WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

Понятие опорной функции выпуклых многогранников переносится по линейности на случай виртуальных многогранников; при этом свойство выпуклости теряется. Опорная функция виртуального многогранника является кусочно-линейной относительно некоторого разбиения пространства R3 на многогранные конуса с вершиной в начале координат. Такое разбиение называется веером виртуального многогранника. Для удобства рассматривается пересечение веера с единичной сферой с центром в начале координат – это сферический веер.

Поверхность виртуального многогранника двойственна его сферическому вееру: вершине виртуального многогранника соответствует двумерная область (клетка) веера и грань графика опорной функции и наоборот.

Виртуальные многогранники можно представить геометрически как пару: (поверхность, ассоциированный с ней веер).

Среди виртуальных многогранников выделяют особый класс объектов – класс гиперболических многогранников. Виртуальный многогранник называется гиперболическим, если график его опорной функции – седловая поверхность. Для гиперболического многогранника, заданного как пара (кусочно-линейная поверхность K, веер K), поверхность K – невыпуклая. Ее неседловые точки называются рогами гиперболического многогранника.

Актуальный критерий гиперболичности дает следующая лемма.

Лемма [18]: Если веер виртуального многогранника невыпуклый (то есть при каждой его вершине есть угол, больший ), то этот виртуальный многогранник гиперболический.

Следующая теорема объясняет устройство клетки веера и грани графика опорной функции, соответствующих рогу виртуального многогранника.

Теорема [18]: Пусть гиперболический виртуальный многогранник задан как пара (замкнутая кусочно-линейная поверхность K, ассоциированный сферический веер K). Пусть вершина H поверхности K – рог гиперболического многогранника, а – клетка веера K, соответствующая H. Тогда • сферический многоугольник с ровно двумя углами, меньшими ;

• ограничена двумя ломанными линиями, обращенными выпуклостями внутрь клетки;

• содержит большой полукруг;

• график опорной функции выпуклый вверх вдоль одной из ломаных границы клетки и выпуклый вниз вдоль другой ломаной (то есть график опорной функции имеет дугу перегиба на клетке ).

Естественной основой для классификации гиперболических многогранников является количество рогов. Однако, есть более тонкая классификация, основанная на конфигурациях больших полукругов на сфере. Дело в том, что каждый гиперболический многогранник (и гиперболический ёж) порождает конфигурацию непересекающихся больших полукругов на сфере (см. [20]). При этом каждый рог гиперболического многогранника дает один полукруг. Конфигурации больших полукругов на сфере позволяют выявить различия между гиперболическими многогранниками с одинаковым числом рогов.

Г.Ю. Паниной был предложен способ построения гиперболических многогранников с любым числом рогов N 4 (см. [17]). Но этот способ дает не все гиперболические многогранники. Нахождение хотя бы одного нового гиперболического многогранника другого типа (с качественно другой конфигурацией больших полукругов на сфере)– достаточно сложная задача.

В главе 2 формулируется и доказывается новая теорема, устанавливающая взаимосвязь гиперболических многогранников с классическими седловыми объектами сужающимися поверхностями. Доказательство этой теоремы представляет собой описание найденного алгоритма, позволяющего утянуть на бесконечность рог гиперболического виртуального многогранника с сохранением его гиперболичности.

Теорема: Пусть (K, ) гиперболический виртуальный многогранник, заданный кусочно-линейной поверхностью K и сферическим веером. Зафиксируем один из рогов этого гиперболического многогранника и обозначим его через R. Пусть клетка веера, соответствующая рогу R, строго вмещает большой полукруг. Тогда рог R гиперболического многогранника (K, ) можно "утянуть на бесконечность", то есть существует последовательность гиперболических виртуальных многогранников (Ki, i) (и соответствующая последовательность рогов (Ri)), такая что:

• K1 = K и R1 = R;

• x(Ri) при i, где x(Ri) x- координата рога Ri при определенном выборе системы координат;

• кусочно-линейные поверхности Ki и Ki+1(i = 1,...) отличаются только гранями, близкими к рогам Ri и Ri+1 (см. рис. 2).

Замечание: В теореме речь идет только об одном роге R гиперболического многогранника (K, ). Однако доказательство теоремы дает способ утянуть на бесконечность все рога этого многогранника.

Замечание: В качестве K мы можем взять, например, гиперболический многогранник с 4 рогами И. Мартинез-Мора (см. [12]), гиперболический многогранник с 4 рогами Г.Ю. Паниной (см. [18]), любой гиперболический многогранник, построенный в [17], а также гиперболические многогранники, построенные в главах 3 и 4 диссертации. В результате получим целую серию новых объектов.

Глава 3 посвящена численному построению гиперболических многогранников с 6 и 8 рогами с помощью техники, предложенной Г.Ю. Паниной в [17]. Эти объекты, ранее описанные только теоретически, в диссертационной работе построены явно как пара (поверхность, веер) и реализованы в виде трехмерных моделей. Визуализированы также и их веера (см. [24]). Получено множество иллюстраций поэтапного процесса построения этих объектов. Впервые трехмерные изображения гиперболических многогранников с 6 и 8 рогами и их вееров доступны для ознакомления (см. рис. 3, 4, 5, 6). Построение этих объектов – результат долгой экспериментальной работы по подбору подходящих координат вершин виртуальных многогранников и получению наиболее наглядных визуальных моделей поверхностей и вееров.

В четвертой главе построен (теоретически и численно) новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами, а также его веер (см. рис. 7, 8). Трехмерные модели нового гиперболического многогранника и его веера доступны в сети интернет (см. [24]). Эти модели были построены в результате кропотливого экспериментального поиска подходящих координат вершин виртуального многогранника. Необходимо было также добиться и максимальной наглядности.

Поясним, что подразумевается под словом "новый". В [20] показано, что существуют 2 разные (с точностью до изотопии и зеркальной симметрии) конфигурации 4 больших полукругов на сфере (см. рис. 2). Гиперболические многогранники с 4 рогами, предложенные И. Мартинез-Мором в [12] и Г.Ю. Паниной в [17], порождают одну и ту же конфигурацию больших полукругов на сфере (конфигурацию типа I). Напротив, в данной работе построен гиперболический виртуальный многогранник имеющий конфигурацию типа II больших полукругов на сфере, неизотопную конфигурации I.

Теорема: существует гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами, имеющий конфигурацию больших полукругов типа II.

Новый гиперболический многогранник дает новый контрпример к гипотезе А.Д. Александрова.

Г.Ю. Паниной в [20] было теоретически предсказано существование этого объекта. Там же было теоретически описано его построение. Но попытка компьютерно реализовать этот алгоритм привела к объекту, сложному для визуального восприятия. Все же, явное следование идее Г.Ю. Паниной принесло пользу: удалось угадать, как выглядит более простой гиперболический многогранник с теми же свойствами; его оказалось возможным построить с помощью другой техники.

Построенный гиперболический многогранник с 4 рогами преобразуется так, что к нему становится возможным применить технику сглаживания (см. [17]) и получить гладкий гиперболический ёж с 4 рогами (новый тип седловой поверхности). Доказано, что новый гладкий ёж с 4 рогами и ёж И. Мартинез-Мора неизотопны.

Следствие: Существуют 2 неизотопных гиперболических ежа с рогами каждый.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложении приведены координаты вершин построенных гиперболических многогранников и исходные файлы Maple для их визуализации.

Работы автора по теме диссертации 1. Князева М.Г. От виртуальных многогранников к классическим седловым поверхностям. Известия высших учебных заведений. Приборостроение, Т. 49 (2006), No. 11, cтр. 24–28.

2. Князева М.Г., Панина Г.Ю. О неизотопных гиперболических ежах.

Успехи математических наук, (2008), 63: 5(383), стр. 189 – 190.

3. Knyazeva M. New example of hyperbolic virtual polytope. Leonhard Euler Congress. Third Russian-German Geometry Meeting (St. Peterburg, Russia). Abstracts (2007), pp. 19–20.

4. Knyazeva M., Panina G. An illustrated theory of hyperbolic virtual polytopes. CEJM, Versita (with Springer-Verlag GmbH), Vol. 6, No. 2 (2008), pp. 204–217.

Список литературы [1] Александров А.Д. Теорема единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, T. 19 (1937), c. 227–229.

[2] Александров А.Д. О теоремах единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, T. 22 (1939), No. 3, c. 99–102.

[3] Александров А.Д. Выпуклые многогранники. ГИТЛ, М.-Л., 1950.

[4] Александров А.Д. Геометрия и приложения. Избранные труды / А.Д.

Александров. Новосибирск: Наука, Т. 1 (2006).

[5] Александров А.Д. Выпуклые многогранники. Избранные труды / А.Д. Александров. Новосибирск: Наука, Т. 2 (2007).

[6] Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. (пер. Каменецкого С.А.) М.-Л., ОНТИ, 1936.

[7] Панина Г.Ю. Смешанные объемы многогранных функций. Алгебра и Анализ, Т. 6 (1996), No. 6, с. 1209–1217.

[8] Панина Г.Ю. Виртуальные многогранники и классические вопросы геометрии. Алгебра и Анализ, Т. 14 (2002), No. 5, c. 152–170.

[9] Панина Г.Ю. Алгебра многогранников. Мат. Просвещение, серия 3, No. 10 (2006), с. 109–131.

[10] Пухликов А.В., Хованский А.Г. Конечно-аддитивные меры виртуальных многогранников. Алгебра и Анализ, Т. 2 (1992), No. 2, c. 161–185.

[11] Langevin R. Levitt G. Rosenberg H. Hrissons et multihrissons (enveloppes paramtres par leur application de Gauss). Singularities, Warsaw, Banach Center Publ., Vol. 20 (1985), pp. 245–253.

[12] Martinez-Maure Y. Contre-exemple une caractrisation conjecture de la sphre. C.R. Acad. Sci. Paris, Vol. 332 (2001), No. 1, pp. 41–44.

[13] Martinez-Maure Y. Thorie des hrissons et polytopes. C.R. Acad. Sci.

Paris, Ser. 1, 336(3) (2003), pp. 241–244.

[14] McMullen P. The polytope algebra. Adv.Math., Vol. 78 (1989), No. 1, pp. 76–130.

[15] Panina G. On Minkowski decompositions of polytopes. Proc. ADG-(Automated deduction in geometry), 2000, pp. 228–233.

[16] Panina G. Rigidity and flexibility of virtual polytopes. Central European J. of Math., Vol. 2 (2003), pp. 157–168.

[17] Panina G. New counterexamples to A.D. Alexandrov’s hypothesis. Advances in Geometry, Vol. 5 (2005), pp. 301–317.

[18] Panina G. On hyperbolic virtual polytopes and hyperbolic fans. Central European J. of Math., Vol. 4 (2006), Nо. 2, pp. 270–293.

[19] Panina G. Planar pseudo-triangulations, spherical pseudo-tilings and hyperbolic virtual polytopes. Preprint, math.MG/0607171 at http://www.arxiv.org [20] Panina G. On non-isotopic saddle surfaces. Preprint of the Ervin Schroedinger Institute http://www.esi.ac.at [21] Panina G. A. D. Alexandrov’s uniqueness theorem for convex polytopes and its refinements. Contributions to Algebra and Geometry, Vol. (2008), No. 1, pp. 59–70.

[22] G. Rote, F. Santos, I. Streinu. Expansive motions and the polytope of pointed pseudo triangulations. in: B. Aronov, S. Basu, J. Pach, M. Sharir (Eds.), Discrete and Computational Geometry - The Goodman-Pollack Festschrift, Springer-Verlag, Berlin, 2003, pp. 699–736.

[23] Интернет-сайт www.eg-models.de [24] Интернет-сайт http://club.pdmi.ras.ru/ panina/hyperbolicpolytopes.html

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.