WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

4. Найдены все решения для конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) в скалярно-тензорной теории гравитации Бранса-Дикке.

Научная и практическая значимость работы В дальнейшем на базе полученных конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств можно проводить анализ и сравнение более сложных космологических моделей для других альтернативных теорий гравитации (дилатонные теории, теории с нелинейными слагаемыми по кривизне и д.р.).

Полученные аналитически интегрируемые модели можно использовать для задач квантования или начального приближения при численном интегрировании.

Результаты работы можно рекомендовать для использования в научных и учебных организациях, в которых ведутся исследования в области теории гравитации, в области интегрирования классических и модифицированных уравнений математической физики в искривленном пространстве-времени: в Московском, Томском, Санкт-Петербургском, Казанском университетах, в Татарском гуманитарно-педагогическом университете.

Результаты, выносимые на защиту

:

В диссертационной работе предложен и апробирован новый подход к получению аналитически интегрируемых моделей в метрических теориях гравитации на базе конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств. С помощью предложенного подхода найдены аналитические решения для ряда моделей и построена их классификация:

1. Из множества изотропных штеккелевых пространств выделены классы конформно-плоских штеккелевых пространств как удобный инструмент для получения аналитически интегрируемых моделей для метрических теорий гравитации.

2. Построена полная классификация конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1), типа (2.1) для вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна и вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна с - членом.

3. Построена полная классификация конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) в задаче Вайдья (гравитация с излучением).

4. Построена полная классификация конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) в скалярно-тензорной теории гравитации Бранса-Дикке.

Апробация работы Результаты диссертационной работы докладывались на:

1. International School/Seminar QUANTUM FIELD THEORY AND GRAVITY, Tomsk State Pedagogical University, July 2 – 7, 2007, Tomsk.

2. Российской летней школе-семинаре "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" GRACOS2007, 9-16 сентября 2007 г., Казань-Яльчик, Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет.

3. 13-й Российской Гравитационной Конференции международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике, RUSGRAV-13, 23-28 июня 2008 г., РУДН, Москва.

Исследования, проведенные в диссертационной работе, поддержаны грантом РФФИ, проект № 06-01-00609, и Президентской программой поддержки ведущих научных школ РФ, проект № 4489.2006.2 и проект № 2553.2008.2.

Публикации По материалам диссертации опубликовано 5 печатных работ (3 статьи опубликованы в ведущих рецензируемых журналах РФ), перечисленных в заключительной части автореферата.

Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Список литературы состоит из 181 наименования.

Общий объем диссертации составляет 122 страницы.

Содержание диссертации Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, сделан краткий обзор по проблематике диссертации, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведены структура и содержание диссертации.

Первая глава носит обзорный характер и призвана обеспечить основу для дальнейшего изложения материала диссертации. В ней приводятся общие положения теории штеккелевых пространств, рассмотрена теория разделения переменных в уравнении ГамильтонаЯкоби, Клейна-Гордона-Фока и основные свойства изотропных штеккелевых пространств.

В общей теории относительности движение пробной частицы в гравитационном поле описывается уравнениями геодезических & & & & xi + ijk xk xk = 0, (1) которые представляют собой систему дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными. Здесь i, j, k,l = 1...n; i - kj символы Кристоффеля, точкой обозначена производная по каноническому параметру.

Здесь и далее по тексту будем придерживаться следующих обозначений.

1. Функции, зависящие только от одной переменной xi (и, возможно, от параметров j ) обозначаются малыми буквами с обязательным единичным правым нижним индексом, в этом случае производные по xi обозначаются точками. Примеры:

2 ij di & d k i i i & & i = i (xi,j ), kj = kj (xk ), i =, kj =. (2) dxi dxk 2. Множество координатных индексов i, j, k =1..n разбивается двумя фиксированными целыми неотрицательными числами N, N0 на три подмножества. Индексы из этих подмножеств обозначаются следующим образом p, q, r = 1...N 0,0,0 = N +1...N + N (3), = N +1...n 1, 1,1 = N + N0 +1..n, 3. Применяется правило суммирования Эйнштейна, согласно которому n p px ~ xp.

p p=Решение уравнения Гамильтона-Якоби gijS,iS, j = m2 (4) удовлетворяющее условию полноты 2S det || || 0, i = const, (5) ixi позволяет свести проблему интегрирования уравнений движения к S решению алгебраических уравнений вида = qi = const. Здесь i - n i существенных параметров. На данный момент эффективным методом построения таких интегралов движения является метод разделения переменных.

Идея метода разделения переменных в линейных дифференциальных уравнениях в частных производных была высказана Фурье в начале XIX века. Позднее метод был усовершенствован и использован для решения уравнения теплопроводности в работах Пуассона, Дирихле, Остроградского.

Для уравнения Гамильтона-Якоби проблема полного разделения переменных была поставлена Штеккелем. В серии работ он решил проблему для случая, когда в привилегированной системе координат метрика пространства задается диагональным метрическим тензором.

Необходимые и достаточные условия полного разделения, записанные в виде нелинейных дифференциальных уравнений на компоненты метрического тензора, были получены (но не решены) в работе ЛевиЧивита. Яров-Яровой обобщил метод Штеккеля на случай недиагональных метрических тензоров. Окончательно теория разделения (вещественных) переменных в уравнении Гамильтона-Якоби была построена Шаповаловым В.Н.. По предложению Шаповалова пространства, в которых уравнения геодезических можно проинтегрировать методом полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби, называются штеккелевыми пространствами. Общий вид метрики штеккелева пространства был опубликован им в 1973 г. После этого были опубликованы работы, в которых авторы в той или иной форме повторили результаты Шаповалова. Новым можно признать результат Бененти, заметившего связь между операторами симметрии уравнения ГамильтонаЯкоби и симметрией самого пространства, содержащего набор, состоящий из коммутирующих векторных и тензорных полей Киллинга.

Согласно определению уравнение (4) допускает полное разделение переменных, если существует система координат, называемая привилегированной, в которой полный интеграл уравнения (4) имеет вид:

n S = (xi,j ), j = const, n = E. (6) i i=Данное соотношение достигается в том и только в том случае, если существует привилегированная система координат xi, в которой метрический тензор имеет вид pq 0 11 1 00 g = (-1) hpq, g p = (-1) h p, g 1 = (-1) h. (7) nn n В формулах (7) по индексам 0,1 суммирование отсутствует. (-1) - n элементы n-го столбца матрицы, обратной к так называемой матрице Штеккеля, имеющей вид:

= (x ), det 0. (8) 0 1 i При этом функции, h p, h, h, h - произвольные функции от своих 0 аргументов.

Первые N переменных в привилегированной системе координат xi не входят явно в компоненты метрического тензора и поэтому называются n игнорируемыми (S = pxp + i (xi,j )).

i=N +Пространство с метрическим тензором (7) допускает N параметрическую абелеву группу движений. Из множества полных наборов штеккелева пространства принято всегда рассматривать только набор, векторные поля которого образуют абелеву группу максимально возможного ранга. Тогда имеется инвариантная характеристика набора, i i задаваемая числами N и N0 = N - rank(gijYpYqj ), где Yp - векторные поля, входящие в полный набор интегралов движения уравнения ГамильтонаЯкоби. Числа N и N0 задают тип штеккелева пространства (и тип полного разделения переменных, а также тип полного набора). Соответствующее штеккелево пространство принято называть штеккелевым пространством типа ( N, N0 ) (или просто – пространством типа ( N, N0 ) в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений).

В искривленном пространстве N < n. Если задана лоренцевская сигнатура (-, -,-,+), то в этом случае N0 может принимать одно из двух значений - 0,1. Если N0 =1, одна из компонент метрического тензора g в (7) обращается в нуль. Соответствующая переменная называется изотропной, само же пространство - изотропным штеккелевым пространством, при N0 = 0 все компоненты g отличны от нуля, пространство называется неизотопным штеккелевым пространством. В теории гравитации именно изотропные штеккелевы пространства представляют наибольший интерес, поскольку они описывают пространство - время с гравитационным излучением. Гиперповерхности уровня изотропной переменной совпадают с фронтом гравитационной волны, в случае пространств с электромагнитным излучением также с фронтом электромагнитной волны (пространства электровакуума).

То, что уравнения геодезических могут быть проинтегрированы методом полного разделения переменных, дает возможность не только изучить поведение пробных тел в данных пространствах, но и осуществить переход к синхронным системам отсчета (которые существуют всегда), в явном виде возможный лишь при условии, что уравнение геодезических можно точно проинтегрировать. В синхронных системах отсчета можно дать ответы на важные физические вопросы, связанные, например, с нахождением источников гравитационного поля. Синхронные системы отсчета можно использовать для физической интерпретации точных решений уравнений Эйнштейна. Известны примеры, когда интерпретацию удается провести для штеккелевых пространств.

В первой главе так же приведен общий вид метрик штеккелевых пространств в 4-мерном пространстве-времени с лоренцевской сигнатурой, на основе введенной общей классификации штеккелевых пространств по типам.

В параграфе 1.3 приведены основные свойства изотропных штеккелевых пространств.

Во второй главе решается задача о классификации метрик конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) и типа (2.1) для вакуумных уравнений Эйнштейна с - членом и без - члена. На базе решения вакуумных уравнений Эйнштейна можно проверить возможности использования конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств, на базе которых возможно нахождение аналитических решении в более сложных и физически интересных космологических задачах. Полученные при этом решения можно анализировать и физически интерпретировать, что немаловажно.

Рассмотрение начато с класса конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1), по классификации штеккелевых пространств имеется один вектор Киллинга и одна изотропная переменная. Так же рассматривается класс конформно-плоских штеккелевых пространств типа (2.1), имеющий два коммутирующих вектора Киллинга и одну изотропную переменную. Метрики конформно-плоских штеккелевых пространств записаны в привилегированной системе координат, пространства типа (1.1) зависят от трех переменных, пространства типа (2.1) зависят от двух переменных. Исследование пространств допускающих наличие изотропных переменных обусловлено возможностью изучения волновых явлений (электромагнитные, гравитационные и д. волны), что представляет интерес для построения космологических моделей. Использование классической теории гравитации Эйнштейна позволило отладить предлагаемую методику.

При наложении на исходную метрику штеккелевых пространств типа (1.1) и типа (2.1) условия принадлежности к классу конформно-плоских пространств возникает несколько классов.

Конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) содержат класса:

1) ds2 = (2(t2(x2) + t3(x3))dx0dx1 + G(x2, x3)(dx1)2 - t3(x3)(dx2)2 - t2(x2)(dx3)2), (9) 1 G(x2, x3) = (t2(x2) + t3(x3))[r + q( - )], t2(x2) t3(x3) где t2(x2) и t3(x3) удовлетворяют уравнениям:

t2 '' = t22(at22 + bt2 + c), t3 '' = t32(-at32 + bt3 - c), (10) a, b, c, r, q - константы, (x0, x1, x2, x3) - произвольная функция.

2) ds2 = (2 p dx0dx1 + G(x2, x3)(dx1)2 -0(x0)(dx2)2 - ( p -0(x0))(dx3)2), (11) G(x2, x3) =- pg3(x3) +0(x0)(g3(x3) - g2(x2)), (12) где 0(x0) удовлетворяет уравнениям (0 ')2 = Y (0). (13) 2x2(x - p)2[x2( - ) + 2 p x - p2 ]+ 3p(2x - p)Y (x) - px(x - p)Y '(x) = 0. (14),,, p - константы, g2(x2) и g3(x3) определяются условием g2 ''(x2) = const = lp2, g3 ''(x3) = const = sp2, l, s - const, (15) (x0, x1, x2, x3) - произвольная функция.

Данные метрики используются при решении вакуумных уравнений Эйнштейна без - члена:

Rij = 0 (16) где Rij - тензор Риччи.

Также получены решения вакуумных уравнений Эйнштейна с - членом:

Rij - gij = 0, (17) где - космологическая постоянная.

Конформно-плоские штеккелевы пространства типа (2.1) содержат класса:

1) ds2 = (a3(x3)(dx0)2 + 2 p3(x3)dx0dx1 + 2dx0dx2 + c3(x3)(dx1)2 + (dx3)2), (18) где (x0, x1, x2, x3) - произвольная функция, другие функции имеют вид c3(x3) =, (19) (ax3 + b)2 r + 2l b x3 + l a (x3) p3 =, (20) 2(ax3 + b)(2ar - l b2) a3 =+ k(a x3 + b)2 + s. (21) 4a2(a x3 + b)2) ds2 = (a3(x3)(dx0)2 + 2 p3(x3)dx0dx1 + 2dx0dx2 + c(dx1)2 + (dx3)2), (22) где (x0, x1, x2, x3) - произвольная функция, другие функции имеют вид p3 = px3 + q, p, q - const, (23) p a3 = (x3)2 + ax3 + b, a,b - const. (24) c 3) ds2 = (a3(x3)(dx0)2 + 2 pdx0dx1 + 2dx0dx2 + c2(x2)(dx1)2 + (dx3)2), (25) где (x0, x1, x2, x3) - произвольная функция, другие функции имеют вид a3 = a(x3)2 + bx3 + c, c2 ' = c2 qc2 - 4a, a,b,c, q - const. (26) Для конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) и (2.1) найдены все решения для вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна (16) и (17).

Для полученных классов метрик было проведено разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби (4) и уравнении эйконала:

gijS,iS, j = 0. (27) В третьей главе решается задача о классификации метрик конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) в задаче Вайдья.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»