WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |

На правах рукописи

Башков Александр Борисович МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОЦЕНИВАНИЯ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДИСКРЕТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРА Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (авиационная и ракетно-космическая техника) А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2009 г.

Работа выполнена на кафедре Теории вероятностей Московского авиационного института (государственного технического университета).

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор А. И. Матасов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А. В. Назин кандидат физико-математических наук Д. И. Бугров

Ведущая организация: Институт проблем информатики РАН

Защита состоится 11 июня 2009 г. в 10 ч. 00 мин.

на заседании Диссертационного совета Д212.125.04 Московского авиационного института по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское ш., 4, Учёный совет МАИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах.

Автореферат разослан 7 мая 2009 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета Д212.125.04 кандидат физико-математических наук М. В. Ротанина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. В диссертационной работе изучаются задачи оценивания для динамических систем, описываемых разностными уравнениями Вольтерра.

Актуальность темы. Во многих динамических системах будущее определяется не только текущим состоянием, но и значениями процесса в предшествующие моменты времени. Основополагающий вклад в развитие теории уравнений с последействием внесли Р. Беллман, В. Вольтерра, Г. А. Каменский, В. Б. Колмановский, Н. Н. Красовский, К. Кук, С. М. В. Лунел, Р. К. Миллер, А. Д. Мышкис, С. Б. Норкин, А. Л. Скубачевский, Дж. К. Хейл, Я. З. Цыпкин, Л. Е. Шайхет, Л. Э. Эльсгольц. Уравнениями такого вида моделируют различные процессы в технике, физике, медицине, экологии и т. д. В частности, уравнения с последействием встречаются в авиационно-космической отрасли. В качестве примеров можно назвать расчёты динамики ракет-носителей, изучение процесса сгорания в рабочей камере жидкостного ракетного двигателя, исследования в области аэроупругости. К указанному типу уравнений приводит задача автоматического управления посадкой самолета при запаздывании в реакции тяги на отклонение рычага управления двигателем. Системы с запаздыванием появляются в задачах управления с использованием пропорционально интегральных или пропорционально интегро-дифференциальных регуляторов. Кроме того, интегральные уравнения возникают при описании аэродинамики летательного аппарата.

Таким образом, эффект последействия важен.

Дискретным аналогом непрерывных уравнений с последействием являются разностные уравнения Вольтерра. Их изучали В. Б. Колмановский, М. Крисчи, Н. Форд, Л. Е. Шайхет, С. Элайди и др.

Проблемы оценивания составляют важный для приложений класс задач.

Например, они возникают в навигации. Задачи оптимальной среднеквадратической фильтрации для систем с последействием рассматривались М. В. Басиным, А. Ю. Веретенниковым, В. Б. Колмановским, Л. Е. Шайхетом.

Однако на практике статистическая информация о возмущениях нередко отсутствует, или же помехи вообще нельзя считать случайными. Поэтому в последние десятилетия стали развиваться методы гарантирующего или минимаксного оценивания. При этом подходе исходят из предположений, что возмущения являются детерминированными векторами, принадлежащими некоторому известному множеству. Часто рассматривают модели другого вида, в которых считают, что возмущения случайны, но их статистические характеристики неизвестны. Такая гипотеза тоже приводит к задачам минимаксной фильтрации. Основополагающий вклад в развитие теории гарантирующего оценивания внесли Х. Витзенхаузен, И. Я. Кац, Н. Н. Красовский, А. Б. Куржанский, М. Л. Лидов, Б. Т. Поляк, П. Хьюбер, Ф. Л. Черноусько, Ф. Швеппе, П. Е. Эльясберг. В дальнейшем минимаксный подход развивался в работах Б. И. Ананьева, В. А. Архангельского, Б. Ц. Бахшияна, Л. Ю. Белоусова, А. В. Борисова, М. И. Войсковского, М. И. Гусева, А. И. Матасова, А. В. Назина, Р. Р. Назирова, А. Р. Панкова, К. В. Семенихина, В. Н. Соловьёва и др.

Минимаксные проблемы сложны в связи с негладкостью целевого функционала. Поэтому представляется разумным отказаться от поиска оптимального оценивателя, а воспользоваться легко реализуемым упрощённым алгоритмом. При этом необходимо оценить качество приближённого фильтра, не зная оптимального оценивателя. Такой подход к задачам фильтрации и рассматривается в данной работе.

Проблемы оценивания для уравнений Вольтерра изучены слабо, а в гарантирующей постановке практически не изучены. Поэтому тема диссертации актуальна.

Цель работы. Цель диссертации состоит в разработке конструктивных методов решения задач оценивания для линейных динамических систем, описываемых дискретными уравнениями Вольтерра. При этом рассматриваются различные гипотезы о виде возмущений. В условиях, когда оптимальное решение задачи неизвестно, основной целью является построение оценок уровней неоптимальности предлагаемых упрощённых алгоритмов фильтрации.

Методы исследования. В работе используются методы теории вероятностей, выпуклого анализа, теории двойственности выпуклых вариационных задач и теории гарантирующего оценивания.

Научная новизна. В работе получены новые результаты, среди которых можно выделить следующие.

1) Задача среднеквадратического оценивания разностных уравнений Вольтерра изучена с использованием вариационного подхода. Получено фундаментальное соотношение между прямой и сопряжённой переменными соответствующей краевой задачи.

2) Предложен упрощённый оцениватель в задаче среднеквадратической фильтрации и построена оценка уровня его неоптимальности.

3) Рассмотрены проблемы гарантирующего оценивания для дискретных уравнений Вольтерра, возникающие при различных гипотезах о виде помех.

Для предложенных упрощённых оценивателей построены границы уровней их неоптимальности.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты позволяют применять легко реализуемые алгоритмы оценивания к решению сложных задач фильтрации для уравнений Вольтерра. При этом могут быть указаны уровни неоптимальности упрощённых фильтров, которые вычисляются без знания оптимального оценивателя. Таким образом, предложен полезный инструмент решения задач фильтрации для дискретных уравнений Вольтерра.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на 9-й Международной конференции „Системный анализ и управление“ (Крым, Евпатория, 2004 г.), на 16-м Всемирном конгрессе ИФАК (Чехия, Прага, 2005 г.), а также на научных семинарах под руководством проф. В. Н. Афанасьева (МИЭМ), проф. А. И. Кибзуна (МАИ), проф. М. Миланезе (Политехнический университет Турина, Италия).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1]–[4] журналов, входящих в Перечень ВАК, а также в работах [5]–[7].

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы (157 источников). В работе приведено 15 рисунков, 7 таблиц. Общий объем диссертации составляет 111 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся обзор основных направлений исследования. Сформулированы цели диссертационной работы, приведено краткое описание её глав.

Первая глава посвящена задаче оптимальной среднеквадратической фильтрации для дискретных уравнений Вольтерра. Ранее эта проблема была решена Л. Е. Шайхетом и Н. В. Кучкиной1 методами, основанными на использовании уравнения Винера-Хопфа. Однако для наших построений в следующих главах необходимо получить это решение иначе свести проблему оптимальной фильтрации к некоторой вариационной задаче.

Рассматривается динамическая система, состояние которой описывается линейным дискретным уравнением Вольтерра:

t x(t + 1) = A(t, k)x(k) + B(t)u(t), t = 0,..., N - 1, (1) k=x(0) = x0.

Kuchkina N. V., Shaikhet L. E. Optimal estimation of stochastic difference equations.

Proceedings of the CESA’98. Symposium on Signal Processing and Cybernetics, Tunisia, April 1-4, 1998, vol. 4, pp. 165–169.

Здесь x(t) Rn вектор состояния системы, A(t, k) Rnn, B(t) Rnr известные матрицы, а u(t)Rr случайный вектор возмущений.

Пусть проводятся линейные измерения z(t) = H (t)x(t) + (t), t = 0,..., N, (2) где H(t) Rnm заданные матрицы, z(t) Rm, а (t) Rm помехи в измерениях. Штрих означает знак транспонирования.

Предполагается, что возмущения u(t) и (t) описываются последовательностями случайных векторов, независимых друг от друга и от вектора начального состояния x0. Все случайные векторы центрированные, их ковариационные матрицы известны:

x0 = 0, x0x 0 = P0.

E E u(t) = 0, u(t)u (s) = Q(t)ts, t, s = 0,..., N - 1, E E (t) = 0, (t) (s) = R(t)ts, t, s = 0,..., N, (3) E E Матрицы Q(t), R(t) и P0 полагаются положительно определёнными.

По наблюдениям z(0),..., z(N) требуется оценить скалярную величину a x(N), где aRn заданный вектор. Будем рассматривать линейные оценки вида N l() = (t)z(t). (4) t=Вектор = ( (0),..., (N)) Rm(N+1) будем называть оценивателем. Задача оптимальной среднеквадратической фильтрации состоит в нахождении оценивателя 0, который минимизирует второй момент ошибки оценки:

d(0) = inf d(), d() = l() - a x(N). (5) E Чтобы свести проблему (5) к вариационной задаче, введём следующие величины:

• функционал N J(-,, w) = -P0 - + (t)R(t)(t) + t=N-+ w (t + 1)Q(t)w(t + 1), t=где - Rn, w(t + 1) Rr, w = (w (1),..., w (N)) RrN, • функцию (t), которая для заданного оценивателя определена уравнением в обратном времени N-(t) = A (k, t)(k + 1) - H(t)(t), t = N - 1,..., 0, (6) k=t (N) = a - H(N)(N).

Тогда выполнено равенство d() = J(-,, w), где - и w связаны с выражениями - - (0) = 0, w(t + 1) - B (t)(t + 1) = 0, t = 0,..., N - 1. (7) Значит проблема оптимальной фильтрации (5) оказывается эквивалентной вариационной задаче J0 = inf J(-,, w) (8) -,, w с линейными ограничениями (7). Доказаны существование и единственность её решения. Вариационная проблема (8), (7) сводится к краевой задаче, описанной ниже.

Теорема 1.

10. Решение (0, 0, w0) задачи (8), (7) определяется формулами 0 = (0), 0(t) = R-1(t)H (t)(t), t = 0,..., N, w0(t + 1) = B (t)(t + 1), t = 0,..., N - 1, где функции (t) и (t) удовлетворяют краевой задаче N-(t) = A (k, t)(k + 1) - H(t)R-1(t)H (t)(t), k=t t (t + 1) = A(t, k)(k) + B(t)Q(t)B (t)(t + 1), (9) k=t = 0,..., N - 1, с граничными условиями (0) = P0(0), (N) = a - H(N)R-1(N)H (N)(N).

20. Краевая задача (9) имеет единственное решение.

Таким образом, вариационная задача (8), (7) сводится к краевой задаче (9).

Её решение представляет собой сложную проблему, поскольку размерность системы линейных уравнений (9) велика. Оказывается, однако, что входящие в (9) функции (t) и (t) связаны между собой важным соотношением.

Теорема 2.

10. Функции (t) и (t) краевой задачи (9) связаны соотношением N-(t) = P (t)(t) + P1(t, k)(k + 1), t = 0,..., N, (10) k=t где матрицы P (t) и P1(t, i) вычисляются по формулам t P (t + 1) = C(t, l)P1(l, t) + P1(l, t)A (t, l) + C(t, l)P (l)A (t, l) + l=+ B(t)Q(t)B (t), t P1(t + 1, i) = C(t, l)P1(l, i) + P1(l, t)A (i, l) + C(t, l)P (l)A (i, l), l=t = 0,..., N - 1, i = t + 1,..., N - 1, (11) C(t, l) = A(t, l) - D(t, l)H (l), -D(t, l) = P1(l, t) + A(t, l)P (l) H(l) H (l)P (l)H(l) + R(l) при начальных условиях P (0) = P0, P1(0, i) = 0, i = 0,..., N - 1.

20. Функция (t) удовлетворяет уравнению в обратном времени N-(t) = C (k, t)(k + 1), t = N - 1,..., 0, (12) k=t -(N) = E + H(N)R-1(N)H (N)P (N) a.

Сформулированная теорема позволяет вместо краевой задачи (9) с граничными условиями при t = 0 и t = N рассматривать задачу (11) с условием только лишь при t = 0. Функции (t) и (t) вычисляются в соответствии с формулами (12) и (10). Теперь несложно получить, что оптимальный оцениватель 0 для исходной задачи фильтрации (5) определяется выражением N-0(t) = R-1(t)H (t) P (t)(t) + P1(t, k)(k + 1), t = 0,..., N, k=t а соответствующее ему значение функционала качества определяется формулой -d(0) = a P (N) E + H(N)R-1(N)H (N)P (N) a.

Таким образом, найден алгоритм вычисления оптимального оценивателя 0.

Кроме того, зависимость (10) позволяет получить для системы (1), (2) рекуррентные уравнения оптимальной оценки, обобщающие соотношения Калмана на случай, когда состояние объекта описывается дискретным уравнением Вольтерра.

Основные описанные в первой главе результаты опубликованы в работах [2] и [6].

Несмотря на наличие явных выражений для оптимального оценивателя, поиск его может быть затруднён, поскольку нахождение матриц P и P1 по формулам (11) требует довольно больших вычислительных затрат. Поэтому на практике вместо оптимального алгоритма иногда предпочтительнее использовать некоторый другой, упрощённый алгоритм.

Во второй главе диссертации рассматривается упрощённый алгоритм фильтрации для задачи (5) и строится оценка его уровня неоптимальности.

Уровнем неоптимальности используемого оценивателя будем называть величину () = d()/d(0). Поскольку мы предпочитаем не искать оптимальный фильтр 0 ввиду больших вычислительных затрат, то величина d(0) неизвестна, а значит и уровень неоптимальности неизвестен. Однако можно оценить его значение сверху. Если при этом окажется, что найденная граница близка к единице, то это будет означать, что значения функционала d(·) для оптимального и упрощённого оценивателей отличаются друг от друга незначительно, и потому можно применять выбранный субоптимальный алгоритм без большой потери в качестве оценивания. Такой подход к решению задач фильтрации был разработан А. И. Матасовым2, и данная диссертационная работа продолжает это направление. Поиск границы для уровня неоптимальности основан на теории двойственности выпуклых вариационных задач.

Выберем оцениватель, который будет использоваться в задаче (5) вместо оптимального оценивателя 0. Он должен легко вычисляться, и вместе с тем должны быть основания полагать, что значения d() и d(0) близки. Для построения такого оценивателя рассмотрим следующую редуцированную модель исходного уравнения Вольтерра (1):

Pages:     || 2 | 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»