WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

Ахтямов Наиль Тагирович ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ С ВЕСАМИ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА 01.01.01 – Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико – математических наук

Уфа 2009

Работа выполнена в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН

Научный консультант: доктор физико-математических наук Мусин И.Х.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Мерзляков С.Г.

кандидат физико-математических наук Исаев К.П.

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет

Защита состоится ” 24 ” апреля 2009 г. в 15 часов на заседании совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан ” ” марта 2009 г.

Ученый секретарь совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций, кандидат физико - математических наук С.В. Попенов ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу, функциональному анализу и теории дифференциальных уравнений. Определены новые классы весовых пространств целых функций в Cn, бесконечно дифференцируемых функций на вещественной оси и последовательностей. Изучаемые пространства являются локально выпуклыми пространствами Фреше и задаются с помощью весовых функций полиномиального роста. Акцент в работе сделан на изучение ситуаций, когда зазор между весовыми функциями может быть небольшим.

Например, логарифмическим.

В работе рассматриваются следующие основные вопросы:

1. описание сильного сопряженного пространства к изучаемым пространствам в терминах преобразования Лапласа ( Фурье-Лапласа);

2. анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в весовых пространствах целых функций;

3. проблема базиса в весовом пространстве целых функций;

4. разрешимость неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей.

Описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и комплексного анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских и зарубежных математиков – Г. Полиа, Н. Винера, Р. Пэли, Л. Шварца, В.С. Владимирова, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А. Мартино, В.В. Напалкова, Б.А. Тейлора, Р.С. Юлмухаметова, В.В. Жаринова, Г.И. Эскина, А.М. Седлецкого, А.В. Абанина, С.В. Попенова, И.Х. Мусина, В.И. Луценко, В.А. Ткаченко, Р. Майзе, Ф. Хаслингера, Роевера (J.W. de Roever) и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс целых или аналитических функций, удовлетворяющих определенным мажорантам роста. Тем самым многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций и др. методами функционального анализа могут быть сведены к задачам из теории аналитических функций. В теории операторов свертки, теории приближения функций, вопросах представления функций рядами экспонент такой подход систематически использовался в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А.Ф. Леонтьева, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю.Ф. Коробейника, Б.А.Тейлора, А.М. Седлецкого, Р.С. Юлмухаметова, А.С. Кривошеева, С.Г. Мерзлякова, Б.Н. Хабибуллина, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, А.В. Абанина, С.Н. Мелихова, К. Беренстейна и др., в теории дифференциальных уравнений – в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, В.П. Паламодова, А. Мартино, В.В. Напалкова, И.Х. Мусина, Роевера, Д. Струппы и др.

Цели работы. 1. Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Лапласа к новым весовым пространствам целых функций в Cn.

2. Описать сопряженные пространства в терминах преобразования ФурьеЛапласа к новым весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой.

3. Изучить вопрос о сюръективности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых весовых пространствах целых функций.

4. Исследовать проблему базиса в введённых весовых пространствах целых функций.

5. Изучить вопрос о разрешимости неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей.

6. Исследовать топологические свойства введённых пространств.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. В терминах преобразования Лапласа дано описание сопряженного пространства к весовому пространству целых функций в Cn в случае, когда весовые функции имеют полиномиальный рост порядка большего единицы. При этом зазор между весовыми функциями может быть логарифмическим. Ранее подобные задачи для весовых пространств целых функций не изучались.

Для различных весовых пространств целых функций задача описания сопряженного изучалась в работах Л. Эренпрайса [22], Б.А. Тейлора [30], В.С. Ткаченко [17], Ф. Хаслингера [24], С.В. Попёнова [14], [15]. Наиболее общий результат получен в работе С.В. Попёнова [14], в которой (наряду с другими условиями на веса) допускался линейный относительно z зазор между весовыми функциями. В отличие от их работ, в нашем случае допустим более узкий зазор между весовыми функциями (он может быть логарифмическим).

Однако, уменьшая зазор, мы вынуждены оперировать весовыми функциями (специального) полиномиального роста.

2. В терминах преобразования Фурье-Лапласа описаны сопряженные пространства к счетно-нормированным пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида w(|x|) (x) - mw(|x|) и (x) + (m N), m где - выпуклая функция на числовой оси полиномиального роста порядка большего единицы, а w - неотрицательная непрерывная неубывающая функция на [0; +) c определенными свойствами.

Отметим, что для пространств бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида (x)mw(|x|) в случае, когда w(r) = ln(1+r) данная задача была решена И.Х. Мусиным (также и в многомерном случае). В более общей ситуации подобные задачи для весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций не изучались.

3. Доказано существование базисов в весовых пространств целых функций в Cn, определённых с помощью выпуклых в Cn функций m, имеющих при z R (где R > 0 – некоторое число) вид:

h( z ) m(z) = (z) +, m где – выпуклая функция в Cn полиномиального рост порядка большего единицы а h – непрерывная неубывающая положительная функция на [0; +) c определенными свойствами.

Отметим, что вопросами существования и построения базисов в счётногильбертовых пространствах занимались многие математики - М.М. Драгилев [1], Б.С. Митягин [8], В.П. Захарюта [3], В. П. Кондаков [6], Д. Фогт (D. Vogt) [31], П.Б. Джаков [21] и др. В книге А. Пича [13] по ядерным локально выпуклым пространствам был поставлен вопрос (см. п. 10.2.4.): "Каждое ли ядерное пространств Фреше обладает базисом". Интерес к проблеме базиса усилился после появления примеров ядерных пространств Фреше, не имеющих базиса, построенных в работах Н.М. Зобина и Б.С. Митягина [4], К. Бессаги (C. Bessaga) [20] и Дж. Таскинена (J. Taskinen) [29]. В весовых пространствах целых функций в Cn данная проблема рассматривалась Ф. Хаслингером [24] для случая весовых функций m(z) = rmp(z), где rm r0 > при m, p – выпуклая функция в Cn, преобразование Юнга-Фенхеля которой принимает всюду в Cn конечные значения. При условии существования базиса в ядерном пространстве Фреше конструктивный способ построения базиса имеется в работе Митягина и Хенкина [9]. Для решения поставленной задачи в диссертации используются методы Митягина-Хенкина [9] и Д. Фогта [31] и полученный результат по описанию сопряженного пространства.

Методика исследования. В диссертации используются методы комплексного и функционального анализа (теория двойственности). Особо выделим усовершенствованный Р.С. Юлмухаметовым метод Л. Хёрмандера продолжения аналитических функций заданного роста с комплексного подпространства на все пространство.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть полезны в теории целых функций, теории аппроксимации функций, теории дифференциальных уравнений с частными производными. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном Федеральном Университете, Московском, Башкирском, Нижегородском, Казанском, Сыктывкарском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, VI Региональной школе - конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам (2006 г.), Уфимской международной конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (2007 г.), Международных школахконференциях по математике и физике в г. Уфе в 2005, 2007 г.г., Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(Яктыкуль, 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Объем диссертации составляет 96 страницы. Библиография – 54 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Глава 1. Для u = (u1,..., un) Cn, v = (v1,..., vn) Cn полагаем < u, v >= u1v1 + · · · + unvn, u – еклидова норма в Cn. Через H(Cn) обозначаем совокупность целых функций в Cn.

Для локально выпуклого пространства X через X обозначим множество линейных непрерывных функционалов на X, через X – сильное сопряженное пространство.

С функцией, выпуклой в Cn и удовлетворяющей условию () lim = +, свяжем пространство |f(z)| E() = {f H(Cn) : f = sup < }.

e(z) zCn С нормой · пространство E() – банахово.

Пусть числа µ и таковы, что 1 < µ.

Пусть = {m} – совокупность выпуклых функций в Cn, удовлетвоm=ряющих следующим условиям:

1) A > 0 B > 0 m N Cm > 0 Dm > 0:

Cm||z||µ - Dm m(z) A||z|| + B, z Cn;

2) a > 0 m N bm > 0:

m(z) - m+1(z) a ln(1 + ||z||) - bm, z Cn.

Очевидно, E(m+1) E(m). Положим E() = E(m). С обычными m=операциями сложения и умножения на комплексные числа E() становится линейным пространством. Наделим E() топологией проективного предела пространств E(m). Очевидно, E() – пространство Фреше.

Пусть = { }, где () = supC (Re <, > -m()) – преn m m=1 m образование Юнга-Фенхеля функции m. Поскольку (z) (z) + bm m m+всюду в Cn, то для любого m N пространство E( ) непрерывно вложеm но в E( ). Пусть P () = E( ). С обычными операциями сложеm+1 m m=ния и умножения на комплексные числа P () становится линейным пространством. Наделим P () топологией индуктивного предела нормированных пространств E( ). Отметим, что для каждого m N вложения m im : E(m+1) E(m), jm : E( ) E( ) m m+вполне непрерывны. Это следует из предположений о, а также леммы 1.5.

Лемма 1.5. Существует число h > 0 такое, что для любого m N при некотором lm > (z) - (z) h ln(1 + ||z||) - lm, z Cn.

m+1 m Таким образом, E() является пространством (M), а пространство P () – пространством (LN).

Преобразованием Лапласа функционала S E () называется функция () = (S, e<,z>), Cn.

Пространство E() допускает следующее описание.

Теорема 1.3. Отображение L : S E() устанавливает топологический изоморфизм пространств E() и P ().

Теорема 1.3 доказана в п. 1.5. Её доказательство основано на теореме Р.С. Юлмухаметова (см. [19]), работе Попенова С.В. [15], а также на полноте полиномов в E(), свойствах преобразования Лапласа функционала из E (). А именно, справедливы следующие теоремы, доказанные в разделах 1.3 и 1.4:

Теорема 1.1. Множество полиномов плотно в E().

Теорема 1.2. Пусть S E (). Тогда – целая функция в Cn, причем для любого Zn + (D)(z) = (S, e<,z>), z Cn, и при некоторых m N и C > m |(z)| Ce (z), z Cn.

Теорема 1.3 находит применение в разделах 1.7, 1.8 при изучении линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в пространстве E() и исследовании проблемы базиса в этом пространстве.

В разделе 1.6 изучается ядерность пространства E().

Доказана Теорема 1.4. Пространство E() – ядерное.

При доказательстве этой теоремы используется следующий критерий ядерности ([13]):

Теорема В. Локально выпуклое пространство E – ядерное тогда и только тогда, когда для любой абсолютно выпуклой окрестности нуля U существует окрестность нуля V и конечная положительная мера Радона на слабо компактном множестве V такие, что ||x||U | < y, x > |dµ(y), x E.

V Здесь < ·, · > – двойственность между E и E.

В разделе 1.7 изучена проблема существования базисов в E() в специальном случае весовых функций, а именно, когда система состоит из выпуклых в Cn функций m таких, что при z R (где R 0 – некоторое число) функции m имеют вид:

h( z ) m(z) = (z) +, m где – выпуклая функция в Cn, удовлетворяющая условию: существуют положительные числа A, B, C, D такие, что для 1 < µ C z µ - D (z) A||z|| + B, z Cn, h – непрерывная неубывающая положительная функция на [0, +) такая, что:

h(r) a) lim = +;

r+ ln(1 + r) -µ-b) b > 1 h(br ) = O(h(r)), r +;

с) h( z ) = O((z)), z.

В этих предположениях доказана Теорема 1.5 В пространстве E() существует базис.

В разделе 1.8 главы 1 изучаются сюръективность линейного дифференциального оператора конечного порядка с постоянными коэффициентами в пространстве E() и задача спектрального синтеза в ядре этого оператора.

Как известно (см., например, [12], [7] и библиографию там), сюръективность линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, операторов свертки в различных классах аналитических функций часто благодаря использованию преобразования Лапласа и методов функционального анализа эквивалентна проблеме деления [22], [25] в подходящих пространствах целых функций.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»