WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Matasov A. I. Estimators for Uncertain Dynamic Systems. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht–Boston–London, 1999.

t y(t + 1) = A(t, k)y(k) + B(t)(t), t = 0,..., N - 1, (13) k=t-s y(0) = x0, A(t, k) = 0 при k < с измерениями z(t) = H (t)y(t) + (t), t = 0,..., N.

Здесь (t) Rm и (t) Rr последовательности независимых центриро ванных случайных векторов с ковариационными матрицами R(t) = 1R(t) и Q(t) = 2Q(t) соответственно. В отличие от исходного уравнения (1), в этой упрощённой модели пренебрегается „хвостами“ y(t - s - 1),..., y(0). Кроме того, здесь ковариационные матрицы возмущений мы можем выбирать по своему усмотрению, изменяя положительные числа 1 и 2.

Рассмотрим задачу оптимального среднеквадратического оценивания величины a y(N). Очевидно, что путём расширения вектора состояния аппроксимирующая система (13) легко сводится к стандартной модели, для которой оптимальный оцениватель находится из формул калмановской теории фильтрации. Таким образом, поиск не приводит к вычислительным сложностям. Кроме того, можно ожидать, что значения d() и d(0) отличаются друг от друга незначительно, поскольку модель (13) близка к исходной модели (1)–(3). Итак, в исходной задаче (5) для оценивания a x(N) будем использовать фильтр, оптимальный для упрощённой модели. Число s будем называть порядком упрощённого фильтра.

Теорема 3.

Пусть оптимальный для редуцированной модели оцениватель. Тогда его уровень неоптимальности () в задаче (5) удовлетворяет следующим неравенствам:

J · k 1 (), =, |a x(N)| где N J = (0)P0(0) + (t)R(t)(t) + t=N-+ (t + 1)B(t)Q(t)B (t)(t + 1), t=N k = (0)P0(0) + x (t)H(t)R-1(t)H (t)x(t) + t=N- + (t + 1)B(t)Q (t)Q-1(t)Q(t)B (t)(t + 1), t=функция (t) вычисляется по формуле (6), функция (t) описывается формулами min(t+s,N-1) (t) = A (k, t)(k + 1) - H(t)(t), t = N - 1,..., 0, k=t (N) = a - H(N)(N), а процесс x(t) определ уравнением Вольтерра ен t x(t + 1) = A(t, k)x(k) + B(t)Q(t)B (t)(t + 1), t = 0,..., N - 1, k=x(0) = P0(0).

Из теоремы видно, что поиск верхней границы для уровня неоптимальности () не представляет трудностей.

Пример.

Для демонстрации эффективности предложенного подхода рассмотрим двумерную систему t 0.8 x(t + 1) = t-k+1 x(k) + u(t), t = 0,..., N - 1, (14) 0 k=со скалярными измерениями z(t) = x1(t) + (t), t = 0,..., N. (15) Требуется оценить вторую компоненту x2(N) по измерениям (15). Пусть 100.0 0 1.0 = 0.5, P0 =, Q =, R = 1.0, 0 100.0 0 1.1 и 2 примем равными 1.

З а м е ч а н и е. Следует отметить, что несмотря на небольшое значение величины тривиальное решение однородной системы, соответствующей уравнению (14), находится на границе устойчивости.

2.2.6, s = 2.2.2, s = 1., s = 1.1., s = opt 1.N 100 150 200 250 300 350 400 450 Рис. 1. Значения величины для N =100... 500 и различных s.

Графики зависимостей от N для различных значений порядка s фильтра представлены на рис. 1 сплошными линиями. Видно, что для любого N можно подобрать небольшое число s (порядок фильтра) так, чтобы оценка оказалась близка к 1. Кроме того, поскольку положительные числа 1 и 2 можно выбирать произвольно, то для каждого s имеется двухпараметрическое семейство упрощённых фильтров. Поэтому значение величины можно оптимизировать, изменяя параметры 1 и 2. Оптимизированные значения для случая s = 0 показаны на рис. 1 отдельными точками.

Видно, что варьированием 1 и 2 оценку уровня неоптимальности можно существенно улучшить.

Итак, во второй главе диссертации предлагается упрощённый алгоритм решения задачи оптимальной среднеквадратической фильтрации и строится оценка уровня неоптимальности этого алгоритма. Этот материал представлен в статье [1] и в тезисах [7].

В третьей главе рассматривается та же система (1), (2), что и в первой главе, но делаются другие предположения о шумах. А именно, начальное состояние и возмущения в системе и в наблюдениях будем считать не случайными, а неопределёнными детерминированными величинами. Пусть компоненты этих векторов ограничены по модулю известными положительными числами:

x0d -d, d = 1,..., n, ud(t) d(t), d = 1,..., r, t = 0,..., N - 1, (16) d(t) d(t), d = 1,..., m, t = 0,..., N.

Используя линейные функционалы вида (4) требуется оценить скалярную величину a x(N). Гарантированную ошибку оценивания определим выражением dguar() = max l() - a x(N), x0,u, где максимум берётся по всем возможным значениям векторов x0, u(t) и (t), удовлетворяющим ограничениям (16). Задача оптимального гарантирующего оценивания заключается в нахождении оценивателя guar, который минимизирует функционал dguar():

dguar(guar) = inf dguar(). (17) В диссертации показано, что dguar() = I(-,, w), где n N m N-1 r I(-,, w) = -d -d + d(t) d(t) + d(t) wd(t + 1), d=1 t=0 d=1 t=0 d=- и w связаны с выражениями (7), а -d, d(t), wd(t + 1) компоненты векторов -, (t) и w(t+1) соответственно. Следовательно, задача (17) эквивалентна вариационной проблеме I0 = inf I(-,, w) (18) -,, w при ограничениях (7). В третьей главе доказаны cуществование и единственность решения негладкой задачи (18), (7), а также сформулирована двойственная проблема, необходимая для дальнейших построений.

К сожалению, задача (18), (7) сложна в связи с негладкостью минимизируемого функционала I(-,, w). Поэтому для решения проблемы (17) предлагается подход, использованный во второй главе вместо оптимального гарантирующего оценивателя guar берётся некоторый упрощённый оцениватель. Уровень его неоптимальности определяется отношением u() = dguar()/dguar(guar). Затем для u() строится верхняя граница, которая может быть вычислена без решения задачи (18), (7). Если значение такой верхней границы приемлемо, то оцениватель может быть применён для решения задачи гарантирующей фильтрации (17).

Вместо вариационной задачи (18), (7) рассмотрим существенно более простую задачу (8), (7), где P0, R(t) и Q(t) симметрические положительно определённые матрицы. Зададим их следующим образом:

P0 = diag{-2,..., -2}, 1 n 2 R(t) = 1 diag{1(t),..., m(t)}, t = 0,..., N, 2 Q(t) = 2 diag{1(t),..., r (t)}, t = 0,..., N - 1, где 1 и 2 некоторые положительные числа, которые можно выбирать произвольно.

Видно, что проблемы (18), (7) и (8), (7) имеют одинаковые ограничения, но отличаются видом минимизируемого функционала. Задача (8), (7) рассматривалась в первой главе, и алгоритм поиска её решения (0, 0, w0) известен.

В гарантирующей задаче (17) вместо оптимального оценивателя guar будем использовать оцениватель 0, оптимальный для задачи среднеквадратической фильтрации.

Теорема 4.

Уровень неоптимальности u(0) оценивателя 0 в задаче (17) удовлетворяет неравенствам N1 · N 1 u(0) 0, 0 =, u u Nгде n N m N-1 r N1 = -d 0 + d(t) 0(t) + d(t) wd(t + 1), -d d d=1 t=0 d=1 t=0 d=n N m N-1 r 2 2 2 N2 = -20 + 1d(t)0 (t) + 2d(t)wd (t + 1), d -d d d=1 t=0 d=1 t=0 d= N =max max 0, max 1d(t) 0(t), max 2d(t) wd(t + 1).

d d=1,...,n-d -d t=0,...,N t=0,...,N- d=1,...,m d=1,...,r В качестве примера рассмотрим систему (14), (15). Пусть характеристики шумов следующие:

-1 = -2 = 10.0, (t) = 1.0, 1(t) = 2(t) =, параметры 1 и 2 взяты равными 1, а = 0.5. На рис. 2 представлены графики зависимостей 0 от N при различных значениях. Видно, что u если отличие значения критерия от оптимального в 2–3 раза допустимо, то оцениватель 0, оптимальный для квадратической задачи, может быть использован и в задаче гарантирующего оценивания (17). Оптимизация величины 0 путём подбора 1 и 2 в этом примере к существенному u улучшению не приводит.

3.0, = 0.u 0, = 0.u 2.0, = u 1.N 50 100 150 200 250 Рис. 2. Значения величины 0 для N =1... 300 и различных.

u Можно использовать и другие упрощённые алгоритмы фильтрации в задаче минимаксного оценивания (17). Например, во второй главе рассматривался оцениватель, оптимальный в среднеквадратическом смысле для системы, описываемой редуцированной моделью (13). В диссертации для оценивателя также построена граница уровня неоптимальности.

Таким образом, в третьей главе рассмотрена задача гарантирующей фильтрации в случае детерминированных ограниченных помех. Предложены упрощённые алгоритмы оценивания и построены границы уровней неоптимальности соответствующих оценивателей. Описанные результаты частично опубликованы в статье [4].

В четвёртой главе рассматриваются те же уравнения (1) и (2) для описания системы и наблюдений, что и ранее, но делаются более общие предположения о шумах. Здесь изучается случай так называемых комбинированных помех, которые имеют вид (1) (2) (1) (2) (1) (2) (t) (t).

x0 x0 u u x0 = +, u(t) = (t) + (t), (t) = + Предполагается, что слагаемые в этих суммах удовлетворяют следующим гипотезам:

(1) (1) (1) (t) неопределённые неслучайные x0 u • компоненты векторов, (t), ограниченные по модулю числа, такие, что (1) x0d -d, d = 1,..., n, (1) ud d = 1,..., r, t = 0,..., N - 1, (t) d(t), (1) d(t) d(t), d = 1,..., m, t = 0,..., N;

(2) (2) (2) (t) центрированные случайные векторы. Компоненты • x0 u, (t), всех этих векторов независимы и имеют неопределённые ограниченные дисперсии:

(2) (2) x0 x0 = diag{cx,..., cx}, E 1 n (2) (2) u u u u t, s = 0,..., N - 1, (t) (s) = diag{q1 (t),..., qr (t)}ts, E (2) (2) (t) (s) = diag{r1(t),..., rm(t)}ts, t, s = 0,..., N, E где cx cd, d = 1,..., n, d u qd(t) qd(t), d = 1,..., r, t = 0,..., N - 1, rd(t) rd(t), d = 1,..., m, t = 0,..., N.

(2) (2) (2) (t) x0 u • вектор и процессы (t), независимы в совокупности.

В этих формулах -d, cd известные положительные числа, а d(t), qd(t), d(t), rd(t) последовательности известных положительных чисел.

Описанный процесс u(t) можно также интерпретировать как последовательность случайных векторов, компоненты которых независимы и имеют неизвестные ограниченные математические ожидания и дисперсии. Аналогичное представление справедливо для процесса (t) и вектора x0.

Будем рассматривать линейные оценки l() вида (4). Поскольку случайные элементы имеют неопределённые статистические характеристики, определим гарантированную ошибку оценки выражением D() = max l() - a x(N), E x0,u, где максимум берётся по всем неопределённостям в описании элементов x0, u и. Задача оптимальной гарантирующей фильтрации состоит в нахождении оценивателя opt, который минимизирует гарантированную ошибку оценки:

D(opt) = inf D(). (19) Как и ранее, можно показать, что задача (19) эквивалентна некоторой вариационной проблеме. А именно, если определить величины w и выражениями (7), то выполнено равенство D()=D (-,, w), где D(-,, w) = I2(-,, w) + N N-+ -c - + (t)r(t)(t) + w (t + 1)q(t)w(t + 1), t=0 t=c = diag {c1,..., cn}, q(t) = diag {q1(t),..., qr(t)}, t = 0,..., N - 1, r(t) = diag {r1(t),..., rm(t)}, t = 0,..., N.

Следовательно, задача оптимальной гарантирующей фильтрации (19) сводится к вариационной проблеме D0 = inf D(-,, w) (20) -,, w при ограничениях (7).

Показано, что решение задачи (20), (7) существует и единственно, однако нахождение его затруднительно из-за негладкости целевого функционала.

Поэтому рассмотрим некоторую „близкую“ задачу среднеквадратической фильтрации (8), (7), решение которой (0, 0, w0) даётся известным из первой главы алгоритмом. Будем использовать это решение в задаче (20), (7). Матрицы P0, R(t) и Q(t) зададим следующим образом:

P0 = diag -2,..., -2 + c, 1 n 2 R(t) = 1 diag 1(t),..., m(t) + r(t), t = 0,..., N, 2 Q(t) = 2 diag 1(t),..., r (t) + q(t), t = 0,..., N - 1, где 1 и 2 некоторые скалярные весовые множители.

Теорема 5.

Уровень неоптимальности c(0) = D(0)/D(opt) упрощённого оценивателя 0 в задаче (19) удовлетворяет следующим неравенствам:

1 2 D (0, 0, w0) · (0, 0, w0) - 1 c(0).

J2(0, 0, w0) Здесь N 2 (0, 0, w0) = sd Sd - 0 + fd(t) Fd(t) - 0 + t=d: |Sd| > 0 d: |Fd(t)| > d=1,...,n d=1,...,m N- + gd(t) Gd(t) - 0 + 0.

t=d: |Gd(t)| > d=1,...,r а величина 0 единственный корень уравнения E()=0 на отрезке [0, max], где max = max max Sd, max Fd(t), max Gd(t), d=1,...,n t=0,...,N t=0,...,N- d=1,...,m d=1,...,r N E() = sd Sd - + fd(t) Fd(t) - + t=d: |Sd| > d: |Fd(t)| > d=1,...,n d=1,...,m N-+ gd(t) Gd(t) - -, t=d: |Gd(t)| > d=1,...,r 2 -2 d(t) d(t) d sd =, fd(t) =, gd(t) =, cd rd(t) qd(t) P0d-0 Rd(t)0(t) Qd(t)wd(t + 1) d d Sd =, Fd(t) =, Gd(t) =.

-d d(t) d(t) Кроме того, в четвёртой главе рассматривается ещё и так называемый квазиимпульсный оцениватель. Он получен из эвристических соображений о структуре оптимального решения. Для квазиимпульсного оценивателя также построена граница его уровня неоптимальности. Приведены численные примеры, подтверждающие эффективность использования обоих рассмотренных упрощённых алгоритмов фильтрации. Результаты, описанные в четвёртой главе, представлены в работах [3] и [5].

В заключении кратко описываются основные результаты, полученные в работе.

Основные положения, выносимые на защиту 1. Получено фундаментальное соотношение между прямой и сопряжённой переменными в краевой задаче, возникающей при оценивании состояния стохастических динамических систем, описываемых дискретными уравнениями Вольтерра [2, 6].

2. Построена верхняя граница уровня неоптимальности упрощённого рекуррентного оценивателя в задаче линейной стохастической фильтрации [1, 7].

3. Для решения задачи гарантирующего оценивания состояния динамических систем, описываемых дискретными уравнениями Вольтерра с неопределёнными возмущениями, разработаны упрощённые оцениватели. Для этих оценивателей построены верхние границы уровней их неоптимальности [3–5].

4. Разработано программно-алгоритмическое обеспечение для решения задач гарантирующего оценивания и построения уровней неоптимальности в моделях, описываемых разностными уравнениями Вольтерра [1, 3–5].

Публикации в журналах, входящих в Перечень ВАК 1. Bashkov A. B., Kolmanovskii V. B., Mao X., Matasov A. I.

Mean-square filtering problem for discrete Volterra equations. Journal of Stochastic Analysis and Applications3, 2004, vol. 22, №4, pp. 1085–1110.

2. Bashkov A. B., Kolmanovskii V. B., Mao X., Matasov A. I.

On a boundary-value problem for discrete Volterra equations. Journal of Stochastic Analysis and Applications, 2005, vol. 23, №5, pp. 999–1016.

3. Bashkov A. B., De Nicolao G., Kolmanovskii V. B., Matasov A. I.

Filtering problem for discrete Volterra equations with combined disturbances.

Journal of Stochastic Analysis and Applications, 2007, vol. 25, №6, pp. 1297– 1323.

4. Башков А. Б.

Об одном подходе к решению задачи гарантирующего оценивания для уравнений Вольтерра. Автоматика и телемеханика, 2009, №2, с. 42–51.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»