WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Пусть P (z) = az – полином степени N, P (D) = aDz – соот||N ||N ветствующий полиному P (z) дифференциальный оператор конечного порядка.

Пусть E –множество экспоненциальных полиномов вида Q(z) e<,z> (Q – полином), принадлежащих ядру оператора P (D). Пусть W – множество всех решений уравнения P (D)(f) = 0, принадлежащих пространству E().

Основные результаты этого раздела – следующие две теоремы.

Теорема 1.8. Оператор P (D) сюръективен в E().

Теорема 1.9. Линейная оболочка множества E плотна в W.

Глава 2. В главе 2 изучаются пространства бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенные по системам весовых функций вида w(|x|) (x) - mw(|x|) и (x) + (m N), m где - выпуклая функция на числовой оси полиномиального роста порядка большего единицы, а w - неотрицательная непрерывная неубывающая функция на [0; +) c определенными свойствами:

Пусть заданы числа µ и такие, что 1 < µ.

Пусть - выпуклая функция на числовой оси такая, что при некоторых положительных A, B, C, D всюду на R A|x|µ - B (x) C|x| + D.

Пусть w - неотрицательная непрерывная функция на [0; +) такая, что 1) ln(1 + r) = O(w(r)), r +;

2) w(r2) + w(r) при некоторых > 0, 2.

Для каждого m N введем нормированное пространство |f(k)(x)| Em(, w) = {f Cm(R) : pm(f) = sup < }.

e(x)-mw(|x|) xR,0km Поскольку f Em+1(, w) имеет место неравенство pm(f) pm+1(f), то вложения im : Em+1(, w) Em(, w) непрерывны. Несложно показать, что эти вложения вполне непрерывны.

Пусть E(, w) – проективный предел пространств Em(, w). Согласно определению из [16] это пространство типа (M). Отметим, что для любого C функция f(x) = e-ix принадлежит E(, w).

Преобразованием Фурье-Лапласа функционала S E(, w) называется функция () = (Sx, e-ix), C.

Пусть P (, w) – индуктивный предел пространств Pm(, w) = {F H(C) :

|F (z)| ||F ||m = sup < }.

(1 + |z|)me (Imz)+mw(|Imz|) zC Здесь (y) = sup(xy-(x)) – преобразование Юнга-Фенхеля функции (x).

xR Отметим, что в силу вполне непрерывности вложений jm : Pm(, w) Pm+1(, w), P (, w) является пространством типа (LN) [16].

Пространство E(, w) допускает следующее описание в терминах преобразования Фурье-Лапласа:

Теорема 2.2. Отображение L : S устанавливает топологический изоморфизм пространств E(, w) и P (, w).

В разделе 2.3 рассмотрено другое весовое пространство E(, ) :

Пусть w - неотрицательная непрерывная функция на [0; +) такая, что 1) ln(1 + r) = o(w(r)), r +;

2) w(r2) + w(r) при некоторых > 0, 2.

Для каждого m N введем нормированное пространство |f(k)(x)| Em(, ) = {f Cm(R) : pm(f) = sup < }.

w(|x|) xR,0km m e(x)Заметим, что для любого номера m справедливо включение Em+1(, ) Em(, ).

Поскольку f Em+1(, w) имеет место неравенство pm(f) pm+1(f), то вложения im : Em+1(, ) Em(, ) непрерывны. Более того, эти вложения вполне непрерывны (см. [2]).

Введем пространство E(, ) как проективный предел пространств Em(, ).

Согласно определению из [16] это пространство типа (M). Отметим, что для любого C функция f(x) = e-ix принадлежит E(, ).

Пусть P(, ) – проективный предел пространств Pm(, ) = {F H(C) :

|F (z)| ||F ||m = sup < }.

w(|Imz|) zC m (1 + |z|)me (Imz)Очевидно, вложения jm : Pm(, ) Pm+1(, ) вполне непрерывны, пространство P(, ) является пространством (LN).

Справедливо следующее описание пространства E(, ) в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов.

Теорема 2.3. Преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм пространств E(, ) и P(, ).

В разделе 2.4 изучен вопрос о ядерности пространства E(, ).

А именно, доказана Теорема 2.4. Пространство E(, )- ядерное.

Глава 3. Различные весовые пространства последовательностей изучались в работах Коган Г.А., Карпова А.В., Кима В.Э., Вахромеевой А.В. (см.

напр. [5] и библиографию там) В нашем случае существенным отличием является то, что рассмотрен многомерный случай с более общими весовыми функцииями.

Пусть = {m} – семейство выпуклых функций, действующих из Rn m=в R, таких, что:

m(x) 1) lim = + m N, где ||x|| = x2 +... + x2.

1 n ||x|| x 2) m N найдутся числа am > 0, bm R такие что m(x) - m+1(x) am x - bm m N.

Пусть (x) = sup(< x, y > -m(y)) – функция, сопряженная по Юнгу с m yRn m.

Обозначим |f()| A(m) = {f : Zn C : pm(f) = sup < }.

e () Zn m Ясно,что A(m+1) A(m) для любого номера m.

Нетрудно показать, что вложения im : A(m+1) A(m) вполне непрерывны.

Образуем множество A() = A(m).

m=Наделим его топологией проективного предела нормированных пространств A(m). Таким образом, A() - это пространство (M).

Пусть P ( ) = {F H(Cn) : F (z + 2k) = F (z) k Zn z Cn :

m |F (z)| ||F ||m = sup < }.

exp( (Imz)) zCn m Введем пространство P () = P ( ).

m m=Наделим его топологией индуктивного предела пространств P ( ). Ясно, m что P () - пространство (LN).

Теорема 3.1. Отображение n F : S (z) = S(exp(-i <, z >))Z устанавливает топологический изоморфизм между пространствами A() и P ().

Наложим дополнительное условие на = (m) :

m=m N R > 0 CR,m > 0 :

x Rn Rn : |||| R m+1(x + ) m(x) + CR,m.

Для произвольного конечного набора J мультииндексов h Zn определим линейный непрерывный оператор L : A() A() следующим образом:

L(f) = hSh(f), hJ где Sh(f) = f( + h). В этих предположениях справедлива Теорема 3.2. Оператор L сюръективен.

Диссертант выражает благодарность доктору физико-математических наук Мусину Ильдару Хамитовичу за постановку задачи и внимание к работе.

Список литературы [1] Драгилев М.М., Кондаков В.П., Об одном классе ядерных пространств // Математические заметки, 1970, Том 8 №2, С.169-179.

[2] Жаринов В.В., Компактные семейства ЛВП и пространства F S и DF S // УМН. 1979. Т. 34, вып. 4(208). С. 97-131.

[3] Захарюта В.П. О базисах и изоморфизме пространств функций, аналитических в выпуклых областях многих переменных // Теория функций и функциональный анализ. Харьков. 1967. №5. С. 5-12.

[4] Зобин Н.М., Митягин Б.С., Примеры ядерных метрических пространств без базисов // Функцион. анализ и его прил. Т. 8, № 4. 1974.

С. 304-[5] В. В. Напалков, В. Э. Ким, “Изоморфизм между пространствами решений дискретного уравнения свертки и уравнения свертки на пространстве целых функций”, Матем. заметки, 80:5 (2006), 733–[6] Кондаков В. П., Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счетно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. матем. журн. Т. 42, №6. 2001. С. 1300–1313.

[7] Кривошеев А.С., Напалков В.В., Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. Т. 47, выпуск 6(288). 1992. С. 3-58.

[8] Митягин Б.С., Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // УМН. Т. 16, №4. 1961. С. 63-132.

[9] Б.С. Митягин, Г.М. Хенкин, Линейные задачи комплексного анализа // УМН. 1971. Т. 26. №4. С. 93-152.

[10] Мусин И.Х., О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб.

2000. Т.64, №6. с.181-204.

[11] Мусин И.Х., О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в Rn // Математический сборник. 2004. Т. 195. №10. С. 83-108.

[12] Напалков В.В., Уравнения свертки в многомерных пространствах, М.:

Наука, 1982. 240 с.

[13] Пич А., Ядерные локально выпуклые пространства, М.: Мир. 1967. с.

[14] Попёнов С.В., О весовом пространстве функций, аналитических в неограниченной выпуклой области в Cm // Матем. заметки. Т. 40, №3.

1986. С. 374-384.

[15] Попенов С.В., Об одном весовом пространстве целых функций // В сб:

Исследования по теории аппроксимации функций. 1986. С. 89-96. Уфа.

БФАН СССР, 1986.

[16] Себаштьян-и-Сильва Ж., О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957.

Т. 1, №1. С. 60-77.

[17] Ткаченко В.С., Об операторах, коммутирующих с обобщенным дифференцированием в пространствах аналитических функционалов с заданным индикатором роста // Матем. сб. Т. 102, №3. 1977. С. 435-456.

[18] Хёрмандер Л., Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных М.: Мир, 1966.

[19] Юлмухаметов Р.С., Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Известия РАН. 1996. Т. 60. №4. С. 205-224.

[20] Bessaga C., A nuclear Frechet space without basis 1.Variation on a theme of Djakov and Mitiagin // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math., Astronom., Phis. 1976. V. 24, №7. P. 471-473.

[21] Djakov P.B., Некоторые замечания об ядерных пространсвах Фреше без базиса // Serdica - Bulg. Math. J. 2 (1976), 171 -176.

[22] Ehrenpreis L., Solution of some problems of division. IV. // Amer. J. Math.

1960. V. 82. P. 522-588.

[23] Ehrenpreis L., Fourier analysis in several complex variables New York:

Wiley – Interscience publishers, 1970.

[24] Haslinger F., Weighted spaces of entire functions // Indiana Univ. Math. J.

1986. V. 35. P. 193-208.

[25] Malgrange B., Existence et approximation des solutions des equation aux derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst.Fourier (Grenoble). 1955-56. V. 6. P. 271-355.

[26] Roever J.W. de., Analytic representation and Fourier transforms of analytic functional in Z carried by the real space // SIAM J. Math. Anal. 1978. V.

9, №6. P. 996-1019.

[27] Roever J.W. de., Complex Fourier transformation and analytic functionals with unbounded carriers. Amsterdam. Mathematisch Centrum, 1977.

[28] Struppa D.C., Convolution equations and spaces of ultradifferentiable functions // Isr. J. Math. 1986. V. 54, №1. P. 60-70.

[29] Taskinen J., A Frechet-Schwartz space with basis having a complemented subspace without basis // Abstracts conf. "Nuclear Frechet Raume".

Oberwolfach, 1990. P.11.

[30] Taylor B.A., The fields of quotients of some entire functions. Entire functions and related parts of analysis // Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1968. P. 468-474.

[31] D. Vogt, Eine Charakterisierung der Potenzreihenraume von endlichem Typ und ihre Folgerungen // Manuscripta Math. 1982. V. 37. №3. V. 269-301.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Ахтямов Н.Т., О весовом пространстве целых функций в Cn // Матем.

заметки. Т. 83, вып 4. 2008. С. 483–492.

2. Ахтямов Н. Т., Сопряженное пространство к весовому пространству целых функций в Cn // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 35. Казань, 2007.

3. Ахтямов Н. Т., Описание сопряженного к весовому пространству бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 34. Казань, 2006.

4. Ахтямов Н. Т., Сопряженное пространство к весовому пространству последовательностей // Международная зимняя школа-конференция по математике и физике. Сборник трудов. Т. 1, математика. Уфа. РИО БашГУ, 2005.

5. Ахтямов Н. Т., Мусин И.Х., Дифференциальные операторы в весовом пространстве целых функций // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Выпуск 1. Уфа, РИЦ БГУ, 2008.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»