WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

A± = S±S-1 = diag 1,2,3 V = u + c ( ) ± j j ± = diag SW ± erf(s) + exp -s( ) ( ) j j ± = diag КР ± 2 V ± = diag j j КР ± 2 V +V ( ) j j ± = diag КР Таблица 1: Расщепление собственных значений матрицы Якоби для различных схем Отметим, что расщепленные собственные значения в SW, КР1, КР3 сохраняют знак и следовательно являются обобщением схем с разностью против потока на нелинейные уравнений Эйлера. При этом схему КР1 можно рассматривать как бесконечно непрерывно-дифференцируемое приближение к схеме SW (рисунок 2а). Наличие недифференцируемой особенности в звуковых точках (число Маха равно M =±1) в схеме SW приводит к возникновению большой вычислительной ошибки в окрестности этих точек даже в случае непрерывного течения.

Так, на рисунке 2б показано распределение локального числа Маха при расчете изотермического течения в сопле Лаваля в режиме «дозвук-сверхзвук» по схемам SW и КР1 и точного решения. Видно, что численное решение по схеме SW имеет характерный излом по сравнению с решением по схеме КР1, которое более близко к точному решению.

Рисунок 2: а) расщепленные собственные значения для схем SW и КР1; б) распределение числа Маха в изотермическом течении в сопле Лаваля Одним из способов повышения порядка аппроксимации для схем расщепления вектора потока первого порядка является замена кусочно-постоянного распределения консервативного вектора газодинамических параметров в расчетной ячейке Qi на кусочно-линейное распределение (метод MUSCL) 1+ k 1+ k Qi+1/ 2 = Qi + Lim Qi-1/ 2, Qi+1/ 2 + 1- k Lim Qi+1/ 2, Qi-1/ ( ) k k 2 k для левой разности в схеме расщепления («положительные потоки») и 1+ k 1+ k + Qi+1/ 2 = Qi+1 - Lim Qi+3/ 2, Qi+1/ 2 + 1- k Lim Qi+3/ 2, Qi+1/ ( ) k k 2 k для правой разности в схеме расщепления («отрицательные потоки»). Здесь функция Lim(a,b) есть функция-ограничитель, зависищая от разностных градиентов, и такая, что Lim(a,b) = 0, если ab < 0. В случае выбора параметра 0 k 1 и k 1/ 3 порядок пространственной аппроксимации равен двум на монотонных участках решения (при k = 1/ 3 – порядок аппроксимации равен трем). В окрестности точек разрыва и экстремальных точек порядок схемы понижается до 1, что обусловлено поведением функции-ограничителя. То есть полученная схема удовлетворяет свойству TVD (Total Variation Diminishing).

На рисунке 3 приведены графики плотности в численном решении задачи о распаде произвольного сильного разрыва по схемам повышенного порядка с различным выбором функции-ограничителя и параметра k, а также график точного решения.

Рисунок 3: Распределение плотности в задаче о распаде произвольного разрыва Видно, что кинетические схемы повышенного порядка неплохо согласуются с точным решением для различного вида разрывных решений (ударная волна, контактный разрыв).

Второй способ повышения порядка точности осуществляется за счет добавления антидиффузионных потоков или, другими словами, экстраполяции (интерполяции) не переменных Q, потоковых переменных F.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с обобщением полученных кинетических схем для аппроксимации конвективной части уравнений Навье-Стокса на неструктурированные треугольные (двумерный случай) или тетраэдральные сетки (трехмерный случай). Для аппроксимации вязкой части уравнений Навье-Стокса используется метод конечных элементов.

В общем случае для произвольного контрольного объема (расчетная ячейка) может быть выписано балансное соотношение аналогичное одномерному случаю (рисунок 4).

Рисунок 4: Балансное соотношение для произвольного контрольного объема Дальнейшая вариация зависящего от скорости коэффициента при диффузионном члене в балансном соотношении приведет к локально одномерным относительно грани контрольного объема схемам, рассмотренным в первой главе. Повышение порядка аппроксимации также достигается заменой кусочнопостоянного распределения газодинамических параметров в расчетной ячейке на кусочно-линейное распределение. В это главе также приведен анализ точности схемы в линейном приближении для различного типа расчетных ячеек (барицетрические и ячейки, построенные на основе описанных окружностей). В качестве тестовой задачи выбрано обтекание двумерного аэродинамического профиля потоком вязкого газа с числом Маха набегающего потока равным 0.8.

В третьей главе приводится вывод полудискретной квазигазоднамической системы уравнений, исходя из модели «бесстолкновительный разлетмаксвеллизация». Далее проводится анализ полученной квазигазодинамической системы уравнений (КГУ) и показывается ее отличие от системы уравнений Навье-Стокса наличием членов второго порядка малости относительно времени бесстолкновительного разлета.

Аналогично уравнениям Навье-Стокса для аппроксимации системы КГУ используется смешанный метод: метод конечных объемов и кинетическая схема для аппроксимации конвективного переноса, метод конечных элементов для вычисления вязких членов.

Для сравнения поведения разностного решения уравнений Навье-Стокса и КГУ решается ряд тестовых задач. Одна из этих задач – это обтекание сферы при числе Маха равном 0.1 и числе Рейнольдса равном 25. Расчет проводился на грубой (149802 тетраэдра) и подробной (786952 тетраэдра) сетках. Как можно видеть из таблицы 2, где приведен коэффициент лобового сопротивления сферы CD, результаты расчетов по обеим системам очень близки друг к другу и не сильно отличаются от аналитического значения (рассчитанного для несжимаемой жидкости).

Система Сетка (тетраэдры) Навье-Стокс КГУ 149802 2.29 2.786952 2.49 2.Аналитическое решение: CD = 2.Таблица 2: Коэффициенты лобового сопротивления при обтекании сферы.

Проведенный расчет подтверждает вывод о том, что при числах Кнудсена, определяемых как отношение числа Маха к числу Рейнольдса порядка 0.001, решение уравнений Навье-Стокса и квазигазодинамической системы совпадают.

В заключении диссертационной работы сформулированы основные выводы и приведены выносимые на защиту результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Предложены новые методы кинетического расщепления. Проведен анализ кинетически-согласованных разностных как схем расщепления вектора потока.

2. Разработаны алгоритмы повышения порядка точности кинетически согласованных разностных схем с использованием методики MUSCL и с помощью введения антидифузионных потоков.

3. Построены кинетических схемы, аппроксимирующие уравнения Эйлера с повышенным порядком аппроксимации на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках.

4. Проведена аппроксимация квазигазодинамической системы на неструктурированных тетраэдральных сетках.

5. Проведена серия модельных расчетов, демонстрирующих возможности кинетически согласованных разностных схем и квазигазодинамической системы для моделирования задач газовой динамики.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Абалакин И.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений, Математическое моделирование, 1996. Т.6, № 8.

2. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетическисогласованная аппроксимация газодинамических уравнений на треугольных сетках, Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара “Современные проблемы математического моделирования”, Ростов-на-Дону, 1997, с.1-4.

3. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетическисогласованные разностные схемы на нерегулярных сетках, Математическое моделирование, 1997. Т.9, № 7.

4. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованный алгоритм для расчета газодинамических течений на треугольных сетках, Математическое моделирование, 1998. Т.10, № 4, с.51-60.

5. Абалакин И.В., Жохова А.В. Кинетически-согласованные разностные схемы с коррекцией на треугольных сетках, Дифференциальные уравнения, 1998, Т.34, № 7, с.904-910.

6. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Разностные схемы на основе кинетического расщепления вектора потока, Математическое моделирование, 2000. Т.12, № 4, с.73-82.

7. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически– согласованные схемы повышенного порядка точности, Математическое моделирование, 2001. Т.13, № 5, с.53-61.

8. I.V. Abalakin, A. Dervieux, T.K. Kozubskaya A vertex centered high order MUSCL scheme applying to linearised Euler acoustics, INRIA report, № 4459, 2002.

9. Абалакин И.В., Суков С.А., Моделирование внешнего обтекания тел на многопроцессорных системах с использованием тетраэдрических сеток. В сб.

"Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем", вып. 7, под ред. Л.А. Уваровой. М., Изд-во "JanusK", 2004, с. 52-57.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»