WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

В Главе 1 исследованы научные проблемы и задачи математического моделирования и количественного анализа современных фондовых рынков в периоды высокой волатильности, показана актуальность этих исследований. Здесь же описаны основные показатели финансовых рисков, такие как стандартное отклонение и Value at Risk. В п. 1.1 описаны эмпирические свойства показателей стоимости финансовых активов в условиях высокой волатильности, такие как эффект тяжелых хвостов их эмпирических функций распределения, наличие нелинейных статистических связей между их экстремальными изменениями, нестационарность динамики условной корреляции между ценовыми показателями финансовых активов с высокой волатильностью. В п. 1. приведены постановки основных задач, решаемых в диссертации, связанные с моделированием экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью: разработка модели функции распределения экстремальных значений ценовых показателей акций с высокой волатильностью, позволяющей получать оценки рискового капитала инвестиционной компании, не требующей предварительного выбора порогового значения; разработка модели совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей акций, на основе порогового метода. В п. 1.3 приведена постановка задачи, связанной с моделированием совместной динамики показателей стоимости финансовых активов в условиях высокой волатильности:

построение математической модели ценовых показателей финансовых активов, учитывающей динамику их корреляционных связей с использованием стохастических разностных уравнений. В п. 1.4 приведены постановки задач верификации оценок рисков инвестирования в условиях высокой волатильности: разработка методов оценивания рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью на основе построенных моделей; разработка методики верификации оценок рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью. Описаны математические методы верификации оценок рискованности инвестирования. Обоснована необходимость в разработке новых методов верификации оценок рисков инвестирования на фондовых рынках с высокой волатильностью.

Глава 2 посвящена научным проблемам математического моделирования показателей стоимости акций фондовых рынков с высокой волатильностью. В п. 2.содержатся основные сведения теории экстремальных величин. В п. 2.2 описан метод блоков выборки моделирования экстремальных значений показателей стоимости акций, в основе которого лежит обобщенное распределение экстремальных величин G x = exp -( )-, (1) 1+ x ( ) где параметр называется экстремальным индексом.

В п. 2.3 описана математическая модель функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций. Она имеет следующий вид Fu x = P X - u < x | X > u, ( ) ( ) где u > 0 - порог, 0 x < F u, F - крайняя правая точка функции распределения ( )- ( ) F x. Согласно теореме А. Балкема, Л. де Хаана6 функция Fu x слабо сходится к ( ) ( ) функции G, x при стремлении порога u к правой границе F, т.е.

( ) ( ) lim sup Fu x G, x = 0 (2) ( )- ( ) u F ( )0x F ( )-u тогда и только тогда, когда F x принадлежит области притяжения обобщенного ( ) распределения экстремальных величин G x : F DA G. Функция G, x ( ) ( ) ( ) называется обобщенным распределением Парето и имеет вид 1- 1+ x 0, ()-G, x =, (3) ( ) (- ) 1- exp x = 0.

где > 0, x 0, когда 0, и 0 x -, когда < 0. Таким образом, для моделирования надпороговых значений показателей стоимости акций используется обобщенное распределение Парето (3), а при значениях показателей стоимости акций, не превышающих пороговое значение u, используется эмпирическая функция распределения. Для вычисления пороговой величины u используется адаптивная процедура на основе оценок Хилла в сочетании с графическим методом Резника-Старицы.

Показано, что даже в случае оптимального выбора значения u, точность аппроксимации хвоста эмпирической функции распределения недостаточна для получения корректных количественных оценок VaR.

В п. 2.4 нами предложена и исследована новая математическая модель функций распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью, позволяющая решить поставленную задачу без предварительного оценивания порога. Для моделирования функции распределения ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью предложено использовать смесь распределений из класса правильно меняющихся функций, имеющую следующий вид:

1- p x; f x; + p x; g x;, ( ) ( ) ( ) ( ) l x =. (4) ( ) Z,,, () где g x;, – плотность обобщенного распределения Парето ( ) P. Embrechts, C. Kluppelberg, T. Mikosch, Modeling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer, Berlin, 1997.

- -1 x 1+ g x;, =, ( ) f x; – некоторая другая плотность распределения, Z,,, – нормализующая ( ) ( ) константа, p x; – монотонно неубывающая функция принадлежности наблюдений к ( ) совокупности экстремальных значений, принимающая значения на интервале 0,1 и ( ] такая, что lim p x; = 1, ( ) x где – вектор параметров.

Предлагаемый нами подход к моделированию функции распределения убытков, опирается на три следующих положения: во-первых, в отличие от порогового метода, при моделировании нами принимается во внимание вся выборка; во-вторых, в качестве модели эмпирической функции распределения используется вероятностная смесь двух распределений, одним из которых является обобщенное распределение Парето; в-третьих, доля случайных величин, имеющих распределение g x;,, описывается функцией ( ) p x;.

( ) В этом же пункте сформулирована и доказана теорема о хвостовых свойствах смеси распределений экстремальных, обосновывающая предложенный метод моделирования функции распределения убытков.

Определение 1. Распределение F x называется тяжело-хвостым, если для его хвоста ( ) ( ) ( ) F x = 1 - F x, x 0 выполняется следующее условие F (x + y) lim P X > x + y X > x = lim = 1, () ( ) x x F x для всех y 0.

Определение 2. Измеримая функция h : 0, 0, является правильно меняющейся ( ) ( ) на хвосте с хвостовым индексом R, если для всех x > h tx ( ) lim = x.

t h t ( ) Если = 0, функция h x называется медленно меняющейся.

( ) Теорема. Пусть p x – медленно меняющаяся функция, f и g – тяжело-хвостовые, ( ) правильно меняющиеся на хвосте распределения. Обозначим их хвостовые индексы через f t ( ) g и соответственно и предположим, что g <, причем lim = 0. Тогда f f t g t ( ) функция распределения с плотностью (4) является функцией правильно меняющейся на хвосте с хвостовым индексом g.

Нами был произведен выбор функций p x; и f x; следующим образом. В ( ) ( ) качестве смешивающей функции использовалась 1 1 x - p x, = + arctg, ( ) где =,,, > 0,, – параметры локализации и масштаба соответственно. В ( ) качестве левого компонента смеси использовалось распределение Вейбулла, являющееся предельным для экстремумов легкохвостых распределений, плотность которого имеет следующий вид f x;, = x -1e-(x),, > 0.

( ) Рассматриваемая плотность распределения смеси l x имеет шесть параметров:

( ) и для компонента плотности Вейбулла, и – параметры смешивающей функции p, и – параметры плотности обобщенного распределения Парето. На рисунке построены графики плотностей смеси распределений и ее компонентов.

Рис. 2. Вид смешанной модели: – легкоховстый компонент (распределение Вейбулла), • • – тяжелохвостовый компонент (обобщенное распределение Парето), – смесь распределений.

В п. 2.5 описана новая математическая модель совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов. Математическое моделирование предельных функций совместного распределения экстремумов совокупности X = X1,..., X,..., Xn n случайных последовательностей { } j X = X,..., X,..., X, j = 1,.., n основано на теории многомерных случайных () j j,1 ji j,m величин7. Пусть функция H x, x = x1,..., x,..., xn Rn является совместным ( ) ( ) j распределением максимумов Mm = M1,m,..., M,..., Mn,m векторов X, i = 1,..., m, где ( ) j,m j M = max X,..., X,..., X, и она обладает непрерывными невырожденными () j,m j,1 j,i j,m частными распределениями H x. Тогда, если и только если существуют такие ( ) j j константы a > 0, bj,m R1, что существует предел j,m M1,m - a1,m M - a Mn,m - an,m ( ) ( ) ( ) j,m j,m lim P x1,..., x,..., xn = j m b1,m bj,m bn,m n = lim H b1,mx1 + a1,m,...,bj,mx + a,...,bn,mxn + an,m = G x1,..., xn, (5) () () j j,m m функция G x является предельным совместным распределением максимумов.

( ) В двумерном случае Дж. Пикендсом8 предложено следующее представление предельной функции распределения G x, y, x, y > ( ) 1 1 x G x, y = exp - + A. (6) ( ) x y x + y Функция A : 0,1 0,1 в представлении (6) называется функцией зависимости и [ ] [ ] обладает следующими свойствами 1) max,1- A 1, 0,1.

() ( ) [ ] 2) A 0 = A 1 = 1, -1 A' 0 0, 0 A' 1 1, A'' 0.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Нами предложено обобщение порогового метода моделирования хвоста функции распределения экстремальных величин с использованием многомерного обобщенного распределения Парето.

Определение 3. Будем говорить, что H – многомерное обобщенное распределение Парето (MGPD) с положительной областью определения, если ее хвост имеет вид - log G x + x( ) Hx x =, (7) ( ) - log G x( ) J. Galambos, The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics, John Wiley and Sons Inc., New York, Chichester, Brisbane, Toronto, 1978.

H. Joe, Multivariate models and dependence concepts, Chapman and Hall, London, 1997.

для некоторого распределения экстремальных величин G, где x 0, x0 – вектор порогов, принадлежащий области определения G, и H x = 1 в остальных случаях.

( ) С использованием различных моделей функции зависимости A возможно построение ( ) различных моделей двухмерного обобщенного распределения Парето. Так, например, это позволяет получить параметрические модели совместных функций распределения ценовых показателей акций, адекватно учитывающих статистическую связь экстремального типа, возникающую между ними в периоды высокой волатильности (рис.

3 слева).

Рис. 3. Двухмерное обобщенное распределение Парето и его квантильные линии.

Предложенная модель (7) позволяет построить квантильные линии совместных распределений ценовых показателей для различных уровней значимости, которые ограничивают области экстремальных изменений (рис. 3 справа). Квантильные линии могут быть использованы для количественного анализа рискованности портфельного инвестирования в активы с высокой волатильностью.

Глава 3 посвящена научным проблемам математического моделирования динамики ценовых показателей финансовых активов. В п. 3.1 приведен обзор одномерных математических моделей динамики показателей стоимости акций. В том числе линейные модели: авторегрессионный процесс, процесс скользящей средней, авторегрессионные модели скользящей средней (ARMA), модель ARIMA. Модели с условной гетероскедастичностью: модель с авторегрессионой условной гетероскедастичностью, обобщенная модель с авторегрессионной условной гетероскедастичностью, их нелинейные и асимметричные расширения. В п. 3.2 приведен обзор многомерных математических моделей совместной динамики показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности: VECH-модель, BEKK-модель, модели с динамической корреляцией, модель с постоянной корреляцией. Проведен их сравнительный анализ, показавший необходимость совершенствования существующих и разработки новых математических моделей совместной динамики ценовых показателей акций. В п. 3.предложена математическая модель совместной динамики ценовых показателей финансовых активов, в которой корреляционные связи описаны в виде стохастических разностных уравнений, имеющая следующий вид:

h11,t = a11 + b111,t-1 + c11h11,t-1, h22,t = a22 + b222,t-1 + c22h22,t-1, h12,t = t* h11,th22,t, (8) t t* =, 1+ t ( )t = a12 + b121,t-12,t-1 + c12t-1.

Показано, что в отличие от известных многомерных авторегрессионных моделей с условной гетероскедастичностью, предложенная в диссертации модель позволяет адекватно описать статистическое свойство нестационарности динамики условной корреляции между стоимостными показателями ценных бумаг в периоды высокой волатильности. Кроме того, структура параметризации разработанной модели позволила нам построить эффективный вычислительный алгоритм оценивания параметров.

Проведена верификация предложенной модели на симулированных данных (рис. 4).

Рис. 4. Верификация математической модели с условной корреляцией авторегрессионного типа на симулированных (сверху) и реальных (снизу) данных.

В п. 3.4 приведен обзор методов тестирования и верификации как одномерных, так и многомерных математических моделей динамики ценовых показателей финансовых активов.

Глава 4 посвящена проблемам количественного оценивания рисков инвестирования на фондовых рынках с высокой волатильностью. В п. 4.1 приведен обзор классических методов оценивания рискованности инвестирования в финансовые активы: метод исторического моделирования, группа методов имитационного моделирования, часто именуемый по основной применяемой в его рамках модели методом Монте-Карло, Riskmetrics, стресс-тестирование. В п. 4.2 описан метод параметрической оценки рискованности портфельного инвестирования, наиболее распространенный в форме вариационно-ковариационной модели. В п. 4.3 проведены вычислительные эксперименты по оцениванию рискованности инвестирования с использованием данных ценовых показателей международных фондовых рынков, как с помощью классических моделей, так и с помощью предложенных в диссертации моделей. При этом было показана необходимость использования в качестве распределения инноваций процесса скошенного распределения Стьюдента для повышения точности оценивания.

Проведены вычислительные эксперименты по оцениванию рисков инвестирования в акции с высокой волатильностью по методологии VaR с использованием пороговой модели и предложенной в диссертации модели смеси распределений экстремальных величин (см. таблицу 1). Нами использовались данные индекса DJIA 01.01.1953 – 10.08.2008 г.

Таблица 1. Оценки рисков инвестирования по методологии VaR для различных уровней значимости. В скобках указаны среднеквадратичные отклонения оценок.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.