WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ на правах рукописи УДК 515.12 Комбаров Анатолий Петрович ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТИПА НОРМАЛЬНОСТИ И СЧЕТНОЙ ПАРАКОМПАКТНОСТИ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 01.01.04 геометрия и топология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук МОСКВА 2007 Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механикоматематического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А. В. Иванов доктор физико-математических наук, профессор П. В. Семенов доктор физико-математических наук, профессор Л. Б. Шапиро Ведущая организация: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН Защита диссертации состоится 2007 г. в 16 ч. 15 мин.

на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механикоматематического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Чубариков ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Класс нормальных пространств, занимающий одно из центральных мест в общей топологии, был определен в 1923 году 1 2 Титце и в 1924 году П.С.Александровым и П.С.Урысоном. Свойство 3 нормальности ранее появилось и у Вьеториса. Условие нормальности топологического пространства, состоящее в том, что “всякие два лежащих в нем непересекающихся замкнутых множества имеют непере4 секающиеся окрестности”, является некоторым естественным ограничением на топологию пространства. Такого рода ограничения принято называть аксиомами отделимости. Возникновение аксиом отделимости связано с именами Ф. Хаусдорфа, Ф. Рисса, Л. Вьеториса, Г. Титце, П. С. Александрова, П. С. Урысона, А. Н. Колмогорова, А. Н. Тихонова.

Хорошо известно, что упомянутое выше “внутреннее” определение нормальности может быть сформулировано и “внешним” образом, поскольку важнейшим характеристическим свойством нормальных пространств является фундаментальная лемма Урысона о возможности функционального разделения непересекающихся замкнутых множеств в нормальном пространстве.

Класс счетно паракомпактных пространств был независимо введен в 6 1951 году Даукером и Катетовым. Топологическое пространство называется счетно паракомпактным, если в каждое его счетное открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие. Даукер Tietze H. Beitrge zur allgemeinen Topologie I // Math. Ann. 1923. V. 88.

P. 290–312.

Alexandroff P., Urysohn P. Zur Theorie der topologischen Rume// Math.Ann.

1924. V.92. P.258–266.

Vietoris L. Stetige Mengen// Monatsh. fr Math. und Phys. 1921. V.31. P.173– 204.

Александров П. С., Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. М.: Наука, 1971.

Urysohn P. ber die Mchtigkeit der zusammenhngenden Mengen // Math.Ann.

1925. V.94. P.262–295.

Dowker C.H. On countably paracompact spaces // Canad. Journ. of Math. 1951.

V. 3. P. 219–224.

Kattov M. Measures in fully normal spaces // Fund. Math. 1951. V. 38.

P.73–84.

доказал, что топологическое пространство X нормально и счетно паракомпактно в том и только в том случае, когда произведение X [0; 1] нормально. Нормальные пространства, не являющиеся счетно паракомпактными, получили название даукеровских. Задача построения даукеровского пространства двадцать лет была известной задачей общей топологии и была решена в 1971 году М.Э.Рудин.

В общей топологии и её приложениях большое значение имеет конструкция тихоновского произведения. Широко известны теоремы общей топологии, характеризующие топологические свойства пространств в терминах нормальности произведений. Теорема Даукера только что упоминалась. Напомним еще несколько примеров. Тамано доказал, что пространство X является паракомпактом в том и только в том случае, когда произведение X X нормально. Яджима в 1998 году показал, что для тихоновского пространства X нормальность подпространства (X X) (X X) квадрата (X X)2 эквивалентна линделёфовости пространства X. В 1971 году Нобл доказал, что пространство компактно в том и только в том случае, когда любая степень этого пространства нормальна. Согласно знаменитой теореме Катетова 1948 года, если произведение X Y наследственно нормально, и пространство Y содержит счетное незамкнутое множество, то каждое замкнутое подмножество пространства X является G-множеством. В 1971 году Зенор показал, что, если произведение X Y наследственно счетно паракомпактно, то либо X совершенно нормально, либо все счетные дискретные подпространства Y замкнуты в Y. Естественно возникающая проблема одновременного обобщения теоремы Катетова и теоремы Зенора была поставлена в 1980 году в работе Ван Дауэна. Непосредственным следRudin M.E. A normal space X for which X I is not normal// Fund. Math. 1971.

V. 73. P.179–176.

Yajima Y. Analogous results to two classical characterization of covering properties by products// Topology Appl. 1998. V. 84. P. 3–7.

Noble N. Products with closed projections II// Trans. Amer. Math. Soc. 1971.

V. 160 P. 169–183.

Kattov M. Complete normality of Cartesian products // Fund. Math. 1948.

V. 35. P. 271–274.

Zenor P. Countable paracompactness in product spaces// Proc. Amer. Math. Soc.

1971. V.30. P.199–201.

van Douwen E. K. Covering and separation properties of box products // Surveys in ствием теоремы Катетова является метризуемость компакта, куб которого наследственно нормален, и совершенная нормальность компакта, квадрат которого наследственно нормален. В 1948 году Катетов поставил свою знаменитую проблему о метризуемости компакта, квадрат которого наследственно нормален. Контрпример в предположении MA+¬CH был построен в 1977 году Никошем. Другой контрпример в предположении CH был построен в 1993 году Грюнхаге. В 2002 году Ларсон и Тодорчевич форсингом построили модель теории множеств, в которой справедлив положительный ответ на проблему Катетова, и тем самым доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC. В связи с проблемой Катетова Грюнхаге в 1984 году доказал, что из наследственной паракомпактности квадрата компакта следует его метризуемость, и более того, из паракомпактности подпространства X2 \ следует метризуемость X, если X компакт. В 1990 году в работе было доказано, что компакт X, нормальный вне диагонали, то есть такой, что пространство X2 \ нормально, удовлетворяет первой аксиоме счетности. В 1993 году Грюнхаге построил пример нормального вне диагонали компакта, не являющегося совершенно нормальным. В году Д.В.Малыхин доказал, что счетно компактное нормальное вне диагонали пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности. В знаменитой работе А.Стоуна 1948 года, посвященной доказательству паракомпактности метрических пространств, устанавливаются некоторые General Topology/ G.M.Reed, ed. New York: Academic Press, 1980. P. 55–129.

14 Nyikos P. A compact nonmetrizable space P such that P is completely normal// Topology Proc. 1977. V. 2. P. 359–363.

Gruenhage G., Nyikos P.J. Normality in X2 for compact X// Trans. Amer. Math.

Soc. 1993. V. 340. P. 563–586.

Larson P., Todorevi S. Kattov’s problem// Trans. Amer. Math. Soc. 2002.

V. 354 P. 1783–1791.

Gruenhage G. Covering properties on X2 \, W -sets, and compact subsets of products// Topol. Appl. 1984. V. 17 P. 287–304.

Arhangel’skii A. V., Kombarov A. P. On -normal spaces // Topology Appl. 1990.

V. 35. P. 121–126.

Малыхин Д. В. Счетно компактное -нормальное пространство имеет счетный характер// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1997. №5. С. 31–33.

Stone A. H. Paracompactness and product spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1948.

V. 54. P. 977–982.

достаточные условия нормальности произведения двух пространств, а именно, произведение метрического пространства и нормального счетно компактного пространства нормально. В 1958 г. Дьедонне доказал более общую теорему: произведение паракомпакта с первой аксиомой счетности и нормального счетно компактного пространства нормально.

В той же работе А.Стоуна доказана ненормальность произведения несчетного числа копий пространства натуральных чисел.

Важную роль при изучении несчетных произведений играют произведения. -произведение определяется как подпространство произведения, состоящее из всех точек, отличающихся от некоторой фиксированной точки только на счетном числе координат. -произведения были определены в 1959 году Корсоном, но сама конструкция -произведения была известна гораздо раньше. Ещё в 1938 году Л.С.Понтрягин использовал конструкцию -произведения для построения примера счетно компактного некомпактного пространства. Естественно рассматривать -произведения, не совпадающие с произведением пространств. -произведения являются “наиболее просто устроенными” всюду плотными подпространствами несчетных произведений и значительно отличаются по своим топологическим свойствам от произведений. Например, -произведение не может быть сепарабельным пространством, наследственно нормальным пространством, паракомпактным пространством. Эти и многие другие “экзотические” свойства произведений позволяют использовать их в качестве инструмента для построения контрпримеров в общей топологии. Но -произведения обладают и рядом полезных “положительных” свойств. Например, каждое метрическое пространство может быть вложено в -произведение пространств, гомеоморфных единичному отрезку. Компакты, вкладывающиеся в -произведение отрезков, обладают настолько замечательными свойствами, что были выделены в отдельный класс и получили название компактов Корсона. Компакт, являющийся непрерывным образом Dieudonne J. Un critere de normalite pour les espaces produits// Coll. Math. 1958.

V. 6. P. 29–32.

Corson H. H. Normality in subsets of product spaces // Amer. J. Math. 1959.

V. 81. P. 785–796.

Понтрягин Л. C. Непрерывные группы. М.-Л., 1938.

Michael E., Rudin M.E. A note on Eberlein compacts// Pacific J. Math. 1977.

-произведения метризуемых компактов, также метризуем, а метрическое пространство, являющееся непрерывным образом -произведения пространств, любое конечное произведение которых линделёфово, является линделёфовым и, следовательно, сепарабельным пространством.

Поскольку -произведение не может быть паракомпактом, важной задачей является выяснение условий, при которых -произведение является нормальным пространством. В 1959 году Корсон доказал, что -произведение полных метрических пространств нормально и счетно паракомпактно. В той же работе Корсон сформулировал задачу: является ли нормальным пространством -произведение метрических пространств или хотя бы -произведение экземпляров рациональных чисел Сначала был получен положительный ответ на второй вопрос Корсона:

в 1973 году в работе было доказано, что -произведение метрических сепарабельных пространств нормально. В 1977 году С. П. Гулько и М.Э.Рудин независимо дали полный ответ на вопрос Корсона, доказав, что -произведение метрических пространств является нормальным пространством. Формально к -произведениям близки -произведения, но по своим топологическим свойствам эти подпространства произведения сильно различаются. Например, -произведение компактов по теореме Понтрягина счетно компактно, но не компактно и, следовательно, не паракомпактно, а -произведение компактов финально компактно и, следовательно, паракомпактно. Упомянем также важную для данной работы теорему Корсона о линделёфовости -произведения метрических сепарабельных пространств.

В общей топологии и её приложениях большое значение имеет изучение топологических свойств пространства всех (непустых) замкнутых подмножеств топологического пространства X или, другими словами, V. 72 P. 487–495.

Engelking R. On functions defined on Cartesian products // Fund. Math. 1966.

V. 59. P. 221–231.

Комбаров А. П., Малыхин В. И. О -произведениях // ДАН СССР. 1973.

Т. 213. C. 774–776.

Гулько С. П. О свойствах множеств, лежащих в -произведениях // ДАН СССР.

1977. Т. 237. С. 505–508.

Handbook of Set-Theoretic Topology / Kunen K. and Vaughan J. E., eds.

Amsterdam: North-Holland, 1984.

экспоненциального пространства exp(X) в топологии Вьеториса. Теория экспоненциальных пространств оформилась в качестве самостоятельного направления общей топологии после работы Э.Майкла 1951 года, в которой были изучены общие вопросы, связанные с фундаментальными топологическими свойствами экспоненциальных пространств. Еще в 1922 году Вьеторис доказал, что компактность пространства X эквивалентна компактности пространства exp(X) и, следовательно, из компактности пространства X следует нормальность exp(X). В 1955 году В. М. Иванова показала, что из нормальности exp(X) следует счетная компактность пространства X. В 1970 году Кислинг, предполагая континуум-гипотезу, доказал, что из нормальности exp(X) следует компактность пространства X. В 1973 году В. И. Малыхиным и Б. Э. Шапировским теорема Кислинга была распространена на более широкий класс моделей. И, наконец, в 1975 году Н. В. Величко доказал эту теорему в ZFC, то есть без каких-либо дополнительных теоретикомножественных гипотез. Теория экспоненциальных пространств оказалась чрезвычайно полезной для такого важного и интенсивно развивающегося в последние годы направления общей топологии как изучение геометрических свойств ковариантных функторов. Особенно необходимо от35 36 метить здесь работы В.В.Федорчука, Е.В.Щепина, А.В.Иванова, Michael E. Topologies on spaces of subsets// Trans. Amer. Math. Soc. 1951.

V. 71 P. 152–182.

Vietoris L. Bereiche zweiter Ordnung// Monatsh. fr Math. und Phys. 1922.

V.32. P.258–280.

Иванова В. М. К теории пространств подмножеств// ДАН СССР. 1955.

Т.101. С.601–603.

Keesling J. On the equivalence of normality and compactness in hyperspaces // Pacific Journal of Math. 1970. V.33. P.657–667.

Малыхин В. И., Шапировский Б. Э. Аксиома Мартина и свойства топологических пространств// ДАН СССР 1973. Т.213. С.532–535.

Величко Н. В. О пространстве замкнутых подмножеств// Сиб. матем. ж. 1975.

Т.16. С.627–629.

Федорчук В. В. О некоторых геометрических свойствах ковариантных функторов// Успехи математических наук 1984. T.39. С.169–208.

Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов// Успехи математических наук 1981. T.36. С.3–62.

Иванов А.В. О функторах конечной степени и -метризуемых бикомпактах// Сибирский математический журнал. 2001. Т. 42. С. 60–68.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»