель работы изучение классов топологических пространств, близких к нормальным и к счетно паракомпактным пространствам, усиление ряда результатов, касающихся нормальности и счетной паракомпактности в тихоновских произведениях, экспоненциальных пространствах, пространствах вида F(X), где F некоторый нормальный функтор, решение ряда естественных задач общей топологии, относящихся к свойствам типа нормальности и счетной паракомпактности.

Основные методы исследования. Используются различные методы общей топологии, и в частности, методы теории кардинальнозначных инвариантов; методы комбинаторной теории множеств, методы теории нормальных функторов, а также оригинальные методы и подходы, в том числе, специально разработанный метод изучения топологии пространства с помощью новых понятий секвенциальности и компактности по непустому множеству свободных ультрафильтров.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) Доказана эквивалентность свойства нормальности -произведения паракомпактных p-пространств свойству счетности тесноты пространства.

2) Решена поставленная Ван Дауэном проблема одновременного обобщения теоремы Катетова 1948 года и теоремы Зенора 1971 года, а именно, доказано, что, если произведение X Y наследственно -нормально, то или пространство X совершенно нормально или все счетные подмножества пространства Y замкнуты. В частности, доказано, что счетно компактное пространство, куб которого наследственно -нормален, является метризуемым компактом.

3) Доказано, что класс паранормальных в смысле Ван Дауэна пространств совпадает с классом нормальных пространств. Полученный результат позволил дать ответы на некоторые вопросы, поставленные Ван Дауэном в 1980 году.

4) Доказано, что, если для какого-нибудь нормального функтора F степени 3 и компакта X пространство F(X) \ X наследственно Kнормально, то X метризуемый компакт.

5) Доказано, что пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности в следующих случаях: (1) если X компакт, слабо нормальный вне диагонали; (2) если выполняется теоретико-множественное предположение PFA и X компакт, F-счетно паракомпактный вне диагонали; (3) если X счетно компактное пространство, регулярное и D-нормальное вне диагонали.

6) Доказана эквивалентность утверждений: (1) пространство X является компактом; (2) пространство X счетно компактно и экспоненциальное пространство exp(X) является слабо нормальным пространством;

(3) пространство exp(X) является F--нормальным пространством.

7) Доказана эквивалентность утверждений: (1) пространство X является метризуемым компактом; (2) пространство exp(X) является наследственно -нормальным пространством; (3) пространство exp(X) является наследственно C-нормальным пространством; (4) пространство exp(X) является наследственно D-нормальным пространством.

8) Доказана эквивалентность утверждений: (1) пространство X компактно; (2) любая степень пространства X является слабо нормальным пространством; (3) любая степень пространства X является F-нормальным пространством.

9) Внутренние характеристики компактов Корсона и Эберлейна распространены на существенно более широкий класс M-пространств, введенных Моритой.

10) Получены аналоги теоремы Зенора о наследственной счетной паракомпактности произведения для слабых форм счетной паракомпактности. Доказано, что точечно-wE диадический компакт метризуем.

11) Доказано, что для пространства Cp(X) непрерывных действительнозначных функций в топологии поточечной сходимости свойство F-нормальности эквивалентно свойству нормальности, а свойство наследственной -нормальности эквивалентно свойству совершенной нормальности.

12) Доказано, что паракомпактное -пространство X имеет Gдиагональ в том и только в том случае, когда пространство X2 \ допускает локально-конечное (в X2 \) прямоугольное открытое покрытие. В частности, паракомпактное p-пространство X метризуемо в том и только в том случае, когда пространство X2 \ допускает локальноконечное (в X2 \ ) прямоугольное открытое покрытие.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в различных разделах общей топологии: в теории сходимости, в теории кардинальнозначных инвариантов, в топологических вопросах теории категорий, в теории пространств отображений и, в частности, в теории топологических пространств функций.

Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре по общей топологии имени П.С.Александрова под руководством профессоров В.В.Федорчука, Morita K. Products of normal spaces with metric spaces // Math. Ann. 1964.

V. 154. P.365–382.

А.В.Архангельского, Б.А.Пасынкова, В.И.Пономарева, В.В.Филиппова, на научной конференции “Ломоносовские чтения”, на Общемосковском топологическом семинаре, на Международной топологической конференции, посвященной 100-летию П.С.Александрова (Москва, 1996), на Всероссийских и международных топологических конференциях “Александровские чтения” (1998 2006), на Всесоюзных и международных конференциях и симпозиумах по топологии и её приложениям (Минск, 1977; Тирасполь, 1979, 1985, 1991; Ленинград, 1982; Приморско(Болгария), 1984; Баку, 1987; Берн(Швейцария), 1991; Киев, 1992;

Прага (Чехия), 1981, 1988, 1996, 2001; Кралево-Матарушка Баня (Югославия), 1998; Львов, 2002; Эгион (Греция), 2006), на Международной конференции по геометрической топологии, дискретной геометрии и теории множеств, посвященной столетию Л.В.Келдыш (Москва, 2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация объемом 211 страниц состоит из введения, семи глав, разбитых на 27 параграфов, и списка литературы из 185 наименований, включая 30 работ автора.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение. Во введении изложена краткая история вопроса, показана актуальность рассматриваемых задач, сформулированы основные результаты.

Первая глава. Исследуются классические свойства нормальности и счетной паракомпактности в произведениях. Основным результатом первой главы является доказанная в § 1.3 теорема 1, являющаяся усилением ряда теорем, принадлежащих Корсону, М.Э. Рудин, С.П. Гулько.

Теорема 1. Пусть является -произведением паракомпактных pпространств. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1. теснота счетна; 2. коллективно нормально; 3. нормально; 4.

нормально и счетно паракомпактно.

Также в § 1.3 рассматриваются вопросы, связанные с нормальностью m-произведений. Доказывается следующие теоремы.

Теорема 2. Если любое конечное произведение пространств X, A, нормально, и все X являются m-ограниченными пространствами тесноты m, то m-произведение пространств X, A, нормально и является m-ограниченным пространством.

Теорема 3. Если m является m-произведением компактов, то теснота пространства m не превосходит m в том и только в том случае, когда пространство m нормально.

Приводится пример ненормального m-произведения компактов, показывающий существенность условия, налагаемого на тесноту.

В § 1.4 изучаются -произведения. Согласно определению, принадлежащему Корсону, -произведение пространств состоит из всех тех точек -произведения, которые отличаются от фиксированной точки лишь на конечном числе координат. В § 1.4 доказывается теорема 4.

Теорема 4. -Произведение пространств, любое конечное произведение которых является тихоновским m+-финально компактным (соответственно, является паракомпактным) пространством, является m+финально компактным (соответственно, паракомпактным) пространством.

Известны примеры ненормальных -произведений пространств, любое конечное произведение которых нормально. В § 1.4 получены достаточные условия нормальности -произведения:

Теорема 5. Если любое конечное произведение пространств X, A, нормально и все пространства X являются m-компактными (соответственно, m-ограниченными) пространствами характера (соответственно, тесноты) m, то -произведение пространств X, A, нормально и m-паракомпактно.

§ 1.1 имеет вспомогательный характер, но в то же время представляет и самостоятельный интерес, поскольку в этом параграфе определяются и Chiba K. The strong paracompactness of -products // Scientiae Math. 1999.

V. 2. P. 285–292.

изучаются новые понятия секвенциальности и компактности по непустому множеству ультрафильтров P \. Понятие секвенциальности по множеству ультрафильтров позволяет дать единое описание секвенциальных пространств и пространств счетной тесноты. Параллельно в § 1.1 вводятся понятия сильно (слабо) P-компактных пространств. Сильно ( слабо) P-компактные пространства охарактеризованы с помощью замкнутых проекций. Выясняются условия, при выполнении которых произведение является секвенциальным по множеству ультрафильтров.

В частности, доказывается Теорема 6. Произведение двух слабо P-секвенциальных пространств, одно из которых локально сильно P-компактно, является слабо Pсеквенциальным.

При P= \ получаем, что произведение двух пространств счетной тесноты, одно из которых является локально -ограниченным, имеет счетную тесноту, что является усилением известной теоремы В.И.Малыхина, доказавшего, что теснота произведения двух пространств счетной тесноты, одно из которых локально компактно, счетна.

Предложенный метод изучения топологии пространства с использованием свободных ультрафильтров использован в § 1.2 для доказательства теорем о нормальности произведения двух пространств.

Теорема 7. Произведение сильно (соответственно, слабо) Pсеквенциального паракомпакта и нормального слабо (соответственно, сильно) P-компактного пространства коллективно нормально и счетно паракомпактно.

20 Теорема 7 является усилением теорем Стоуна, Дьедонне, 10 Нобла и автора. Также в § 1.2 с помощью результатов 46 В.В.Федорчука и А.Осташевского доказывается, что невозможен Малыхин В. И. О тесноте и числе Суслина в exp X и в произведении пространств // ДАН СССР. 1972. Т. 203. C. 1001–1003.

Комбаров А. П. О произведении нормальных пространств. Равномерности на -произведениях // ДАН СССР. 1972. Т. 205. С. 1033–1035.

Федорчук В. В. Вполне замкнутые отображения и совместимость некоторых теорем общей топологии с аксиомами теории множеств// Матем. сб. 1976. Т.99.

С. 3–33.

Ostaszewski A. J. On countably compact, perfectly normal spaces// J.London Math.

положительный ответ на естественно возникающий вопрос: нормально ли произведение паракомпакта счетной тесноты и нормального счетно компактного пространства Далее, показывается, что нормальность произведения паракомпакта счетной тесноты и совершенно нормального счетно компактного пространства не зависит от аксиом теории множеств ZFC. Отметим, что вопрос о существовании “наивного” примера ненормального произведения паракомпакта счетной тесноты и нормального счетно компактного пространства остается открытым.

§ 1.5, результаты которого затем используются в § 1.6, посвящен замкнутым m-компактным отображениям и уплотнениям. Попутно усиливаются результаты работы А.В.Архангельского.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»