WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     |
|

На правах рукописи

Тоболкин Антон Александрович К ТЕОРИИ n-УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУПП 01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск – 2009 1

Работа выполнена на кафедре математического анализа механикоматематического факультета Томского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Пестов Герман Гаврилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гриншпон Самуил Яковлевич (Томский государственный университет) доктор физико-математических наук, профессор Копытов Валерий Матвеевич (Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН)

Ведущая организация: Алтайский государственный университет

Защита состоится «24» сентября 2009 года в 14 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 212.267.21 при Томском государственном университете по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина 36, аудитория 304 (второй корпус).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 15 августа 2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.627.21 при ТГУ, кандидат физико-математических наук, доцент А.Н. Малютина 2

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В начале двадцатого века были заложены основы теории линейно упорядоченных множеств, было введено понятие формально вещественного поля, получен критерий линейной упорядочиваемости поля и структурные теоремы для линейно упорядоченного поля, начата классификация сечений в упорядоченных полях. Кантор ввл понятие вполне упорядоченного множества и приступил к изучению кардиналов и ординалов [28].

Хан [33] заложил основополагающие понятия, вошедшие потом в арсенал теории упорядоченных алгебраических систем, такие как архимедовы и неархимедовы величины, неархимедовы упорядоченные группы и тела. В году в свом знаменитом докладе на математическом конгрессе Гильберт сформулировал вопрос о представимости положительного многочлена в виде суммы квадратов многочленов [21]. Публикации по этой проблеме оказались стимулом к изучению упорядоченных полей. Благодаря работе Дедекинда [30], математики стали широко использовать понятие сечения во множествах рациональных и вещественных чисел. Строение сечений в упорядоченном поле нест существенную информацию о свойствах самого поля, поэтому логика исследований упорядоченных полей со временем привела к некоторой классификации сечений в упорядоченных полях [15; 16]. В теории линейно упорядоченных полей существенную роль играют различные замыкания упорядоченного поля [27].

Одним из центральных вопросов в теории упорядоченных полей является установление изоморфизма двух упорядоченных полей. Здесь оказались плодотворными методы теории моделей. В частности, Тарским была установлена полнота теории вещественно замкнутого поля [46]. Одновременно с развитием теории упорядоченных полей развивалась и теория упорядоченных групп. При этом изучались линейно упорядоченные группы [10] и их разные модификации, в частности, частично упорядоченные группы [31] и решеточно упорядоченные группы [11; 12; 29]. Одним из направлений в теории упорядоченных групп явилась теория циклически упорядоченных групп [3; 40], [45]. Ригер исследовал топологию циклически упорядоченных групп, Сверчковский получил структурную теорему для циклически упорядоченных групп. Забарина и Пестов [5; 6] сформулировали и доказали критерий циклической упорядочиваемости группы. Различные подходы к обобщению понятия линейного порядка по размерности предпринимались многими математиками, начиная с Кантора [28], работы которого были продолжены Шварцем [42], Риссом [41], Вагнером [47]. Следующим шагом в обобщении линейного порядка послужили работы Шпернера [43; 44] по так называемым функциям порядка. В основу определения функции порядка у Шпернера положена идея о взаимном расположении точки и гиперплоскости в n-мерном аффинном пространстве. В последующем при определении функции ориентации аффинного пространства Глок [32] использовал аксиоматический подход. Идея обобщения линейного порядка по размерности получила последовательное развитие в независимых работах Л. Новака и Г. Г. Пестова. Новак строит аксиоматическую теорию n-упорядоченных множеств [36; 38; 39] и применяет ее для исследования поля комплексных чисел [37]. Г.Г. Пестов и А.И. Терре строят теорию двумерно упорядоченных множеств и полей, а также теорию n-упорядоченных множеств [13; 14; 18; 19; 22; 24]. В частности, они вводят понятие k-мерной грани (k-симплекса) и k-мерной плоскости [20; 26]. Терре закладывает основы теории некоммутативных двумерно упорядоченных колец [23] и тел [25]. Забарина А. И. изучает циклически упорядоченные группы как группы с двумерным порядком [4]. В [7] доказано, что множество элементов конечных порядков в двумерно упорядоченной группе есть е нормальный делитель. Пестов для циклически упорядочиваемых групп получил новую структурную теорему, отличную от теоремы Сверчковского [17].

В работах [8], [9] начато изучение n-мерно упорядоченных групп.

Данная работа является логическим продолжением этого направления исследований.

Цель работы.

1. Задать алгоритм перехода от линейного упорядочивания группы к nмерному упорядочиванию для произвольного натурального n.

2. Доказать, что естественный 4-мерный порядок на группе кватернионов совместим с алгебраической структурой группы.

3. Доказать существование счтного множества конечных групп, допускающих 4-мерное упорядочивание.

4. Построить пример нестандартного двумерного порядка на мультипликативной группе комплексных чисел.

5. Доказать теорему о симплексах, порождающих k-плоскость в n-мерно упорядоченной группе.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы линейной алгебры, теории функций вещественного (комплексного) переменного, методы нестандартного анализа, теория линейно упорядоченных групп.

В работе также используются введнные Пестовым определения функции nмерного порядка и n-мерно упорядоченных алгебраических систем для n>1.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Основными результатами можно считать следующие:

1. Построен нестандартный 2-порядок на мультипликативной группе комплексных чисел.

2. Доказана 4-упорядочиваемость тела кватернионов.

3. Построен 3-порядок на поле комплексных чисел.

4. Доказана теорема о симплексах, порождающих плоскость. Получен критерий того, что плоскость в n-упорядоченной группе является подгруппой.

5. Построен алгоритм перехода от линейного порядка на группе к n-мерному для каждого натурального n.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты представляют научный интерес для специалистов в области упорядоченных алгебраических систем. Результаты могут быть использованы в научных исследованиях, в университетских спецкурсах для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях "Мальцевские чтения" в 2006 и 2008 гг. (Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН, г.Новосибирск), на Всероссийской научной студенческой конференции (Ставрополь: СевКавГТУ, 2006 г.), на IXой (2007 г.) и X-ой (2008 г.) Межрегиональной молоджной конференции преподавателей, студентов и школьников "Математика, е содержание, методы и значение" (ТГУ), на Научной конференции молодых учных, аспирантов и студентов ММФ, посвящнной трхсотлетию со дня рождения Леонарда Эйлера (апрель 2007 г., ТГУ), на X-ой (май 2006 г.), XII-ой (апрель 2008 г.), XIII-ой (апрель 2009 г.) Всероссийских конференциях студентов, аспирантов и молодых учных "Наука и образование" (ТГПУ), на Всероссийской конференции по математике и механике, посвящнной 130-летию Томского государственного университета и 60-летию механико-математического факультета (Томск, сентябрь 2008 г.).

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на странице и состоит из списка обозначений, введения, трх глав и списка использованной литературы. Главы состоят из параграфов. Нумерация формул привязана к главам. Библиография включает 55 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Введение. Во введении изложена история вопроса, представлен обзор результатов, связанных с тематикой диссертации, сформулированы основные результаты.

Первая глава посвящена определению n-мерного порядка, рассмотрению частных случаев n-упорядоченных алгебраических систем.

Структура порядка тесно связана с геометрией, поэтому постараемся перенести как можно больше понятий и результатов из геометрии Евклида в геометрию n-упорядоченных множеств и групп. Если отбросить в Гильбертовской аксиоматике Евклидовой геометрии [2] аксиомы непрерывности и архимедовости и обобщить оставшиеся аксиомы на n-мерное пространство, то получим основные аксиомы порядка дискретных множеств. Поэтому теорию n-упорядоченных множеств мы должны строить так, чтобы все Гильбертовские аксиомы порядка (точнее их аналоги в строящейся геометрии nупорядоченных множеств) были доказуемы, т.е. они должны являться аксиомами или теоремами. Например, если предположить, что мы уже дали определение 3-упорядоченного множества, затем сформулировали определение 2мерной плоскости p, прямой l(a,b), проходящей через точки a, b, то в построенной теории должно быть справедливо утверждение: a,bp l(a,b)p.

Исходя из этих соображений, проводились исследования по определению n-упорядоченного множества . В конечном счете, Г.Г. Пестовым была выдвинута идея о реализации некоторого конечного множества точек MS в Rn. При таком подходе задания n-порядка вся аксиоматика порядка скрыта в реализации. Определим вначале стандартную функцию n-порядка.

Определение 1.1.1. Пусть x=(x1; x2;...; xn+1) – кортеж-столбец точек Rn, xi=(xi,1, xi,2,..., xi,n+1), т.е. xi,j - j-ая координата i-ого вектора (координаты вектора записаны в строку). Тогда кортеж x можно рассматривать как матрицу размером (n+1)n над R. Обозначим через En+1 столбец из (n+1) единицы. Положим =signdet. Функцию n(x)=(En+1,x) назовм стандартной функцией n-порядка.

Теперь на основании стандартной функции n-порядка построим определение n-мерной функции порядка.

Определение 1.1.2. Пусть задано отображение :Sn+1{-1,0,1}, где |S|n+1. Если для каждого AS, |A|2n+1 существует инъекция : ARn такая, что для каждого x A(n1)n выполнено (x)=n((x)), то назовм функцией nмерного порядка на множестве S.

Пару назовм n-мерно упорядоченным множеством. Функцию в определении 1.1.2 в дальнейшем будем называть реализацией множества A в Rn.

Понятия n-упорядоченных групп (колец, тел, полей) естественным образом строятся на базе понятия n-упорядоченных множеств.

Определение 1.1.3. Пусть G – группа, есть n-упорядоченное множество. Если для всех xGn+1 и для всех,G выполнено условие:

(x)=(x), то назовм n-упорядоченной группой.

Это определение эквивалентно определению Пестова Г.Г. (доклад на семинаре по упорядоченным алгебраическим системам при ММФ ТГУ, 1986 г.).

Аналогичным образом определяются n-упорядоченное кольцо и nупорядоченное поле.

Приведм примеры n-упорядоченных групп.

1. Свободная абелева группа с n образующими допускает nупорядочивание.

2. Мультипликативная группа C4= допускает только 2-упорядочивание.

3. Четвертная группа Клейна V4 допускает только 3-упорядочивание.

Теорема 1.2.3. Для каждого натурального n на линейно упорядоченной группе можно задать n-мерный порядок.

Заметим, что в теореме 1.2.3 для доказательства реализации множества из 2n+1 точки в Rn используется определитель Ван дер Монда, который получает интересную геометрическую интерпретацию: знак определителя Ван дер Монда равен значению естественной n-мерной функции порядка на линейно упорядоченной группе.

Обычно свободная группа понимается как группа свободная от определяющих отношений. Согласно теореме 1.2.3 и теореме Мацусита [35], свободная группа получает такую геометрическую интерпретацию: это группа свободная от ограничений на структуру порядка, т.е. для каждого натурального n на ней можно задать n-мерный порядок.

С использованием идей нестандартного анализа, а также методов теории функций комплексного и вещественного переменных строится двумерный порядок на прямом произведении тороидальной группы и произвольной линейно упорядоченной группы.

Теорема 1.2.5. Пусть T0 – тороидальная группа, L – произвольная линейно упорядоченная группа, тогда T0L допускает 2-упорядочивание.

Следствие 1.2.6. Мультипликативная группа комплексных чисел допускает нестандартный 2-порядок.

Вторая глава посвящена построению геометрии n-упорядоченных множеств и групп. В начале второй главы вводятся некоторые матричные преобразования: склеивание матриц, поэлементное возведение в степень, оператор выделения подматрицы и оператор подстановки матрицы в матрицу. Такие преобразования эффективно используются в пакете MatLab [34].

Доказательства в теории n-упорядоченных множеств, как правило, сводятся к таким преобразованиям над матрицами.

Пусть X – произвольная матрица. Вместо традиционной записи Xi,j иногда будем писать X(i,j). Запись set(X) в дальнейшем будет означать множество, состоящее из всех элементов матрицы X.

Склеивание матриц. Пусть матрицы X и Y имеют одинаковое количество строк. Тогда запись (X,Y) означает "приклеивание" к матрице X справа матрицы Y. Если матрицы X и Y имеют одинаковое количество столбцов, то запись (X;Y) означает "приклеивание" к матрице X снизу матрицы Y.

Соответственно, запись (x1,...,xn) означает кортеж-строку, (x1;...;xn) - кортеж-столбец. При склеивании матриц (где это не вызовет недоразумения) будут опускаться скобки.

Оператор выделения подматрицы в матрице. В дальнейшем (i)A означает i-ую строку матрицы A, а (j)A – j-ый столбец матрицы A. Запись (i1,...,ik,...,im)(j1,...,jl,...,jn)A означает матрицу размером mn, у которой на месте (k,l) расположен элемент A(ik,jl).

B Оператор матричной подстановки. Запись A означает, (i1,...,ik,...im )( j1,...,jl,...,jn ) что в матрице A с помощью операторов и выделяется подматрица (i1,...,ik,...,im)(j1,...,jl,...,jn)A и заменяется на матрицу B.

Определение 2.1.2. Если для квадратных матриц Y0, Y1 над линейно упорядоченным полем выполнено Y0=Y1, то будем говорить, что эти матрицы -эквивалентны.

Pages:     |
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.