WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

Ключевым понятием здесь является понятие симплекса. В аналитической геометрии под k-симплексом понимают k-мерный тетраэдр. Однако такой подход к определению симплекса в n-упорядоченном множестве непригоден, так как наша цель – построить геометрию на дискретных множествах.

Определение 2.2.1. Пусть есть n-мерно упорядоченное множество. Тогда подмножество LM называется множеством точек общего положения в M, если для каждого множества AL, |A|(n+1), существует такое множество BM, что AB=, |(A;B)|=(n+1) и (A;B)0.

Определение 2.2.2. Пусть есть n-упорядоченное множество. Если для кортежа ASk+1 существует кортеж BSn-k такой, что выполняется (A;B)0, то A назовм k-симплеском n-упорядоченного множества [20; 26].

Согласно определению 2.2.2, B есть симплекс, который будем называть дополняющим симплексом к A. Заметим, что при k=-1 кортеж A вырождается в пустое множество, а B есть n-симплекс, который в дальнейшем будем называть максимальным.

Определение 2.2.3. Пусть A – k-симплекс n-упорядоченного множества , (0kn-1). Множество pA={xS: (A;Sn-k-1;x)=0} назовм k-мерной плоскостью, порожднной симплексом A [20; 26].

Теорема (критерий принадлежности точки плоскости) 2.2.4.

Пусть A есть k-симплекс n-упорядоченного множества , кортеж B дополняет кортеж A до невырожденного, т.е. (A;B)0, xS. Тогда x принадлежит плоскости pA тогда и только тогда, когда для всех i=1,...,n-k выполнено x (A; B )=0.

(i) Следствие 2.2.5. Пусть (A;B) является n-симплексом n-упорядоченного множества , т.е. (A;B)0, x – произвольный элемент S; функция реализует set(A;B;x) в Rn. Тогда xpA (x)(A).

Отметим лемму.

Лемма (о непересекающихся плоскостях) 2.2.6. Пусть есть nупорядоченное множество. Если (A;B)0, то pApB =.

Эти результаты необходимы для доказательства теоремы о порождающих симплексах.

Теорема (о порождающих симплексах) 2.2.10.

Пусть A=(a1 ;...;ak), B=(b1 ;...;bm) – симплексы n-упорядоченного множества , причм set(B)pA, тогда а) mk;

б) pBpA;

в) если |set(B)|=|set(A)|, то pB=pA.

В третьем параграфе доказаны некоторые теоремы геометрии nупорядоченных групп.

Теорема (о движении плоскости) 2.3.2. Пусть A есть k-симплекс nупорядоченной группы ;,G, тогда pA=pA.

Теорема 2.3.3. Пусть A есть k-симплекс n-упорядоченной группы .

Для того, чтобы плоскость pA являлась подгруппой группы G, необходимо и достаточно, чтобы AApA.

Теорема (о пересекающихся плоскостях) 2.3.4.

Пусть A, B – симплексы n-упорядоченной группы . Тогда если pApB, то существует симплекс C такой, что pApB=pC.

Иначе: если две плоскости в n-упорядоченной группе имеют общую точку, то их пересечение также есть плоскость в этой n-упорядоченной группе.

Таким образом, структура множества плоскостей в n-упорядоченной группе подобна структуре множества плоскостей n-мерного линейного пространства.

Третья глава посвящена конструированию различных nупорядоченных групп, исходя из уже построенных ранее m-упорядоченных групп, где mn.

В первом параграфе, используя идею Римана о стереографическом образе комплексной плоскости [1], задам 3-порядок на поле комплексных чисел.

Теорема 3.1.2. Поле комплексных чисел C допускает 3-упорядочивание.

Исследованию четырхмерной упорядочиваемости кватернионов посвящены следующие два параграфа.

Теорема 3.2.1. Тело кватернионов H допускает 4-упорядочивание.

Теорема 3.3.2. Группа Гамильтона Q8 ={1, i, j, k} допускает 4упорядочивание.

Теорема 3.3.3. Существует бесконечно много неизоморфных конечных групп, допускающих 4-упорядочивание.

В заключении сформулируем некоторые гипотезы об n-мерно упорядоченных группах.

Гипотеза 1. Если конечная группа допускает n-упорядочивание, то она не допускает m-упорядочивания для mn.

Гипотеза 2. Если n-упорядоченная группа бесконечна, то она допускает (n+1)-упорядочивание.

Гипотеза 3. Все конечные 4-упорядоченные группы изоморфны подгруппам мультипликативной группы кватернионов.

Гипотеза 4. Не существует конечных 3-упорядоченных групп, отличных от V4.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Пестову Герману Гавриловичу за постановку задач и постоянное внимание ко всем этапам данной работы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Александров, И.А. Теория функций комплексного переменного: Учебник /И.А. Александров [Текст]. – Томск: Томский государственный университет, 2002. – 510 с.

2. Гильберт, Д. Основания геометрии. /Д. Гильберт [Текст]. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. – 491 с.

3. Желева, С.Д. О циклически упорядоченных группах /С.Д. Желева [Текст] //Сибирский математический журнал. – 1976. – Т.17 (5). – С. 1046-1051.

4. Забарина, А.И. О циклически упорядоченных группах: Дисс.... канд. физ.мат. наук /А.И. Забарина [Текст]. – Томск, 1985. – 87 c. [Защита: 19 апреля 1985 г. Утверждение: 4 сентября 1985 г.] 5. Забарина, А.И., Пестов, Г.Г. К теореме Сверчковского /А.И. Забарина, Г.Г. Пестов //Сибирский математический журнал. – 1984. – Т.XXV. – №4.

– С. 56-93.

6. Забарина, А.И., Пестов, Г.Г. О критерии циклической упорядочиваемости группы /А.И. Забарина, Г.Г. Пестов [Текст]//Упорядоченные множества и рештки: Межвуз.науч.сб. – Вып. 9. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1986. – С. 19-24.

7. Забарина, А.И., Пестов, Г.Г. О подгруппах 2-упорядоченных групп /А.И. Забарина, Г.Г. Пестов [Текст] //Актуальные проблемы математики и методики е преподавания: Материалы заочной научно-практической конференции. – Томск: Изд-во ТГПУ, 2007. – С. 17-20.

8. Забарина, А.И., Пестов, Г.Г. Об n-мерно упорядоченных группах /А.И. Забарина, Г.Г. Пестов [Текст] //Международная конференция по математике и механике. 16-18 сентября 2003 г., г. Томск, 2003 г.: Тезисы докладов. – Томск: Изд-во ТГУ, 2003. – С. 40.

9. Забарина, А.И., Пестов, Г.Г. Об n-мерно упорядоченных группах.

/А.И. Забарина, Г.Г. Пестов [Текст] //Вестник Томского государственного университета. – №280. – декабрь, 2003. – С. 40-42.

10. Кокорин, А.И., Копытов, В.М. Линейно-упорядоченные группы /А.И. Кокорин, В.М. Копытов [Текст]. – М.: Наука, 1972. – 200 с.

11. Копытов, В. М. Решточно-упорядоченные группы. /В.М. Копытов [Текст]. – М.: Наука, 1984. – 320 с.

12. Копытов, В.М., Медведев, Н.Я. Правоупорядоченные группы /В.М. Копытов, Н.Я. Медведев [Текст]. – Новосибирск: Научная книга, 1996. – 250 с.

13. Пестов, Г.Г. Глубина точки и функция сечений n-мерной точечной системы /Г.Г.Пестов [Текст] //Труды Томского государственного университета.

– 1967. – Т. 191. – С. 174-178.

14. Пестов, Г.Г. Двумерно упорядоченные поля /Г.Г. Пестов [Текст]. – Томск:

Изд-во ТГУ, 2003. – 128 с. Пестов, Г.Г. n-мерные точечные системы /Г.Г. Пестов [Текст] //Труды Томского ордена трудового красного знамени государственного университета. – 1967. – Т. 191. – С. 158-163.

15. Пестов, Г.Г. К теории сечений в упорядоченных полях /Г.Г.Пестов [Текст] //Сибирский математический журнал. – 2001. – Т. 42. – No 6. – C. 1350-1360.

16. Пестов, Г.Г. К теории упорядоченных алгебраических систем: Дисс.... д-ра физ.-мат. наук /Г.Г. Пестов [Текст]. – Томск, 2003. – 262 c. [Защита: 30 ноября 2004 г. Утверждение: 13 мая 2005 г.] 17. Пестов, Г.Г. О классе циклически упорядочиваемых групп /Г.Г.Пестов [Текст] //Вестник Томского государственного университета. – Бюллетень оперативной научной информации. – №21, февраль. – 2004. – Томск, 2004.

– С. 39-43.

18. Пестов, Г.Г. Теоремы о внешних точках и гранях n-мерной точечной системы /Г.Г. Пестов [Текст] //Труды Томского ордена трудового красного знамени государственного университета. – 1967. – Т. 191. – С. 164-174.

19. Пестов, Г.Г. n-мерные точечные системы /Г.Г. Пестов [Текст] //Труды Томского ордена трудового красного знамени государственного университета. – 1967. – Т. 191. – С. 158-163.

20. Пестов, Г.Г. n-упорядоченные множества /Г.Г. Пестов [Текст] //Труды Иркутского государственного университета. – Иркутск, 1970. – Т. 74 /Серия математическая. – Вып. 6. – С. 146-169.

21. Проблемы Гильберта /Сборник под ред. П.С. Александрова [Текст]. – М.:

Наука, 1972. – 240 с.

22. Терре, А.И. Некоторые вопросы теории 2-упорядоченных полей /А.И. Терре [Текст] //Материалы Пятой научной конференции по математике и механике. – Томск, 1975. – С. 85-86.

23. Терре, А.И. О классе двумерно упорядоченных ассоциативнокоммутативных колец /А.И. Терре [Teкст] //Четвертый Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей: Тезисы сообщений. – Кишинев, 1980. – С. 100-101.

24. Терре, А.И. О классе двумерно упорядочиваемых полей /А.И. Терре [Текст]. – Томск, 1983. – 13 с. [Деп. в ВИНИТИ 26-8-83 г., № 4681 – 83].

25. Терре, А.И. Строение архимедовых двумерно упорядоченных тел /А.И. Терре [Teкст]. – Томск, 1983. – 32 с. [Деп. в ВИНИТИ 26-8-83 г., №4680 – 83].

26. Терре, А.И. Элементы геометрии n-мерного порядка/А.И. Терре [Teкст]. – Томск, 1982. – 36 с. [Деп. в ВИНИТИ 27-10-82 г., №5941 – 82].

27. Baer, R. Dichte, Archimedizitt und Starrheit geordneter Krper /R. Baer [text].

– Math. Ann. – 1970, 188. – No3. – S. 165-205.

28. Cantor, G. Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten / G. Cantor [text]. – In: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Berlin, Springer, 1932. – S. 165-205.

29. Conrad, P. Archimedean Extensions of Lattice-Ordered Groups /P. Conrad [text]. – J. Indian Math. Soc., 30 (1966). – P. 199-221.

30. Dedekind, R. Stetigkeit und Irrationale Zahlen / R. Dedekind [text] – Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1967, Achte Auflage. – 22 s.

31. Fuchs, L. Partially ordered algebraic systems / L. Fuchs. [text] – Pergamen Press, 1963. – 229 p.

32. Glock, E. Die orientierungsfunktionen eines affinen Raumes. /Е. Glock [text] – Math. Z., 1962, 78. – No 4. – S. 319-360.

33. Hahn, H. ber die nichtarchimedischen Grssensysteme /H. Hahn [text] – S.-B.

Akad. Wiss. Wien. – 11a, 116 (1907). – S. 601-655.

34. Hunt, Brian R. A Guide to MATLAB, 2e: for Beginners and Experienced Users /Br. Hunt [text]. – Cambridge University Press, 2006. – 327 p.

35. Matsusita, S. Sur la puissance des orders dans un groupe libre / S. Matsusita.

[text] – Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wet. – A, 56, 1953. – P. 15-16.

36. Novoa, L. G. Independance of a certain axiomatic system / L.G. Novoa. [text] – Proc. Amer. Math. Soc., 1969. – 22. – Р. 470.

37. Novoa, L. G. Order characterization of the complex field / L.G. Novoa. [text]. – Can. Math. Bull., 1978. – 21. – No3. – Р. 313-318.

38. Novoa, L.G. On n-ordered sets and order completeness / L.G. Novoa. [text] – Pacific J. Math., 1965. – 15. – No4. – Р. 1337-1345.

39. Novoa, L.G. Ten axioms for three-dimensional Euclidean geometry /L.G. Novoa. [text]. – Proc. Amer. Math. Soc., 1968. – 19. – Р. 146-152.

40. Rieger, L.S. On the ordered and cyclically ordered groups /L.S. Rieger. – Vstnk Krl. esk Spol. Nauk, 1946, No. 6. – P. 1-31.

41. Riesz, F. ber mehrfache Ordnungstypen /F. Riesz [text]. – Math. Ann., 1905. – 61. – S. 406-421.

42. Schwarz, H.G. Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen /H.G. Schwarz [text]. – Halle, 1888. – 61 s.

43. Sperner, E. Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie / E. Sperner [text]. – Arch.

Math., 1948. – 1. – S. 9-12.

44. Sperner, E. Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie /E. Sperner [text]. – Arch.

Math., 1949. – 121. – S. 107-130.

45. Swierczkowski, S. On cyclically ordered groups / S. Swierczkowski [text] – Fund. Math., 1953. – 47. – P.161-167.

46. Tarski, A., McKinsey, J.C. C. A Decision Method for elementary Algebra and Geometry / A. Tarski, J.C. McKinsey [text]. – 2-ed. – Berfkeley; Los Angeles, 1948. – 63 p.

47. Wagner, K.ber nicht-archimedische Metrisierbarkeit in n-fach geordneter Mengen / K. Wagner [text]. – Maath. Ann., 1958. – 134. – No 1. – S. 33-40.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Тоболкин, А.А. Двумерный порядок на прямом произведении групп /А.А. Тоболкин [Текст] //Общенаучный периодический журнал "Вестник Томского государственного университета". – №297. – апрель, 2007 г. – С.159-160. – 0,25 п.л. (Поступила в научную редакцию «Вестника ТГУ» 01.12.2006 г., принята к печати 08.12.2006 г. Входит в перечень ведущих рецензируемых научных журналов ВАК, 2001-2005 гг.; см.: письмо ВАК от 30.11.2006 г.).

2. Пестов, Г.Г., Тоболкин, А.А. k-плоскости в n-мерно упорядоченных группах /Г.Г. Пестов, А.А. Тоболкин [Текст] //Общенаучный периодический журнал «Вестник Томского государственного университета». – №301. – август, 2007. – С.92-93. – 0,13 п.л. (авторский вклад – 50%) 3. Пестов, Г.Г., Тоболкин, А.А. К геометрии n-упорядоченных групп /Г.Г. Пестов, А.А. Тоболкин [Текст] // Общенаучный периодический журнал «Вестник Томского государственного университета». – Математика и механика. – №1. – 2007. – С.46-49. – 0,5 п.л. (авторский вклад – 50%) 4. Тоболкин, А.А. Двумерный порядок на прямом произведении групп /А.А. Тоболкин [Текст] //Научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов ММФ, посвященная трехсотлетию со дня рождения Леонарда Эйлера – Томск: ТГУ, 2007 – С. 133-134. – 0,13 п.л.

5. Тоболкин, А.А. К теории n-мерно упорядоченных групп /А.А. Тоболкин [Текст] //Научный потенциал студенчества – будущему России: Материалы Всероссийской научной студенческой конференции. – Ставрополь:

СевКавГТУ, 2006. – С.59-61. – 0,18 п.л.

6. Тоболкин, А.А. Об n-упорядоченных группах /А.А. Тоболкин [Текст] //Материалы X Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование" – Томск: Изд-во ТГПУ, 2006. – Т.1. – Ч.2. – С 107-113. – 0,43 п.л.

7. Тоболкин, А.А. Теорема о мультипликативной группе кватернионов /А.А. Тоболкин [Текст] //Сборник материалов заочной Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные проблемы математики и методика ее преподавания". – Томск: Изд-во ТГПУ, 2007. – С. 21-32. – 0,75 п.л.

8. Тоболкин, А.А. Теоремы об n-упорядоченных группах /А.А. Тоболкин [Текст] //Всероссийская конференция по математике и механике, посвящнная 130-летию Томского государственного университета и 60-летию механико-математического факультета: Сборник тезисов. 22-25 сентября 2008 г., г.Томск – Томск: Томский государственный университет, 2008 г. – С.64. – 0,06 п.л.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.