WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

УДК 532.59 Гаврилова Кира Николаевна ВЛИЯНИЕ ДИСПЕРСИИ, ТОПОГРАФИИ И ПЕРЕМЕШИВАНИЯ НА СТРУКТУРУ ДЛИННЫХ ВОЛН В ОТКРЫТЫХ КАНАЛАХ Специальность: 01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2009

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор В. Ю. Ляпидевский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Л. Б. Чубаров;

доктор физико-математических наук, Е.В. Ерманюк

Ведущая организация: Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится 6 октября 2009 года в часов на заседании диссертационного совета Д 003.054.01 при Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск, проспект ак. М. А. Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан сентября 2009.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук С. А. Ждан

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена анализу нового класса гиперболических моделей теории мелкой воды, учитывающих влияние дисперсии, перемешивания и топографии в течениях жидкости со свободной границей.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе приведены постановки задач и модели мелкой воды, учитывающие эффекты дисперсии, топографии и обрушения волн. Во второй главе различные модели второго приближения теории мелкой воды (Грина Нагди, Серра и т.д.) и их гиперболические аппроксимации применены для анализа волновой структуры в окрестности локального препятствия. В третьей главе изучена структура нелинейных волн в течениях жидкости над наклонной плоскостью. В заключении приведены результаты диссертационной работы.

Актуальность исследований. Моделирование движения потока в открытом канале связано с важными практическими задачами гидравлики, такими как течения в различных естественных и искусственных водоводах, течения жидкости в окрестности порогов, выход волн на берег, перенос осадков на дне каналов и каньонов.

Для описания взаимодействия нелинейных волн используется второе приближение теории мелкой воды. Существуют разные варианты уравнений, учитывающих в длинноволновом приближении влияние дисперсионных эффектов на структуру нелинейных поверхностных и внутренних волн путем введения членов, содержащих производные высоких порядков. К данному классу уравнений относятся уравнения Грина Нагди в теории мелкой воды [Gavrilyuk, Teshukov, 2001; Green, Naghdi, 1976], уравнения Иорданского Когарко для пузырьковой жидкости и др. Соответствующие модели не описываются системами гиперболических уравнений, что усложняет постановку задач, исследование корректности и численное интегрирование уравнений. Для описания дисперсионных эффектов в течениях однородной жидкости со свободной поверхностью предлагается формальный метод получения моделей, описывающих эволюцию нелинейных дисперсионных волн в рамках гиперболических систем уравнений теории мелкой воды [Ляпидевский, 1998; Ляпидевский, Тешуков, 2000].

Уравнения гиперболического типа возникают при осреднении уравнений второго приближения теории мелкой воды по фиксированному временному интервалу. Исследование эффективности нелинейных дисперсионных уравнений гиперболического типа применительно к нестационарным проблемам теории мелкой воды является содержанием работы.

При математическом моделировании внутренняя структура гидравлического прыжка (перехода от сверхкритического потока к докритическому, в котором генерируется турбулентность с последующей диссипацией энергии) зависит от используемой модели. Волновой бор описывается в рамках модели второго приближения теории мелкой воды в работе [Grimshaw, Smyth, 2008]. Модель турбулентного бора, основанная на законах сохранения массы, импульса и энергии предложена в [Madsen, Svendsen, 1983, 1984]. В монографии [Ляпидевский, Тешуков, 2000] предложено развитие данного метода в рамках двухслойной мелкой воды с поверхностным турбулентным слоем. Эффекты дисперсии и перемешивания оказывают влияние на структуру течения как внутри гидравлического прыжка, так и на большом расстоянии от фронта волны. Описание перехода от волнового бора к развитому турбулентному в рамках одной модели является одной из проблем гидравлики открытых русел. Указанные модели относятся к течениям над ровным дном, в то же время в литературе представлено много экспериментальных работ, посвященных изучению установившихся гидравлических прыжков в наклонных каналах, например, [Gunal, Narayanan, 1996; Bakhmeteff, Matzke, 1938]. В последней работе также изучена структура ”затопленных“ гидравлических прыжков, генерируемых в нижнем бьефе плотины.

Целями настоящей работы являются:

• исследование модели течений мелкой воды, учитывающих эффекты дисперсии, топографии и перемешивания; обоснование эффективности гиперболической аппроксимации моделей второго приближения теории мелкой воды;

• решение задачи о генерации волн движущимся препятствием; нахождение условия устойчивости равномерного течения над наклонным дном; исследование малых возмущений в длинных наклонных каналах (катящиеся волны);

• асимптотический вывод гиперболической аппроксимации уравнений Грина Нагди; построение разных типов течений над порогом; исследование структуры волновых и турбулентных боров в рамках одной модели.

Методы исследования. При получении результатов работы использовалась теория уравнений математической физики, классическая теория гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений и их приложений. Для численного решения применялись конечноразностные методы.

Научная новизна. В диссертации исследуются течения однородной жидкости над неровным дном. Проведен анализ нового класса гиперболических моделей теории мелкой воды, учитывающих влияние дисперсии, перемешивания и топографии в течениях жидкости со свободной границей.

Все результаты работы являются новыми. Их достоверность устанавливается сравнением с построенными ранее моделями, иллюстрируется примерами точных решений, наглядным графическим материалом, сравнением с экспериментальными данными других авторов.

Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что рассмотренный класс уравнений может быть эффективно использован наряду с моделями второго приближения теории мелкой воды для описания нелинейных волновых процессов в открытых каналах.

Результаты исследования вносят существенный вклад в гидравлику прибрежной зоны.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В. М. Тешукова и д.ф.-м.н. В. Ю. Ляпидевского в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, на семинаре под руководством академика Л. В. Овсянникова и д.ф.-м.н. А. П. Чупахина в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, а также на следующих научных конференциях:

Международная конференция "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2003, 2007), (Москва, 2005, 2009), Международная школа-конференция "Nonlinear Processes in Marine Sciences" (Хагери, Эстония, 2003), Международная школа-конференция "Advanced Problems in Mechanics" (Санкт-Петербург, 2004, 2009), Всероссийские конференции "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)" (АбрауДюрсо, 2004), "Аналитические методы в газовой динамике (САМГАД)" (Санкт-Петербург, 2006) и "Актуальные проблемы прикладной математики и механики (АФСИД)" (Абрау-Дюрсо, 2008), Международная школа-конференция "Waves in Geophysics" (Удине, Италия, 2005).

Всероссийская конференция "Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва" (Новосибирск, 2007), Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2008).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [1]–[4]. Работа [3] выполнена в соавторстве с В. Ю. Ляпидевским.

Вклад авторов в совместной работе является равным.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 107 страниц состоит из введения, трех глав, заключения, 31 иллюстрации и списка литературы из 51 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, изложены основные идеи и методы, используемые в диссертации, дано краткое описание работы.

В первой главе приведены постановки задач и модели мелкой воды, учитывающие эффекты дисперсии, перемешивания и топографии. В монографии [Ляпидевский, Тешуков, 2000] предложен метод построения нелинейных дисперсионных уравнений гиперболического типа, аппроксимирующих некоторые модели второго приближения теории мелкой воды. Один из простейших вариантов систем второго приближения теории мелкой воды, инвариантной относительно преобразования Галилея, имеет вид ht + (uh)x = 0, (1) 1 1 d2h ut + ( u2 + gh + h )x = 0, 2 2 dtздесь h(x, t) глубина, u(x, t) скорость потока, g ускорение свободного падения. Аппроксимирующая система для модели (1) может быть записана в следующем виде ht + (hu)x = 0, (2) ut + ( u2 + gh + g(h - ))x = 0, t + ux = w, h(wt + uwx) = 2g(h - ), h/h2. 1. -4 0 0 Рис. 1: Область устойчивости Рис. 2: Профили солитонов здесь (x, t) мгновенная глубина, w(x, t) вертикальная скорость жидкости на поверхности, дисперсионный параметр. Система (2) переходит в классические уравнения мелкой воды при 0. При полученная система (2) эквивалентна системе (1). При конечных значениях параметра система (2) является промежуточным между первым и вторым приближением мелкой воды, которое описывает дисперсионные свойства и остается гиперболическим.

Проведен анализ устойчивости малых возмущений равномерного течения систем (1) и (2). Показано, что изменение дисперсионного параметра в широких пределах не оказывает сильного влияния на область устойчивости, уже при = 10 кривые, отвечающие неравенствам устойчивости систем (1) и (2), практически не отличаются, но переход от бездисперсионной модели к модели с дисперсией значительно сужает область устойчивости решения (рис. 1).

Гиперболическая аппроксимация уравнений Грина Нагди [Green, Naghdi, 1976] представлена в разделе 1.4. Уравнениях Грина Нагди были выбраны как наиболее подходящие для расчета транскритических течений однородной тяжелой жидкости в окрестности локального двумерного препятствия:

ht + (hu)x = 0, 1 1 d2h 1 d2z 1 d2h d2z (hu)t + hu2 + gh2 + h2 + h2 + + + g hzx= 0.

2 3 dt2 2 dt2 x 2 dt2 dt(3) Здесь z = z(x) форма дна.

Гиперболическая аппроксимация (3) состоит в замене производных dh/dt и d2h/dt2 на соответствующие значения для мгновенной глубины и скорости на поверхности и d/dt = w. Также требуется аппроксимировать производную d2z/dt2, которая для неподвижного дна z = z(x) d2z du представляется в виде = z + u2z. По аналогии с представлениdt2 dt ем d2h/dt2 через мгновенные значения и w скорость u и ее производная du/dt заменяется мгновенными значениями и соответственно, а область гиперболичности приближенной системы (3) расширяется путем замены средней глубины h на мгновенную глубину в коэффициентах системы (3) перед вторыми производными d2h/dt2 и d2z/dt2. При этом получается система ht + (hu)x = 0, 1 1 (hu)t + (hu2 + gh2 + 2(h - ) + 2(z + 2z ))x+ 2 3 +( (h - ) + z + 2z + g)hz = 0, (4) t + ux = w, wt + uwx = (h - ), t + ux =, t + ux = (u - ).

Сравнение свойств второго приближения теории мелкой воды с гиперболической моделью показывает, что солитонные решения по модели Грина Нагди (3) и дисперсионной гиперболической модели (4) практически совпадают уже для небольшого значения безразмерного дисперсионного параметра = h0/g, где = 20, h0 характерный масштаб глубины. Численный расчет солитонов показал эффективность аппроксимации (рис. 2).

Влияние процессов перемешивания на структуру длинных волн в стратифицированной жидкости проиллюстрировано в разделе 1.5 на примере модели гравитационного течения, являющейся обобщением модели, предложенной в работе [Ляпидевский, Тешуков, 2000], t + (v)x = q, mt + (mv)x = 0, (v)t + (v2 + m)x = m tg, (5) ((v2 + q2 + m))t + (v(v2 + q2 + 2m))x = 2mv tg - q3.

Здесь плотность, b = ( - 0)g/0 плавучесть, толщина, v скорость турбулентной струи, m = b, = 0.15. Скорость вовлечения в турбулентный слой определяется среднеквадратичной скоростью пульсационного движения q. Константа задает скорость диссипации энергии в турбулентной струе. Система (5), состоящая из законов сохранения массы, импульса и энергии, представляет собой обобщение уравнений мелкой воды, которое учитывает вовлечение в турбулентный слой.

В разделе 1.6 рассматривается задача о течении идеальной однородной жидкости в поле силы тяжести над наклонным дном с препятствием. Процесс обрушения волн и образование поверхностного турбулентного слоя описывается уравнениями двухслойной мелкой воды. Нижний слой, течение в котором потенциально, определяется средней глубиной h = h(x, t) и скоростью u = u(x, t). Верхний турбулентный слой характеризуется глубиной = (x, t) и скоростью v = v(x, t). Система уравнений двухслойной мелкой воды с поверхностным турбулентным слоем имеет вид [Ляпидевский, Тешуков, 2000] (h + )t + (uh + v)x = 0, t + (v)x = q, ut + ( u2 + g(h + ))x = -gzx, (hu + v)t + (hu2 + v2 + g(h + )2)x = -g(h + )zx, (6) (hu2 + (v2 + q2) + g(h + )2)t + (hu3 + v(v2 + q2)+ +2g(h + )(hu + v))x = -2g(hu + v)zx - q3.

Скорость вовлечения из нижнего слоя в турбулентный определяется величиной q.

Объединяя два подхода к моделированию эффектов перемешивания и дисперсии, получаем итоговую полную систему уравнений мелкой воды с дисперсией и перемешиванием:

ht + (uh)x = -q, t + (v)x = q, ut + (1 u2 + gh + g + g(h - ))x = -gzx, vt + (1 v2 + gh + g)x = q(u - v)/ - gzx, (7) qt + vqx = ((u - v)2 - (1 + )q2)/2, t + ux = w, wt + uwx = 2g(h - )/h.

При 0 эта система переходит в систему (6), при стремлении к нулю толщины турбулентной прослойки 0 получаем систему (2).

Рассмотренные в главе 1 модели используются в следующих главах для анализа длинных нелинейных волн.

Во второй главе модели Грина Нагди, Серра и их гиперболические аппроксимации применены для анализа волновой структуры в ) б), см, см, см, см, см, см -10 0 30 -10 0 50 0 Рис. 3: Обтекание порога:

1 нестационарный расчет Рис. 4: Обтекание порога:

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»