WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

m=1 m=Наряду с рядом (12) рассмотрим измененный ряд Дирихле n Fb(s) = anbne s, (13) n=где b = {bn} последовательность комплексных чисел bn (bn = 0 при n N), удовлетворяющая условию |ln |bn|| lim <. (14) n n Тогда ряд (13) также абсолютно сходится во всей плоскости, а Fb целая функция.

Пусть E [0, ) измеримое по Лебегу множество. Верхней DE и нижней dE плотностями множества E называются величины mes(E [0, ]) mes(E [0, ]) DE = lim, dE = lim.

В дальнейшем считаем, что все исключительные множества E [0, ), вне которых будут получены асимптотические оценки, представляют собой объединения отрезков вида [an, a n], где 0 < a1 < a 1 a2 < a 2... an < a n....

Пусть функция, введенная выше, а функция, обратная к функции.

Рассмотрим класс функций w(x) W () = {w L : x w(x), lim = 0, x x(x) x 1 w(t) lim dt = 0}.

(x) tx Заметим, что для любого L функция w(x) = x принадлежит классу x 1 w(t) W () = w L : x w(x), lim dt = 0.

x (x) tЕсли (x2) lim <, (15) x (x) то проверяется, что W () W ().

Всюду далее предполагается, что функция L такова, что для ее обратной функции выполняется (15).

Будем говорить, что последовательность {bn} (bn = 0 при n N) W ()– нормальна, если найдется функция L, такая, что x 1 (t) lim dt = 0, - ln |bn| (n) (n N).

x (x) tЧерез µ() и µ() обозначим максимальные члены рядов (12) и (13) соb ответственно, то есть n n µ() = max |an| e, µ() = max |an| |bn| e.

b n1 nВ работе [6] доказана следующая Теорема D. Для того, чтобы для любой функции F D() при вне некоторого множества E [0, ) конечной лебеговой меры имело место асимптотическое равенство ln µ() = (1 + o(1)) ln µ(), b необходимо и достаточно, чтобы существовала функция w W, такая, что |ln |bn|| w(n) (n N).

w(x) Здесь W = w L : dx <.

xВ [34] аналогичная теорема доказана для рядов Дирихле конечного Rпорядка. В §1.2 главы I соответствующие результаты получены для более широких классов функций D() и D() (теоремы 1.2 и 1.3).

Теорема 1.2. Пусть {bn} последовательность комплексных чисел (bn = 0, n N), удовлетворяющая условию (14).

Для того, чтобы для любой функции F D() при вне некоторого множества E [0, ) нулевой нижней плотности было справедливо асимптотическое равенство ln µ() = (1 + o(1)) ln µ(), (16) b достаточно, а для W ()– нормальной последовательности {bn} и необходимо, чтобы существовала функция w W (), такая, что |ln |bn|| w(n) (n N). (17) Теорема 1.3. Пусть {bn} последовательность комплексных чисел (bn = 0, n N), удовлетворяющая условию (14).

Для того, чтобы для любой функции F D() при вне некоторого множества E [0, ) нулевой нижней плотности было справедливо асимптотическое равенство (16), необходимо и достаточно, чтобы при некоторой w W () для последовательности {bn} выполнялось условие (17).

В качестве функции можно рассматривать, например, функцию () = exp exp... exp() (k 1). Тогда при k = 1 имеем D() = D(, R), где k D(, R) подкласс D(), состоящий из функций F, имеющих конечный порядок R(F ) по Ритту:

ln ln M() R(F ) = lim, M() = sup |F ( + it)|.

+ |t|< Таким образом, видим, что теоремы 1.2 и 1.3 обобщают соответствующие результаты Латыпова И.Д. из [25].

В главе II изучается поведение рядов Дирихле заданного роста на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность.

Пусть ряд Дирихле n F (s) = ane s (0 < n ) (18) n=абсолютно сходится во всей плоскости. М.Н. Шереметой в [28] показано, что если для последовательности = {n} выполняются условия = 0 ( плотность) и n+1 -n h > 0 (n 1), то R-порядок функции F на положительном луче R+ = [0, ) равен R-порядку R функции F во всей плоскости.

Более общий результат доказан А.М. Гайсиным в [35], где, в частности, показано, что если = 0 и индекс конденсации последовательности равен нулю, то R =, где ln ln |F (s)| = lim ( = Re s) s s порядок по Ритту на кривой, уходящей в бесконечность так, что если s и s, то Re s +.

Наиболее общий, но результат несколько иного характера установлен в статье [36]. Для того, чтобы сформулировать его, введем соответствующие обозначения и определения.

Пусть = {} семейство всех кривых, уходящих в бесконечность так, что если s и s, то Re s +.

Для F D(), положим ln |F (s)| def d(F ; ) = lim, d(F ) = inf d(F ; ). (19) s ln M(Re s) s Последовательность {bn} (bn = 0 при n N) называется W нормаль ной, если найдется функция L, такая, что [36] x 1 (t) lim dt = 0, - ln |bn| (n) (n N).

x ln x tВ [36] доказана Теорема E. Пусть последовательность имеет конечную верхнюю плотность. Предположим, что последовательность {Q (n)} W – нормальна. Для того, чтобы для любой функции F D(, R) имело место равенство d(F ) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1 lim = 0. (20) ln x n x nx Здесь zQ(z) = 1 - (0 < n ).

n n=Пусть целая функция f имеет конечный порядок и представима в виде n f(z) = anzp (pn N).

n=Если последовательность {pn} имеет плотность = 0, то d(f) = 1 (d(f) аналог величины d(F ), который определяется по всевозможным кривым, произвольным образом уходящим в бесконечность). Этот факт впервые был установлен Полиа в [23]. Заметим, что равенство d(f) = 1 вытекает из более общей теоремы E. Действительно, если f целая функция конечного порядка, то полагая z = es, замечаем, что n F (s) = f(es) = anep s n= целая функция конечного R–порядка. Следовательно, согласно теореме E d(f) = d(F ).

Однако, из того, что d(F ) = 1, вообще говоря, не следует выполнение равенства R(F ) = для порядков по Ритту функции F во всей плоскости и на кривой. Оказывается, если в теореме F условие (20) заменить на более сильное требование 1 lim = 0, (21) x ln x n nx то R(F ) = для любой функции F D(, R).

В главе II приведено обоснование этого факта. Также доказаны аналоги теоремы E для более общих классов рядов Дирихле (D() и D()). В §2.доказаны теоремы 2.1 и 2.2 (они соответствуют классу D()), а в §2.теоремы 2.3, 2.4 (они соответствуют классу D()).

Сформулируем основные результаты главы II.

Теорема 2.1. Пусть последовательность имеет конечную верхнюю плотность. Если выполняется условие 1 lim = 0, (22) (x) n x nx то для любой функции F D() и любого (0 < ) существует множество E, dE = 0, такое, что справедлива оценка ln µ() lim 2 + (1 - 2)d(F ; ), (23) e ln µ() где e = [0, ) \ E, любая кривая из семейства, а d(F ; ) величина, определенная формулой (19).

Следствие. Пусть последовательность имеет конечную верхнюю плотность. Если выполняется условие (22), то для любой целой функции F D() справедливы оценки 0 d(F ) 1, где d(F ) = inf d(F ; ).

Теорема 2.2. Пусть последовательность имеет конечную верхнюю плотность. Предположим, что последовательность {Q (n)} W ()– нормальна.

Для того, чтобы для любой функции F D() выполнялось равенство d(F ) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (22).

Приведем аналогичные результаты относительно класса D().

Теорема 2.3. Пусть последовательность имеет конечную верхнюю плотность. Если выполняется условие 1 lim = 0, (24) x (x) n nx то для любой функции F D() и любого (0 < ) существует множество E нулевой нижней плотности, такое, что справедлива оценка ln µ() lim 2 + (1 - 2)d(F ; ), (25) e ln µ() где e = [0, ) \ E, любая кривая из семейства, а d(F ; ) величина, определенная формулой (19).

Теорема 2.4. Пусть последовательность имеет конечную верхнюю плотность. Предположим, что последовательность {Q (n)} W ()– нормальна.

Для того, чтобы для любой функции F D() выполнялось равенство d(F ) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (24).

Замечание. Условиям теорем 2.1–2.4, например, удовлетворяет функция () = exp exp... exp() (k 1). Следовательно, теоремы 2.1–2.4, в частk ности, содержат результаты из [25], доказанные для случая k = 1.

Следствие. Пусть для последовательности выполняется условие (24), а последовательность {Q (n)} W ()– нормальна. Если F D(), то для любого > 0 при всех 0() верна оценка:

ln µ() < (1 + ) ln |F (s)| ( = Re s), (26) где s некоторая точка кривой, обладающая свойством: |Re s-|.

Пусть F D(). Тогда F D(, R) для () = e. Если выполняется условие (24) (в этом случае (x) = ln x), а последовательность {Q (n)} W ()– нормальна, то из (26) получаем, что R(F ) = ( ).

Таким образом, в теоремах 2.1–2.4 и вытекающих из них следствиях получены обобщения результатов из [25], [35].

В главе III изучаются ряды Дирихле с вещественными коэффициентами, имеющие выпуклую мажоранту роста.

Пусть f(z) = akzk (z = x + iy) (27) k= целая трансцендентная функция с вещественными коэффициентами, а {pn} (n 1) последовательность перемен знаков коэффициентов (по определению pn = min {k : ap ak < 0}, где p0 = min{k : ak = 0}). Через p(t) n-k>pn-обозначим считающую функцию последовательности {pn}: p(t) = 1.

pnt В [37] показано, что если функция (27) имеет конечный порядок и плотность последовательности {pn} равна нулю, то ln |f(x)| lim = 1, Mf(r) = max |f(z)| (r > 0). (28) x+ ln Mf(x) |z|=r Отметим, что эта задача восходит к известной работе Полиа [23]. В [38] доказано, что при = 0 равенство (28) верно и для функций конечного нижнего порядка.

В [26] получены более общие результаты. Сформулируем их.

Пусть ( L) выпуклая функция, удовлетворяющая условию (15).

Через A() и A() будем обозначать классы положительных, неубывающих на R+ функций = (t), (t) = o(t(t)) при t, таких, что соответственно r r 1 (t) 1 (t) lim dt = 0, lim dt = 0.

r (r) t2 (r) tr 1 Подклассы A() и A(), состоящие из функций L, таких, что (t) t, очевидно, совпадают с W () и W () соответственно. Подклассы множеств A() и A(), соответствующие функции (t) = ln t, будем обозначать A+ и A-.

Пусть = {n} (0 < n ) последовательность, удовлетворяющая следующим условиям:

1) sup((t + 1) - (t)) < (условие несгущаемости); (29) t 2) ln(n+1 - n) > -(n) (n 1), где некоторая функция из W (), (t) = O(t) при t, (t) = 1 (условие несближаемости).

nt Через R() обозначим класс всех целых функций F, представимых абсолютно сходящимися во всей плоскости рядами Дирихле n F (s) = ane s (s = + it), (30) n=все коэффициенты которых an вещественны.

Пусть µn = p, где {pn} последовательность перемен знаков коэффиn циентов ряда (30), l(t) = 1.

µnt Справедливы следующие утверждения.

Теорема F [26]. Для того, чтобы для любой функции F R() конечного R-порядка при вне некоторого множества E [0, ) нулевой нижней плотности выполнялось асимптотическое равенство ln M() = (1 + o(1)) ln |F ()|, (31) необходимо и достаточно, чтобы l A-.

Из теоремы вытекает следствие для функций, заданных степенными рядами (27) (в этом случае p = pk).

k Следствие. Для того, чтобы для любой целой функции f(z) конечного порядка, заданной рядом (27), при r вне некоторого множества E [0, ) нулевой логарифмической плотности выполнялось асимптотическое равенство ln Mf(r) = (1 + o(1)) ln |f(r)|, (32) необходимо и достаточно, чтобы p A-.

Аналогичные результаты справедливы и для функций F R() конечного нижнего R-порядка.

Таким образом, в [26] получены неулучшаемые результаты для функций F R() конечного R-порядка (конечного нижнего R-порядка).

В главе III аналогичные результаты доказаны для рядов Дирихле с вещественными коэффициентами из классов D() и D(). Их удобнее сформулировать в терминах A() и A() (вместо W () и W ()).

Положим R() = R() D(), R() = R() D().

Предполагается выполнение следующего условия на последовательность {pn}: существует A(), что n l(t; n) dt (n) (n 1), (33) t где l(t; n) число точек µj из отрезка {h : |h - n| t}. Отметим, что в случае (x) = ln x, условие (33) выполняется автоматически (это показано в [26]).

Справедливы Теорема 3.1. Пусть выполняется условие (33).

Для того, чтобы для любой функции F R() при вне некоторого множества E [0, ) нулевой нижней плотности выполнялось асимптотическое равенство (31), необходимо и достаточно, чтобы l A().

Теорема 3.2. Пусть выполняется условие (33).

Для того, чтобы для любой функции F R() при вне некоторого множества E [0, ) нулевой нижней плотности выполнялось асимптотическое равенство (31), необходимо и достаточно, чтобы l A().

Если взять () = exp exp... exp() (k 1), то при k = 1 классы R() k и R() состоят из рядов Дирихле конечного и, соответственно, конечного нижнего порядка по Ритту. Поэтому все приведенные выше результаты из [23], [26], [37], [38] являются следствиями из теорем 3.1 и 3.2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Hadamard J. Essai sur l’etude des fonctions donnees par leur developpement de Taylor// J. Math. pures et appl. 1892. V. 8. P. 154 – 186.

2. Fujiwara M. On the relation between M(r) and coefficients of a power series// Proc. Imp. Acad. Japan. 1932. V. 8, № 6. P. 220 – 223.

3. Говоров Н.В. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами ее степенного разложения// Труды Новочеркасск.

политехн. ин-та. 1959. Т. 100. С. 101 – 115.

4. Мак-Лейн Г. Асимптотические значения голоморфных функций.

М.:Мир, 1966. - 104С.

5. Fejr L. ber die Wurzel vorm Kleinsten absoluten Betrage einer algebraischen Gleichung//Math. Annalen. 1908. P. 413–6. Гайсин А. М. Оценка роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых. // Матем. сб. 2003. Т. 194. № 8. С. 55 – 82.

7. Skaskiv O.B. On the Plya conjecture conserning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of finite order given by a lacunary power series//Anal. Math. 1990. V. 16. №2. P. 143–8. Гайсин А. М. Поведение логарифма модуля суммы ряда Дирихле, сходящегося в полуплоскости // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 53. № 4. С.

173 – 185.

9. Ritt J.F. On certain points in the theory of Dirichlet series// Amer. Math.

J. 1928. V. 50. P. 73 – 83.

10. Дагене Е.Я. О центральном показателе ряда Дирихле// Литовский мат.

сб. 1968. Т. 8, № 3. С. 504 – 521.

11. Бойчук В.С. О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле// Мат. сб. К.: Наукова думка, 1976. С. 238 – 240.

12. Nandan K. On the maximum terms a maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series// Ann. Polon. Math. 1973. V. 28. P. 213 – 222.

13. Nandan K. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series// Rev. roum. math. pures et appl. 1976. V. 21, № 10. P. 1361 – 1368.

14. Yu-Chia-Yung. Sur la croissance et la repartition se Dirichlet qyi ne convergent que dans un demi-plan// Comptus rendus Acad. Sci. 1979.

AB288, № 19. A891 – A893.

15. Галь Ю.М., Шеремета М.Н. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле// ДАН УССР. Сер. А, 1978. № 12.

C. 1065 – 1067.

16. Гайсин А.М. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе// Матем. сб. 1982. Т. 117 (159), № 3. С. 412 – 424.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.