WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     |
|
.

На правах рукописи

Юсупова Наркес Нурмухаметовна АСИМПТОТИКА РЯДОВ ДИРИХЛЕ ЗАДАННОГО РОСТА 01.01.01 – математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико – математических наук

Уфа 2009

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа ГОУ ВПО Башкирский государственный университет

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Гайсин А.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Мусин И.Х., кандидат физико-математических наук Тимофеев А.Ю.

Ведущая организация: ГОУ ВПО Нижегородский государственный университет

Защита состоится ”26” ноября 2009 г. в 15 часов на заседании совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций в Учреждении Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Учреждения Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан ” ” октября 2009 г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ Актуальность темы. Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнениях, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Огромный вклад в развитие данного направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Полиа и другие.

В 1882 году Ж. Адамар вывел формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций была решена М.Фудзивара [2], Н.В. Говоровым [3] и другими (см. [4]).

Пусть {pn} возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию 1 <. (1) pn n=1 В этом случае говорят, что последовательность {pn} имеет лакуны Фейера.

Аналогично, целая функция f(z) = cnzn (2) n=имеет лакуны Фейера, если последовательность S(f) = {n : cn = 0 (n 1)} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (2) есть лакунарный степенной ряд вида f(z) = c0 + anzn (an = cp = 0). (3) n n=Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [5]. Этот интересный факт и другие соображения наводят на мысль о наличии у целых функций f, заданных рядами (3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см., н-р, [6]). Отметим, что условие (1) естественно появляется в случае, когда изучаются целые функции вида (3) в самом общем случае, то есть без никакого ограничения на рост. Если рассматриваются целые функции (3) с ограничением на рост, например, целые функции конечного порядка, условие (1) заменяется на более слабое, зависящее от поведения величины (см., н-р, [7]) L(r) =.

pn pnr В случае, когда областью сходимости ряда (3) является единичный круг, асимптотические свойства суммы ряда зависят от функции [8] l(r) =.

pn pnr В данной ситуации, в отличие от предыдущего случая, никаких ограничений на рост функции (3) сверху вблизи единичной окружности не требуется (достаточно, чтобы максимум модуля вблизи границы имел достаточно быстрый рост).

Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.

Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятием R-порядка, введенного Ж.Риттом. Он же выразил эту величину через коэффициенты ряда Дирихле [9].

Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е.Дагене [10], В.Бойчук [11], К. Нандан [12], [13], Ю. Шиа-Юн [14].

В 1966 году М.Н. Шереметой было введено понятие обобщенного порядка для изучения роста целых или аналитических в круге функций. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [15]. Позже в терминах R-порядка рост рядов Дирихле в полуполосах и на луче вблизи прямой сходимости в зависимости от коэффициентов был исследован А.М. Гайсиным в работах [16]-[18], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [19], [20].

В работах М.Н. Шереметы исследовалось поведение целых функций, представленных лакунарными степенными рядами (рядами Дирихле) в угле (соответственно, в полосе), рост которых ограничивался сверху некоторой положительной возрастающей выпуклой функцией [21], [22].

Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от роста на менее массивных континуумах, например, на лучах или на кривых, примыкающих“ к границе области ” сходимости. Впервые такая задача для рядов (3), а также двойственная задача для рядов с вещественными коэффициентами, представляющих целые функции, была поставлена Полиа в [23].

Для целых функций произвольного роста обе задачи полностью решены в [6], [24]. В классе целых функций вида (3) конечного порядка (нижнего порядка) роста указанные задачи рассматривались и были решены в работах [25], [26].

Отметим, что соответствующие задачи для аналитических функций, представленных рядами (3), сходящимися лишь в единичном круге, изучались в [27].

В настоящей диссертации изучаются целые функции, представленные рядами Дирихле, абсолютно сходящимися во всей плоскости, рост которых в том или ином смысле ограничен некоторой выпуклой функцией. Для каждого такого класса целых функций указаны оптимальные условия, при которых верны точные асимптотические оценки для суммы ряда Дирихле на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность. Здесь получены соответствующие результаты и для рядов Дирихле с вещественными коэффициентами.

Доказанные в диссертации теоремы обобщают и усиливают соответствующие результаты Полиа [23], Шереметы М.Н. [28], Гайсина А.М. [26], [29], Латыпова И.Д. [25], а также Макинтайра [30] и Евграфова М.А. [31].

Цель работы. Доказать аналог теоремы Макинтайра из [30]. Для двойственной пары классов абсолютно сходящихся во всей плоскости рядов Дирихле, определяемых некоторой выпуклой мажорантой роста, найти условия на последовательность показателей, при выполнении которых будут справедливы точные оценки их роста и убывания на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность. Получить асимптотические оценки для рядов Дирихле с вещественными коэффициентами из тех же классов.

Научная новизна. Все основные результаты настоящей работы новые.

Получены следующие результаты:

доказан аналог теоремы Макинтайра для рядов Дирихле и тем самым получено уточнение теоремы единственности М.А. Евграфова;

получен критерий устойчивости логарифма максимального члена рядов Дирихле, абсолютно сходящихся во всей плоскости и имеющих выпуклую мажоранту роста;

для рядов Дирихле заданного роста установлены точные оценки их роста и убывания на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность;

получены точные асимптотические оценки для рядов Дирихле с выпуклой мажорантой роста на луче, имеющих только вещественные коэффициенты.

Методика исследования. Использованы методы теории рядов экспонент, разработанные А.Ф. Леонтьевым (применяется интерполирующая функция, формулы для коэффициентов) и развитые в работах А.М. Гайсина, а также методы комплексного анализа, теории целых функций. Наряду с ними в работе систематически используются доказанные в диссертации различные модификации теоремы Бореля-Неванлинны из [32].

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и разработанная в ней методика могут быть полезны как в теории целых функций, рядов экспонент, так и в смежных областях анализа, таких, как теория аппроксимации в комплексной области, теория дифференциальных уравнений бесконечного порядка, спектральная теория. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН, Учреждении Российской академии наук Институт математики с Вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, Санкт – Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН, Московском, Южнороссийском Федеральном, Саратовском, Львовском, Башкирском, Сыктывкарском, Нижегородском госуниверситетах а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Учреждения Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН; на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Башкирского госуниверситета;

на Региональных школах–конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2005–2007 гг.); на Международной уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005 г.); на XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2006 г.); на Международной конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Якты-Куль, 2006 г.);

на Уфимской международной конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007 г.); на Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ посвященной 75-летию академика А.М. Ильина.

(Якты-Куль, 2007 г.); на Международной школе–семинаре по геометрии и анализу, посвященной памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, Краснодарский край, 2008 г.); на Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(Якты-Куль, 2008 г.); на Международной научной конференции, посвященной 100-летию известного математика и педагога Н.А.

Фролова (г. Сыктывкар, 2009 г.); на Международной конференции "Sixth Advanced Course in Operator Theory and Complex Analysis" (Испания, г. Севилья, 2009 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 103 страницы. Библиография – 48 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дается краткий обзор известных результатов, формулируются задачи диссертации и приводятся основные результаты.

Глава I состоит из двух параграфов. В §1.1 главы I доказан аналог известной теоремы Макинтайра, уточняющий и дополняющий теорему единственности М.А. Евграфова для рядов Дирихле. Далее в работе исследуются асимптотические свойства абсолютно сходящихся во всей плоскости рядов Дирихле, имеющих выпуклую мажоранту всюду или хотя бы на некоторой неограниченной последовательности точек. В §1.2 главы I получен критерий эквивалентности логарифмов максимальных членов двух рядов Дирихле с одинаковыми показателями из каждого класса.

Пусть {pn} возрастающая последовательность натуральных чисел, n f(z) = anzp (4) n= целая трансцендентная функция. Через p(t) обозначим считающую функцию последовательности {pn}: p(t) = 1. Полиа в [23] показал, что если pnt p(t) плотность = lim последовательности {pn} равна нулю, то в каждом угt t ле {z : | arg z| } ( > 0) целая функция (4) имеет тот же порядок, что и во всей плоскости. Этот результат дал толчок многочисленным исследованиям, что привело к новым задачам. В частности, возникла интересная задача о возможности перехода от угла {z : | arg z| } ( > 0) к лучу {z : arg z = 0}.

Макинтайр показал, что при условии < (5) pn n=любая целая функция f, заданная рядом (4), не ограничена на положительном луче R+ [30]. В той же работе показано, что для любой последовательности {pn}, для которой =, pn n=существует целая функция f вида (4), ограниченная на R+. Тем самым, было доказано, что условие (5) является необходимым и достаточным для того, чтобы любая целая функция f, представленная рядом (4), не была ограничена на положительном луче.

Дальнейшее развитие данная задача получила в работе М.А. Евграфова [31], где рассматриваются аналогичные задачи для рядов Дирихле n F (s) = ane s, 0 < n (s = + it), (6) n=абсолютно сходящихся во всей плоскости.

М.А. Евграфовым доказаны следующие утверждения.

Теорема А [31]. Если <, (7) n n=и сумма F ряда (6) ограничена на R, то F (z) 0.

Пусть h(r) непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям h(t) rh (r) = +, lim = 1. (8) r t2 h(r) Теорема В [31]. Если последовательность {n} помимо условия n(r) lim = c (c = 0, ), (9) r h(r) где n(r) число точек n r, то есть n(r) = 1, удовлетворяет услоnr вию 1 1 zlim ln <, L(z) = 1 -, (10) n n L (n) n n=то существует ряд Дирихле (6), сумма F которого ограничена на R, но F 0.

Таким образом, мы видим, что условие (7) является достаточным, но теорема В еще не гарантирует, чтобы данное условие было и необходимым для неограниченности любой функции F вида (6) на вещественной оси. Условия (8)–(10) являются весьма сильными требованиями, значительно сужающими область применения теоремы В.

n 1 В §1.1 главы I доказано, что если D = lim <, = lim ln < n n L (n) n n, то утверждение теоремы В верно при выполнении единственного условия (7).

Справедлива Теорема 1.1. Для любой последовательности = {n}, имеющей конечную верхнюю плотность D и конечный индекс конденсации и такой, что =, n n=существует ряд Дирихле (6), сумма которого F ограничена на вещественной оси, но F 0.

Введем необходимые обозначения и определим классы рядов Дирихле, изучению асимптотических свойств которых посвящена диссертационная работа.

Пусть = {n} (0 < n ) последовательность, удовлетворяющая условию ln n lim = a <. (11) n ln n Обозначим D() класс всех функций F, представимых во всей плоскости рядами Дирихле n F (s) = ane s (s = + it). (12) n=Из условия (11) следует, что ln n lim = 0.

n n Так что ряд (12) сходится во всей плоскости абсолютно, а его сумма F целая функция [33]. Через L обозначим класс всех непрерывных и неограниченно возрастающих на R+ = [0, ) положительных функций. Пусть выпуклая функция из L, Dm() = {F D() : ln M() (m)} (m 1), Dm() = {F D() : {n} : 0 < {n}, ln M(n) (mn)}, (m 1), где M() = sup |F ( + it)|. Положим |t|< D() = Dm(), D() = Dm().

Pages:     |
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.