WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Присутствующие в них элементы самоподобия проявляются опосредованно. Так, если рассмотреть последовательность порядковых номеров элементов A, то при увеличении всех ее членов в раз она переходит в последовательность индексов для B. Это указывает на наличие самоподобия, сочетающегося с Золотыми пропорциями, в структуре решетки. При этом коэффициент самоподобия оказывается равным.

Для расчета поля дифракции световых волн, прошедших амплитудные решетки Фибоначчи с изменяющейся шириной щелей, использовался метод суммирования световых пучков, распространяющихся от отдельных элементов решетки. Поле дифракции в дальней зоне характеризуется выражением N dn K +1 K + D.

Aa (k) = A exp- i2sk n min{dn}sincdns k - 2 n=Здесь N – число щелей в решетке, k – пространственная частота, 0 k K, K – число значащих точек, i = -1, A, s – масштабирующие множители, dn – ширина n-ой щели, Dn определяет положение n-ой щели. Считалось, что ширины щелей значительно уступают размерам непрозрачных зон, количество щелей равно N = 500. Рассчитанное для этих параметров распределение амплитуды поля дифракции приведено на рис.3,а.

Для сравнения на рис. 3,б показана картина дифракции света на периодической решетке.

Анализ графиков показывает, что основное отличие решеток Фибоначчи от обычно применяемых периодических решеток состоит в наличии в поле дифракции системы дополнительных пиков, положение которых соответствует принципу ЗС. Так, дополнительные максимумы D и E, делят в соответствии с ЗС расстояние между максимумами A и B. Максимумы F и G находятся в точках ЗС между максимумами D и E и т.д. При этом структура дифракционных максимумов в интервале AB подобна структуре максимумов в интервалах DE и FG. Дробление самоподобных фрагментов может происходить до бесконечности при соответствующем увеличении числа щелей.

Рис. 3. Картина дифракции на амплитудной решетке. a – решетка Фибоначчи, б – периодическая решетка.

Расположение максимумов обладает высокой степенью устойчивости. Расчеты полей дифракции на ДР Фибоначчи (как амплитудных, так и фазовых) с другими размерами и конфигурацией отдельных элементов показали, что и для них сохраняется указанная выше закономерность расположения дифракционных пиков при условии выполнения принципа Фибоначчи для чередования двух типов элементов решеток.

Таким образом, можно утверждать, что самоподобие в структуре ДР Фибоначчи, сочетающееся с Золотыми пропорциями, находит отражение в структуре поля дифракции световых волн. При этом скейлинг положения дифракционных пиков характеризуется коэффициентом Ф. Скейлинг же в общей конфигурации дифракционных пиков определяется коэффициентом r = 4,2.

Расчеты показывают, что ширина дифракционных пиков решетки Фибоначчи, как главных, так и дополнительных, совпадает с шириной пиков периодической решетки с той же площадью штрихов.

Следовательно, решетки Фибоначчи обладают той же самой разрешающей способностью, что и периодические решетки.

Характерные для решеток Фибоначчи особенности распределения амплитуды световых колебаний в поле дифракции устойчиво проявляются и при изменении в широких пределах расстояния z от решетки до плоскости, в которой рассматривается картина дифракции. Формирующиеся уже на расстояниях z < (2 )L2 от решетки размера L дифракционные максимумы, хотя и обладают значительной шириной, расположены в точках ЗС. В этом Рис. 4. Структура поля дифракции на разных можно убедиться, анализируя расстояниях от решетки:

графики (рис. 4), которые z=10 250 (а); z=25 000 (б);

определяют структуру поля z=50 000 (в); z=100 000 (г);

z=200 000 (д).

дифракции на амплитудной ДР Фибоначчи с бесконечно узкими щелями. Графики рассчитывались по формуле N 1 A(x) = A expi (x - xn) + z2, n=0 (x - xn) + zxn - координата щели. Считалось, что число щелей N = 78, длина волны =10-2(x2 - x1). Размеры решетки соответствуют области изменения поперечной координаты (в количестве значащих точек) x от 0 до 110.

Отдельно был рассмотрен вопрос о точности воспроизведения Золотых пропорций в дифракционных картинах. Для этого рассчитывались поля дифракции для решеток с различающимися значениями геометрических параметров. Расчеты показали, что отклонения в значениях соответствующих пропорций не превышали 1%, что говорит о высокой степени воспроизводимости ЗС в картинах дифракции.

Также был изучен вопрос об устойчивости картин дифракции света на решетках Фибоначчи к различным случайным возмущениям их структуры. Использовались два варианта рандомизации характеристик решеток: случайное «перемешивание» положения определенной части образующих элементов и смещение в некотором диапазоне по случайному закону каждого из элементов решетки. Показано, что структура поля дифракции обладает высокой степенью устойчивости к возмущениям. Даже в тех случаях, когда высота дополнительных дифракционных пиков с усилением рандомизации оказывалась сопоставима с уровнем шумов, их положение практически не изменялось.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА В третьей главе изучение проблемы прохождения излучения через самоподобные апериодические структуры распространено на МС Фибоначчи.

Как и решетки Фибоначчи, МС Фибоначчи строились на основе апериодической последовательности {AB}. Для этого каждому элементу последовательности ставился в соответствие слой с определенным показателем преломления. Например, элементу А - слой с большим показателем преломления Nmax, элементу B - слой с меньшим показателем преломления Nmin.

С помощью матричного метода определялась зависимость коэффициентов пропускания МС Фибоначчи с диэлектрическими слоями от величины фазовых набегов в слоях. Фазовые набеги в отдельных слоях считались одинаковыми. Поведение коэффициентов пропускания апериодической системы принципиальным образом отличается от аналогичных зависимостей для периодической системы. В апериодической системе по мере увеличения числа слоев растет количество зон (запрещенных зон) с близким к нулю пропусканием и количество четко выраженных пиков в центральной области графиков. При этом целая система пиков формируется в области, где периодическая система практически не пропускает свет. Расположение запрещенных зон самоподобно и сочетается с Золотыми пропорциями (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость коэффициентов пропускания периодической (пунктир) и апериодической (непрерывная линия) МС из 144 слоев от фазовых набегов в отдельном слое. Nmin = 1,46, Nmax = 2,35.

Наличие самоподобных признаков в спектрах доказывается их сравнением с растянутыми модификациями. Так кривая пропускания МС из 233 слоев, растянутая в 4,9 раз по оси абсцисс (рис. 6,б) подобна изначальной (рис. 6,а).

Рис. 6. Графики зависимости коэффициента пропускания от величины фазовых набегов. a – изначальный, б – растянутый.

Подобие спектров пропускания, относящихся к разным структурным уровням, имеет место, если сравниваются системы с уровнями генерации Sn и Sn+6 (если n = 6k и n = 6k + 3, k = 1,2,3...); а также Sn и Sn+3 (если n = 3k +1 и n = 3k + 2 ).

В ходе расчетов было установлено, что самоподобие и Золотые пропорции присущи также зависимости коэффициента пропускания МС Фибоначчи от числа слоев и распределению интенсивности света по слоям. При этом отклонения пропорций от «золотых» величин составляют 3-4%, что немного уступает решеткам.

Таким образом, существенная особенность МС Фибоначчи состоит в проявлении самоподобия не в одной, а в целой системе оптических характеристик. При это скейлинг положения экстремальных точек определяется коэффициентом Ф.

Также была рассмотрена группа вопросов о влиянии поглощения в материале слоев и случайных возмущений геометрии МС Фибоначчи на самоподобные характеристики.

Это позволило определить критический набор параметров.

Было проведено сравнение структуры графиков, определяющих характеристики МС Фибоначчи, с картиной поля дифракции света на амплитудной ДР Фибоначчи.

Результаты сравнения приведены на рис. 7.

Общий вид представленных графиков, а также положения сопрягающих их вертикальных Рис. 7. Характеристики систем реперных линий несомненно Фибоначчи. a - картина дифракции указывают на определенную на амплитудной ДР (200 щелей);

b – зависимость коэффициента схожесть в их поведении.

отражения МС из 233 слоев от Вертикальные линии проведены частоты излучения ( Nmin=1,46, через ряд экстремумов, Nmax=2,35) ; c – зависимость находящихся в точках ЗС.

коэффициента отражения МС от числа слоев N; d – распределение Положение вертикальных линий интенсивности света по слоям МС характеризуют точки (j – номер слоя).

A, B, D, E, F,G. (Точки D и E делят в соответствии с ЗС расстояние между точками A и B. Точки F и G находятся в точках ЗС по отношению к отрезку DE.) Хорошо видно, что анализируемые оптические структуры имеют самоподобный характер. Структура максимумов в интервале AB подобна структуре максимумов в интервалах DE и FG.

Это дает основание говорить о существовании некоторого геометрического инварианта, на основе которого реализуются самоподобные структуры с Золотыми пропорциями при прохождении света через системы Фибоначчи. Данный результат уточняет применительно к оптическим системам известные ранее формы реализации ЗС в разнообразных физических объектах и процессах.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА Четверная глава посвящена исследованию оптических свойств модифицированных систем Фибоначчи, отражающих суммационный принцип построения обобщенной последовательности Фибоначчи и числового ряда так называемых Металлических сечений.

На основе численного моделирования показано, что системы, построенные на основе обобщенного ряда Фибоначчи, не обладают в полной мере самоподобными признаками. В то же время оптические элементы, отражающие структуру числового ряда Серебряного сечения, проявляют свойства близкие к свойствам элементов Фибоначчи. Блоки элементов ряда Серебряного сечения обладают следующей структурой: S0 = B, S1 = A, S2 = S1S1S0, S3 = S2S2S1, S4 = S3S3S2 и т.д.

В данной главе проанализирован также эффект широкодиапазонного отражения излучения от МС. Этот эффект связан с возможностью обеспечить высокий коэффициент отражения R световых волн при всех углах падения и в достаточно широком спектральном интервале.

Применительно к МС Фибоначчи в узких диапазонах частот проблема эффективного отражения излучения отсутствует. Если центральные частоты этих диапазонов известны, то не представляет большого труда изготовить соответствующую МС. Расширить спектральную область полного отражения и уменьшить зависимость от контраста показателей преломления слоев можно путем внесения линейного тренда в оптическую толщину слоев. При наличии такого тренда фазовые набеги в слоях описываются выражением = 1 + k( j -1), где j - номер слоя, 1 - фазовый набег в j первом слое, k - коэффициент. При оптимальной величине k удается значительно расширить область с практически полным отражением.

Дополнительно расширить спектральную область с высоким R можно путем увеличения числа слоев МС.

При проведении расчетов было обнаружено, что для достижения широкодиапазонного отражения линейное изменение толщин можно заменить на ступенчатое изменение. Такой вариант приводит практически к тому же самому результату, но гораздо проще реализуется технически.

В ходе изучения характеристик МС Фибоначчи с трендом толщин слоев было установлено, что в спектральном диапазоне, характеризуемом высоким R, формируются области с резким изменением фазы отраженного сигнала. Их наличие позволяет использовать МС Рис. 8. а - спектр отражения от МС Фибоначчи в качестве Фибоначчи из 55 слоев, б - изменения модуляторов фазы. На фазы отраженной волны.

рис. 8 показан спектр отражения от МС Фибоначчи с 55 слоями, сопряженный с графиком изменения фазы отраженной волны. Из рисунка видно, что эти области находятся в пределах диапазона практически полного отражения. Точка А на графике изменения фазы соответствует наиболее крутому участку. Если эту точку использовать в качестве рабочей, то при изменении толщин слоев на 0,1%, изменение фазы отраженного сигнала может превосходить значения равного.

ПЯТАЯ ГЛАВА В пятой главе обсуждаются вопросы практического применения апериодических систем. Уникальные свойства решеток и МС Фибоначчи указывают на перспективность их использования для создания новых и совершенствования известных оптических элементов и устройств. Они нашли применение в селективных волноводных устройствах, в системах компрессии импульсов и преобразованиях частоты оптического излучения. Дополнительные возможности применения МС Фибоначчи дает перенесение на них концепции одномерных фотонных кристаллов, использующейся, в частности, при создании оптических переключателей и быстродействующих логических ячеек для вычислительной техники.

При создании оптических переключателей на основе МС Фибоначчи следует воспользоваться нелинейными эффектами. Их можно реализовать, изготовляя отдельные слои из материалов, показатель преломления которых увеличивается под действием интенсивного излучения. Учитывая, что увеличение разности показателей преломления слоев приводит к уширению запрещенной зоны и, в общем случае, к смещению спектров как целого, присутствие таких слоев в многослойной ячейке позволяет изменением интенсивности управляющего светового пучка управлять прохождением через МС Фибоначчи пробных сигналов сразу по нескольким каналам. Характерная для МС Фибоначчи трансформация спектра пропускания при подаче на нее управляющего сигнала показана на рис. 9 Верхняя стрелка определяет значение частоты управляющего сигнала, нижние стрелки определяют частоты пробных сигналов. Из рисунка видна высокая эффективность управления переключением пробных сигналов на целом ряде частот.

Рис. 9. Графики зависимостей коэффициента пропускания МС Фибоначчи из 110 слоев от частоты излучения в отсутствие управляющего сигнала (кривая черного цвета) и при его включении (кривая серого цвета). Nmin = 1,45, Nmax = 3,3.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»