WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

В третьей главе предлагается обобщение метода на случай большего числа частиц. Вклады в статистическую сумму разделяются на две группы — положительную и отрицательную и применяется подход, аналогичный изложенному во второй главе. Вначале выполнено тестирование метода на системе N = 5 невзаимодействующих частиц в трёхмерном гармоническом поле. Использовано 5-ти вершинное приближение, расширенный ансамбль составлен из 10-и подансамблей. Проведён расчёт отношения Z5- /Z5+ (рис. 6).

Далее, проведены расчёты для системы N = 5 частиц с кулоновским отталкиванием в трёхмерном гармоническом поле. Статистическая сумма ( представлена в виде Z5 A) = Z5+ Z5+ / Z5+ - Z5- Z5- / Z5-, и проведены вы( ) ( ) 0 числения отношений Z5+ / Z5+ и Z5- / Z5-. В качестве опорной взята система без взаимодействия. Для зависимости статистической суммы от обратной температуры использована аппроксимация -ln Z(A) = Eb + C / b Рис. 9. Низкотемпературная термодина- Рис. 10. Свободные энергии систем N = мика для системы N = 5 фермионов и N = 7 фермионов ( s = 1/ 2 ) с кулонов( s = 1/ 2 ) с кулоновским отталкиванием в ским отталкиванием в трёхмерном гармогармоническом поле. ническом поле.

(рис. 7), а для зависимости свободной энергии от температуры — F =-t ln Z(A) = E0 + At2, где t =1/ b (рис. 8).

Предложенные аппроксимации дают значения энергии основного состояния: E0 =17,6 ± 0,1 для s = 0 и E0 =15,94 ± 0,04 для s =1/ 2. На основе зависимости свободной энергии от температуры построена низкотемпературная термодинамика системы (рис. 9). При использовании параболической аппроксимации для свободной энергии энтропия и теплоёмкость совпадают. Аналогичные расчёты произведены для системы N = 6 и N = частиц. Получены следующие значения энергий основных состояний: для N = 6 E0 = 24,6 ± 0,3 для s = 0 и E0 = 21,25 ± 0,05 для s =1/ 2 ; для N = E0 = 29,9 ± 0,5 для s = 0 и E0 = 27,6 ± 0,4 для s =1/ 2 (рис. 10).

В четвёртой главе описывается применение метода плотности состояний для исследования квантовых систем [8]. Проводится вычисление для двух классов, имеющихся в случае системы двух тождественных частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом внешнем поле. Полученные результаты находятся в хорошем согласии с данными метода расширенного ансамбля.

Выводы. В работе предлагается подход к изучению квантовых систем, основанный на сочетании метода интегралов по траекториям и метода Монте-Карло в расширенном ансамбле с настройкой весов по алгоритму Ванга — Ландау.

Предложенный подход даёт достаточно точные результаты при сравнительно небольших затратах машинного времени. Типичное время расчёта для одного значения температуры составляет от получаса в случае системы двух невзаимодействующих частиц до суток в случае атома гелия или пяти частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле на компьютере уровня Pentuim IV (3ГГц).

В работе использовалось простейшее представление для высокотемпературной матрицы плотности. Подход не накладывает никаких ограничений на использование более сложных представлений для матрицы плотности, на число вершин и типы МК-шагов. Также возможно использование различных техник ускоряющих сходимость интегралов по траекториям.

Однако, возможности комбинирования указанных подходов требуют отдельного исследования. Кроме этого, очень важно, что нет никаких ограничений на размерность системы и на потенциалы взаимодействия в системе. Наконец расчёты могут быть распараллелены, что очень важно при моделировании многочастичных систем.

Предложенный подход, к сожалению, не позволяет полностью устранить проблему знака, но даёт возможность заметно её ослабить. В случае малых систем удалось спуститься до значений температур при которых система находится в основном состоянии и необходимости спускаться ещё ниже нет. В случае большего числа частиц спуститься в основное состояние не удалось, но построенные аппроксимации достаточно точно дают оценки для энергий основного состояния. Поэтому предложенный подход вполне может быть применён для моделирования равновесных свойств различных квантовых систем, например неидеальной квантовой плазмы.

Выносимые на защиту основные результаты диссертации:

1. Разработан подход к изучению температурных свойств квантовых систем, сочетающий метод Монте-Карло интегралов по траекториям и метод расширенных ансамблей и дающий возможность ослабить проблему знака.

2. Проведено тестирование алгоритма на системах 2, 3 и 5 невзаимодействующих ферми-частиц в гармоническом внешнем поле.

3. Выполнены расчёты для 2, 3 и 5 - 7 ферми-частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом внешнем поле, а также для атома гелия.

4. Проведено сравнение результатов моделирования в рамках метода расширенных ансамблей и метода плотности состояний для системы 2 частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом внешнем поле.

Содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

1. Р. N. Vorontsov-Velyaminov, M. A. Voznesenski, D. V. Malakhov, A. P.

Lyubartsev and A V Broukhno. Path integral method in quantum statistics problems: generalized ensemble Monte Carlo and density functional approach. J. Phys. A: Math. Gen., 2006, v.39, Pp. 4711-4716.

2. М. А. Вознесенский, П. Н. Воронцов-Вельяминов, А. П. Любарцев.

Расчеты равновесных свойств квантовых систем методом МонтеКарло в расширенном ансамбле. // Вычислительные методы и программирование, 2008, Раздел 1, 170-183 (http://num-meth.srcc.msu.ru/).

3. Вознесенский М. А., Воронцов-Вельяминов П. Н., Любарцев А. П.

Расчёты равновесных свойств квантовых систем с кулоновским взаимодействием методом Монте-Карло в расширенном ансамбле. // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 4 физика и химия, выпуск 2, июнь 2009, 3-16.

4. Vorontsov-Velyaminov P. N., Voznesenski M. A., Malakhov D. V., Lyubartsev A. P., Broukhno A. V. Path integral method in quantum statistics problems: Generalized ensemble Monte Carlo and density functional approach. // International Conference on Strongly Coupled Coulomb Systems. June 20-25 2005, Moscow, Russia. Book of abstracts, p. 95.

5. Е. А. Поляков, М. А. Вознесенский, А. В. Брухно, А. П. Любарцев, П. Н. Воронцов-Вельяминов. Квантово-статистический метод интегралов по траекториям. Расчёты равновесных свойств и возбужденных состояний квантовых систем методами Монте-Карло и функционала плотности. // XIII Симпозиум по межмолекулярному взаимодействию и конформациям молекул 19-23 нюня 2006, Санкт-Петербург. Тезисы докладов, с. 131.

6. Vorontsov-Velyaminov P. N., Voznesenskiy M. A., Polyakov E. A., Lyubartsev A. P. Calculation of canonical properties and excited states by path integral numerical methods // XIII International Conference on Physics of Non-Ideal Plasmas. September 13-18 2009, Chernogolovka, Russia. Book of abstracts, p. 18.

Цитируемая литература:

1. Фейнман Р. Статистическая механика. Курс лекций. М.: Мир. 1975.

2. Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968.

3. Замалин В. М., Норман Г. Э., Филинов В. С. Метод Монте-Карло в статистической термодинамике. М.: Наука, 1977.

4. Lee J. New Monte-Carlo algorithm: Entropic sampling // Phys. Rev. Lett., 1993, v. 71(2), p. 211–214.

5. Wang F., Landau D. P. Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states. Phys. Rev. Lett., 2001, v. 86, p. 2050–2053.

6. Lyubartsev A. P., Martsinovski A. A., Shevkunov S. V., VorontsovVelyaminov P. N. New approach to Monte Carlo calculation of the free energy: Method of expanded ensembles // J. Chem. Phys. 1992. v. 96(3), p. 1776-1783.

7. Vorontsov-Velyaminov P. N., Nesvit M. O., Gorbunov R. I. Bead-Fourier path-integral Monte Carlo method applied to systems of indentical particles // Phys. Rev. E. 1997. v. 55(2), pp. 1979-1997.

8. Vorontsov-Velyaminov P. N., Lyubartsev A. P. Entropic sampling in the path integral Monte-Carlo method // J. Phys. A: Math. and Gen., 2003, v. 36(3), pp. 685 – 693.

9. C.L. Pekeris, 11S, 21S and 23S States of H- and of He // Phys. Rev., 1962, v. 126(4), pp. 1470-1476.

10. Kole J. S., De Raedt H. Quantum Monte Carlo Method for Attractive Coulomb Potentials // Phys. Rev. E., 2001, v. 64, pp. 016704-1-016704-6.

11. Поляков Е. А., Воронцов-Вельяминов П. Н. Квантовый газ во внешнем поле при конечных температурах. Точное выражение для плотности и возбужденный состояния // Вычислительные методы и программирование. 2007. Раздел 1. c. 334-351. (http://num-meth.srcc.msu.ru/).

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»