WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

Абалакин Илья Владимирович ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА ПРИ ПОСТРОЕНИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2007

Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН

Научный консультант: доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Четверушкин Борис Николаевич, директор ИММ РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кобельков Георгий Михайлович, зав. кафедрой вычислительной математики, механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова доктор физико-математических наук, профессор Галкин Валерий Алексеевич, зав. кафедрой прикладной математики, Обнинского государственного университета атомной энергетики

Ведущая организация: Институт автоматизации проектирования РАН

Защита диссертации состоится «25 » октября 2007 г. в на заседании диссертационного совета № К 002.058.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу 125047, г. Москва, Миусская пл., 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН

Автореферат разослан « » 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Прончева Надежда Геннадьевна к.ф.-м.н.

1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Широкий круг проблем, стоящих перед современной наукой и техникой, связан с решением задач газовой динамики. Одними из наиболее интересных и актуальных задач в индустриальной практике является изучение нестационарных течений около сложных многокомпонентных аэродинамических конструкций при различных скоростях набегающего потока (от дозвуковых течений с числом Маха равным 0.01 до гиперзвуковых с числом Маха порядка 10-15). Такие течения характеризуются возникновением различного типа физических неустойчивостей, приводящих к крупно- и мелкомасштабной турбулентности, а при трансзвуковых и сверхзвуковых скоростях еще появлением и ударных волн, взаимодействующим с турбулентными пограничными слоями. Для детального исследования таких сложных течений уже недостаточно только проведение натурных экспериментов, а также необходим вычислительный эксперимент или математического моделирование поставленной задачи. В качестве математической модели для изучения этих процессов можно использовать систему уравнений Навье-Стокса для вязкого сжимаемого теплопроводного газа.

Фактически единственным эффективным способом решения этой сложной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных являются численные методы. С одной, как хорошо известно, прямое использование дискретизированных тем или иным способом уравнений Навье-Стокса (так называемое DNS – Direct Numerical Simulation) для расчетов течений с сильно развитой турбулентностью приводит к необходимости использовать разностные сетки с количеством узлов порядка 109, что превосходит возможности имеющейся на сегодняшний день вычислительной техники. С другой стороны, использование осредненных по времени уравнений Навье-Стокса (RANS – Reynolds Average of Navier-Stokes) или использование подсеточных фильтров, применяемых в подходах типа LES (Large Eddy Simulation), требует эмпирических или полуэмпирических моделей, которые не могут быть универсальны даже в рамках одного моделируемого течения, что очень осложняет проведение расчетов. Поэтому в данной диссертационной работе будет рассматриваться изучавшаяся в течение последних 15 лет квазигазодинамическая система уравнений (КГУ), которую можно интерпретировать как физическую модель, описывающую течения вязкого газа и альтернативную уравнениям Навье-Стокса.

Следующим важным звеном в математическом моделировании сложных аэродинамических задач, помимо физико-математической модели, является выбор численного метода для решения системы уравнений (Навье-Стокса или КГУ), который мог бы одинаково надежно работать в областях с разными типами течений. В этом смысле хорошо зарекомендовали себя так называемые кинетически-согласованные разностные схемы (КСРС), полученные из дискретных кинетических моделей. Но теоретическое обоснование успешности расчетов с помощью КСРС поводилось только на кинетическом уровне, что не вполне достаточно для выявления как слабых, так и сильных сторон данной схемы. С другой стороны, проведение подробного анализа КСРС на макроскопическом уровне позволит глубже понять область их применимости и дальнейшего улучшения. Здесь также отметим, что на сегодняшний день все более широкое распространение получают методы аппроксимации уравнений в частных производных на треугольных и тетраэдральных сетках. Тетраэдральная сетка может иметь переменную плотность узлов по пространству, что позволяет сосредоточить большинство узлов расчетной сетки в тех подобластях, где необходимо получить решение с повышенной точностью, аппроксимируя с высокой точностью поверхности сложной формы.

Таким образом, для расчета сложных разномасштабных течений, которые характерны для индустриально важных на сегодняшний день задач, актуальны следующие составляющие компоненты для проведения вычислительного эксперимента:

• максимально универсальная математическая модель, более или менее адекватно описывающая возможно большее число типов течения;

• простая в реализации, экономная и надежно работающая разностная схема, аппроксимирующая уравнения математической модели;

• адаптация к областям сложной формы, в частности, за счет применения неструктурированных сеток.

Одна из возможностей удовлетворения перечисленным выше этапам лежит в кинетическом подходе при построении моделей вычислительного эксперимента в газовой динамике.

Цели и задачи диссертационной работы Основной целью данной диссертационной работы является обоснование и улучшение существующих на сегодняшний день кинетически-согласованных разностных схем, а также проведение сравнения результатов, полученных при моделировании по уравнениям Навье-Стокса и системе КГУ, с целью выявления классов течения, где их решения мало отличаются, а где система КГУ превосходит по точности моделирования уравнения Навье-Стокса. Для ее достижения решаются следующие задачи:

• представление КСРС, как схемы принадлежащей классу схем расщепления вектора потока для аппроксимации системы невязких уравнений Эйлера;

• изучение свойств КСРС относительно семейства схем расщепления вектора потока, а также построения схем повышенного порядка точности на основе базовых КСРС первого порядка;

• построение кинетически согласованной аппроксимации на неструктурированных сетках (треугольных и тетраэдральных);

• построение аппроксимации системы КГУ на тетраэдральной сетке и проведение расчетов обтекания сферы при различных параметрах течения и сравнение с аналогичными расчетами, полученными при решении уравнений НавьеСтокса.

Научная новизна и практическая ценность работы В диссертации предложены следующие оригинальные разработки:

1) выведены новые аппроксимации уравнений Эйлера на основе кинетического расщепления вектора потока;

2) построены схемы повышенного порядка аппроксимации на основе базовых схем кинетического расщепления.

3) проведено обобщение кинетически-согласованных разностных схем как первого, так и повышенного порядка точности на неструктурированные сетки;

4) на основе смешанного метода конечных объемов и метода конечных элементов построена аппроксимация квазигазодинамической системы уравнений.

Разработанные алгоритмы были внедрены в комплекс параллельных программ по решению задач газовой динамики. Используя этот комплекс программ, были проведены расчеты тестовых задач по системе КГУ и уравнениям Навье-Стокса на тетраэдральных сетках. Выполнено сравнение полученных результатов с точным решением соответствующих задач, экспериментальными данными и результатами расчетов, выполненных по другим методикам.

На примере численного моделирования задачи обтекания летательного аппарата невязким газом показана возможность эффективного использования полученных кинетических алгоритмов при выполнении научных исследований и производственных расчетов.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях и семинарах, в частности:

Second European Fluid Dynamics Conference, 5-8 September 1994, Stuttgart, Germany. Устный доклад: "Kinetically-Consistent Difference Schemes for the Prediction of Moderately Rarefied Gas Flows" (co-authors B.N. Chetverushkin).

Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике, ММТ-96, 1996, Ижевск. Устный доклад: "Кинетическисогласованные разностные схемы на нерегулярных сетках" (соавторы Жохова А.В. Четверушкин Б.Н.).

Всероссийская школа-семинар: “Современные проблемы математического моделирования”, 1997, Ростов-на-Дону. Устный доклад: " Кинетиче ски-согласованная аппроксимация газодинамических уравнений на треугольных сетках (соавторы Жохова А.В. Четверушкин Б.Н.).

Семинары кафедры вычислительных методов ф-та ВмиК МГУ.

Семинары ИММ РАН.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, список которых приведен в конце данного автореферата.

Достоверность результатов.

Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается тем, что для выполненных в работе численных расчетов наблюдается качественное совпадение полученных результатов с точным решением соответствующих задач, экспериментальными данными и результатами других авторов. Эффективность предложенных кинетических алгоритмов подтверждается результатами тестирования разработанных на их основе программ.

Реализация результатов.

Результаты диссертации получены в ходе выполнения ряда работ, поддерживаемых РФФИ, в которых автор принимал участие в качестве основного исполнителя (гранты 94-01-01526-а “Кинетически-согласованные разностные схемы газовой динамики”, 97-01-01032-а “Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания течения вязкого теплопроводного газа”, 00-0100263-а “Моделирование течений вязкого газа на основе кинетически- согласованных разностных схем”). Разработанные численные методики внедрены в комплекс параллельных программ являющихся составной частью пакета моделирования задач механики сплошной среды, разрабатываемого в ИММ РАН в рамках государственного контракта № 10002-251/ОМН-03/026-023/240603-от 30 апреля 2003 г.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Объем составляет 120 машинописных страниц, текст содержит 40 рисунков и 10 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.

Во введении обоснована актуальность рассматриваемых в работе проблем, сформулированы основные цели диссертации и дано ее краткое содержание по главам. Приведен обзор существующих на сегодняшний день в мире методов и подходов к решению системы уравнений газовой динамики и методов пространственной дискретизации расчетной области. Особое внимание уделено различным кинетическим алгоритмам. Также приведено краткое изложение построения и исследований квазигазодинамической системы.

В первой главе рассматриваются базовые принципы построения кинетически-согласованных разностных схем для невязкого уравнения Бюргерса в качестве модельной задачи и уравнений одномерной газовой динамики. Далее показано, что КСРС можно интерпретировать как схему из класса схем вектора расщепления потока для аппроксимации уравнений Эйлера. Затем на основе этого расщепления были построены схемы повышенного порядка точности. Все построения иллюстрируются расчетами тестовых задач.

Одним из методов построения КСРС является использование модели расщепления по физическим процессам уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения молекул по скоростям f x,,t :

( ) f + div f = J f, f.

( ) t Введем дискретное время tk с шагом tk = tk +1 - tk и на этом интервале определим два процесса: бесстолкновительный разлет за время free и релаксацию, имеющую время relax При предположении free relax модель расщепления сводится к решению задачи Коши для бесстолкновительного уравнения Больцмана и с начальным условием в момент времени tk, определяемым начальной локально-максвелловской функцией распределения (рисунок 1) Рисунок 1: Схематическое изображение модели расщепления Решением начальной задачи Коши в 1D пространственном случае с равномерной сеткой с шагом x есть балансное соотношение kk k k k fM i+1 fM i-1 fM i+( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) - 2 fM i + fM i-k fik +1 = fM i - - ( ) 2x 2x После интегрирования этого соотношения с сумматорными инвариантами получаем кинетически-согласованную разностную схему Получить аналогичную КСРС, а также целый класс подобных схем можно не прибегая к рассмотрению кинетического уравнения, а используя метод расщепления вектора потока. Основная идея этого метода опирается на свойство однородности вектора потока в уравнениях. Это означает, что вектор потока в уравнении Эйлера есть однородная функция степени один от вектора консервативных переменных Q. Следовательно, поток F в уравнении Эйлера есть произведение матрицы Якоби A = F Q на вектор Q. Расщепляя собственные значения матрицы A на положительную и отрицательную части, полу чаем расщепленный вектор потока F± = A±Q. Дальнейшая аппроксимация «положительного» потока левой разностью, а «отрицательного» потока правой разностью дает так называемую схему расщепления вектора потока, аппроксимирующую систему уравнений Эйлера с первым порядком. В зависимости от метода расщепления имеем целый класс схем. В таблице 1 приведены законы расщепления для стандартной схемы расщепления Стегера –Уорминга (SW) и три схемы кинетического расщепления КР1, КР2, КР3.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»